從概念的本質出發設計概念教學

方程的本質是什么？簡單地說，就是左右兩邊相等，這不僅是方程概念的本質，也是列方程解題的依據。在小學數學教材中，方程是這樣定義的：含有未知數的等式叫做方程。這個定義簡單明了，但引發的爭議也很多。比如，x=5是不是方程？a+b=b+a也是方程嗎？我們可以不去理會由這些特例帶來的分歧，因為這個定義本身就“先天不足”。張奠宙教授指出：方程的核心是“求”未知數。這在前面的定義中沒有體現出來，因此張教授建議這樣來定義：方程是為了尋求未知數，在未知數和已知數之間建立起來的等式關系（下面簡稱“新定義”）。與前面的定義方式不同，新定義是一個發生定義，刻畫的是方程形成或產生的過程。方程的新定義體現了方程的核心價值，盡管現在還沒有把它寫入小學數學教材中，但仍然可以作為設計方程概念教學的重要參考。一般來說，從課堂教學過程的角度，數學概念教學主要包含三個環節：一是概念引入，二是概念探究，三是概念鞏固。下面介紹浙教版教材中“認識方程”的教材編排，結合教學實例，著重從兩個定義所揭示的概念本質出發，討論方程概念的教學問題，與大家一起交流。一、概念引入：在已知數與未知數之間建立關系，經歷概念發生的過程在實際教學中，概念引入的設計事實上就是問題情境的設計。數學問題情境包羅萬象，教學中重要的是如何選擇合適的問題情境。就方程概念的教學來說，很多老師喜歡從天平引入，因為天平的平衡可以看做等式的原型，同時它又提供了兩邊可以一起操作的直觀模型。浙教版教材設計了購買水靈模型的問題情境：要買若干個水靈模型，所需要的錢與20元比較，可能會出現哪些情況？讓學生根據問題中的情境信息，用數學式子表示出購買方案，再通過把這些式子進行分類以揭示概念的內涵。為什么設計這樣的問題情境？我們不妨從概念發生的過程和學生學習的起點兩個方面來討論。概念引入的關鍵是建立感性經驗與抽象概念之間的關系，建立這種關系是概念學習的起點。因此，概念引入的教學設計需要思考的重要問題是創設怎樣的情境，呈現怎樣的學習材料，讓學生經歷怎樣的概念發生過程。作為一種比較，我們不妨假設另一種“去情境”和“無過程”的引入方式，即教師直接寫出一些等式與不等式，讓學生對這些式子進行比較分類，在此基礎上揭示方程的概念。從理論上講，這些式子直接由教師給出也是可行的，但是，接下來的分類活動就可能異化為操作抽象的數學符號（式子），而這些式子對于學生來說，很可能是不理解的或者是無意義的。概念學習應當包括理解概念的實際意義和形式（符號）意義，從這樣的角度出發，有無具體的問題情境對概念學習影響至深。從教學過程中我們可以看到，每一個將要用來分類的式子，都有具體含義，都能從問題情境中找到“現實背景”。如3x+2×4＞20表示買2個海馬狂舞模型與3個海獅投球模型的總價錢大于20元；又如2y+6=20表示買2個螃蟹沖刺模型與1個章魚騰空模型的總價等于20元。這些式子是學生在解決問題的過程中生成的，由學生經歷思維加工而得出的，其含義變得具體而且容易理解。具體的問題情境不僅使學習材料變得有意義，而且有利于學生理解概念的實際意義。就5y+3=20來說，當學生能回到具體的問題情境中解釋這個等式的意義時，問題情境本身就成了方程概念的一個具體例子。更為一般的，問題情境本身就構成了新知的應用場景，學生在學習過程中，可能認識到學習了方程的知識可以解決類似的問題，認識到方程是解決問題的工具。透視學生經歷的學習過程，先是用代數式表示購買方案，再把這些代數式與20建立關系，如果未知數與20建立相等關系就得到了方程。學生經歷的這個過程，本質上就是方程概念形成的原始過程，是方程新定義的發生過程。此外，情境設計帶來的教學變化，還體現在學習材料的呈現方式上，這事實上也是問題情境設計的另一個價值所在。經驗告訴我們，通過師生互動生成的學習材料，學生加工更主動，理解也更深刻。作為一種教學設計的策略，筆者認為，從教學的開放性與學生學習主動性的角度來說，在師生互動過程中生成學習材料應當成為努力的一個方向。二、概念探究：分類討論揭示概念內涵，經歷概念形成的過程概念探究是教學的主要過程，也是學生理解概念的中心環節。