2019年高考數學理科數學導數及其應用1．【2019年高考全國Ⅲ卷理數】已知曲線在點（1，ae）處的切線方程為y=2x+b，則A． B．a=e，b=1C． D．，【答案】D【解析】∵∴切線的斜率，，將代入，得.故選D．2．【2019年高考天津理數】已知，設函數若關于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為A． B．C． D．【答案】C【解析】當時，恒成立；當時，恒成立，令，則，當，即時取等號，∴，則.當時，，即恒成立，令，則，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，則時，取得最小值，∴，綜上可知，的取值范圍是.故選C.3．（2019浙江）已知，函數．若函數恰有3個零點，則A．a<–1，b<0 B．a<–1，b>0 C．a>–1，b<0 D．a>–1，b>0【答案】C【解析】當x＜0時，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x=b則y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一個零點；當x≥0時，y＝f（x）﹣ax﹣b=13x3-12（a+1）x2+ax﹣ax﹣b=13x3-12，當a+1≤0，即a≤﹣1時，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上單調遞增，則y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一個零點，不合題意；當a+1＞0，即a>﹣1時，令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此時函數單調遞增，令y′＜0得x∈[0，a+1），此時函數單調遞減，則函數最多有2個零點.根據題意，函數y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3個零點?函數y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一個零點，在[0，+∞）上有2個零點，如圖：∴b1-a＜0且解得b＜0，1﹣a＞0，b＞-16（a則a>–1，b<0.故選C．4．【2019年高考全國Ⅰ卷理數】曲線在點處的切線方程為____________．【答案】【解析】所以切線的斜率，則曲線在點處的切線方程為，即．5．【2019年高考江蘇】在平面直角坐標系中，P是曲線上的一個動點，則點P到直線的距離的最小值是▲.【答案】4【解析】由，得，設斜率為的直線與曲線切于，由得（舍去），∴曲線上，點到直線的距離最小，最小值為.故答案為．6．【2019年高考江蘇】在平面直角坐標系中，點A在曲線y=lnx上，且該曲線在點A處的切線經過點（-e，-1)(e為自然對數的底數），則點A的坐標是▲.【答案】【解析】設出切點坐標，得到切線方程，然后求解方程得到橫坐標的值，可得切點坐標.設點，則.又，當時，，則曲線在點A處的切線為，即，將點代入，得，即，考察函數，當時，，當時，，且，當時，單調遞增，注意到，故存在唯一的實數根，此時，故點的坐標為.7．【2019年高考北京理數】設函數（a為常數）．若f（x）為奇函數，則a=________；若f（x）是R上的增函數，則a的取值范圍是___________．【答案】【解析】首先由奇函數的定義得到關于的恒等式，據此可得的值，然后利用可得a的取值范圍.若函數為奇函數，則即，即對任意的恒成立，則，得.若函數是R上的增函數，則在R上恒成立，即在R上恒成立，又，則，即實數的取值范圍是.8．【2019年高考全國Ⅰ卷理數】已知函數，為的導數．證明：（1）在區(qū)間存在唯一極大值點；（2）有且僅有2個零點．【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】（1）設，則，.當時，單調遞減，而，可得在有唯一零點，設為.則當時，；當時，.所以在單調遞增，在單調遞減，故在存在唯一極大值點，即在存在唯一極大值點.（2）的定義域為.（i）當時，由（1）知，在單調遞增，而，所以當時，，故在單調遞減，又，從而是在的唯一零點.（ii）當時，由（1）知，在單調遞增，在單調遞減，而，，所以存在，使得，且當時，；當時，.故在單調遞增，在單調遞減.又，，所以當時，.從而，在沒有零點.（iii）當時，，所以在單調遞減.而，，所以在有唯一零點.（iv）當時，，所以<0，從而在沒有零點.綜上，有且僅有2個零點.9．【2019年高考全國Ⅱ卷理數】已知函數.（1）討論f(x)的單調性，并證明f(x)有且僅有兩個零點；（2）設x0是f(x)的一個零點，證明曲線y=lnx在點A(x0，lnx0)處的切線也是曲線的切線.【解析】（1）f（x）的定義域為（0，1）（1，+∞）．因為，所以在（0，1），（1，+∞）單調遞增．因為f（e）=，，所以f（x）在（1，+∞）有唯一零點x1，即f（x1）=0．又，，故f（x）在（0，1）有唯一零點．綜上，f（x）有且僅有兩個零點．（2）因為，故點B（–lnx0，）在曲線y=ex上．由題設知，即，故直線AB的斜率．曲線y=ex在點處切線的斜率是，曲線在點處切線的斜率也是，所以曲線在點處的切線也是曲線y=ex的切線．10．【2019年高考全國Ⅲ卷理數】已知函數.（1）討論的單調性；（2）是否存在，使得在區(qū)間的最小值為且最大值為1？若存在，求出的所有值；若不存在，說明理由.【解析】（1）．令，得x=0或.若a>0，則當時，；當時，．故在單調遞增，在單調遞減；若a=0，在單調遞增；若a<0，則當時，；當時，．故在單調遞增，在單調遞減.（2）滿足題設條件的a，b存在.（i）當a≤0時，由（1）知，在[0，1]單調遞增，所以在區(qū)間[0，l]的最小值為，最大值為.此時a，b滿足題設條件當且僅當，，即a=0，．（ii）當a≥3時，由（1）知，在[0，1]單調遞減，所以在區(qū)間[0，1]的最大值為，最小值為．此時a，b滿足題設條件當且僅當，b=1，即a=4，b=1．（iii）當0<a<3時，由（1）知，在[0，1]的最小值為，最大值為b或．若，b=1，則，與0<a<3矛盾.若，，則或或a=0，與0<a<3矛盾．綜上，當且僅當a=0，或a=4，b=1時，在[0，1]的最小值為-1，最大值為1．11．【2019年高考北京理數】已知函數．（Ⅰ）求曲線的斜率為1的切線方程；（Ⅱ）當時，求證：；（Ⅲ）設，記在區(qū)間上的最大值為M（a）．當M（a）最小時，求a的值．【解析】（Ⅰ）由得.令，即，得或.又，，所以曲線的斜率為1的切線