有教師采用分類討論的方法組織學生探究概念，在分類活動中逐步逼近概念的真實內涵。分類是重要的數學思想方法。當我們遇到一件事情不能按同一標準統一處理時，常常是先分成幾種不同情況或種類，然后分別加以解決，這中間蘊涵的就是分類的思想方法。教學中設計的兩次分類活動，分別指向概念中的兩個關鍵詞，一個是等式，一個是未知數。具體到教學過程中，有兩個細節值得討論，這兩個細節對于學生發現概念的本質至關重要，是概念形成過程中的重要環節。具體地說：一是通過比較正例與反例，經由學生概括得到方程的概念。正例是概念的肯定例證，主要是反映概念本質屬性的，是概念所有類別中的成員。反例是概念否定例證的一種，即不具有概念本質屬性或者只具有概念部分本質屬性的實例。正例與反例對于概念學習都有重要的作用，正例可以起到不斷豐富概念本質屬性的作用，反例則可以加深對概念的掌握程度與理解水平。教學的一般規律是反例出現在正例之后，也就是說，只有學生鞏固了對于正例的理解之后才會出現反例。但在教學中，教師可把正例與反例一并呈現，提出問題：第一類式子是方程，第二、三、四類都不是方程，那么什么是方程呢？學生在這個問題的指引下，會很快發現方程的關鍵特征。“好花需要綠葉襯”，反例提供了與正例對比的信息，對學生發現方程的屬性和概括定義起到了重要的支持作用。試想，教師如果只提供正例讓學生概括，教學可以這樣推進：引導學生對式子進行分類后，教師指出，這些式子可以分為四類，今天我們重點研究這一類，其余幾類以后再研究。你們看看這一類（方程）有什么共同特點？從邏輯上看，這樣教學也是可以的，但是，不可避免地陷入學生概括不得要領、甚至啟而不發的窘境。二是建立鄰近概念之間的聯系，形成概念網絡。概念教學有兩個側面，第一個是對概念本身的理解，第二個是概念之間的聯系，這兩個側面構成了概念學習的整體。概念的聯系有著廣泛的含義，這里主要是指新學習的概念與鄰近概念之間的聯系。每個概念都有一定的復雜性，這種復雜性只有在概念的網絡系統中才容易全面理解。舉個簡單的例子，如果我們教學“5的認識”，學生知道五個手指可以用5表示，五個人可以用5表示，五種方法可以用5表示等。學生能舉出再多的例子，即使抽象出五個元素可以用5表示，也不表明他們已經完全理解了5的概念，因為這些都只是概念的第一個側面。那么還需要學習什么呢？如5比4大或5比6小等等，即數與數之間的關系。任何一個數學概念都由概念之間的聯系而成，對于教學來說，建立概念之間的聯系是透徹理解概念所必需的。在“認識方程”的教學中，教師可讓學生分析方程與等式之間的關系，理解方程與等式的從屬關系。如果用一個圈表示所有的等式（等式的集合意義），那么所有方程可以怎樣表示？小圈之外大圈之內（中間地帶）表示什么？你能舉出這個地帶的例子嗎？需要說明的是，這個概念關系圖，事實上也是集合語言表達概念的一種直觀方式，等價于方程是含有未知數的等式。三、概念運用：豐富概念的外延，經歷數學建模的過程數學概念的應用主要包含兩個方面：一是運用數學概念的定義返回到具體例子中去辨認，包括正例與反例的識別；二是運用數學概念去解決問題，包括數學問題與實際情境中的問題。每個概念都有明晰的“邊界”，判斷學生是否掌握概念的內涵，可以提供一個具體的對象，讓學生確定這個對象是否在這個“邊界”內。根據方程的定義，教師會抓住“未知數”和“等式”這兩個關鍵詞設計出相應的例子，讓學生判斷是不是方程，并說明理由。從概念的本質屬性出發，可以適當延伸對于概念的理解。比如，定義中說方程是含有未知數的等式，但沒有說明等式里含有一個未知數還是幾個未知數，未知數在等號的一邊還是兩邊，以及未知數的指數等，這些都不是方程概念的本質屬性。因此，提供給學生判斷的例子，可以不局限于只有一個未知數，可以不拘泥于未知數在等號左邊，相反，可以設計出更加豐富的例子，讓本質屬性更加清晰，進而使學生的理解更加深入。事實上，對于數學建模的理解也是多樣化的。筆者認為，讓學生經歷在一個具體的問題情境中找出等量關系，并用方程表示出這種關系的過程，就是一個數學建模的過程。在這個過程中學生需要體會應用問題、等量關系、方程等多種方法所表示的意義是等價的，不同的表征方式有各自不同的價值。如語言文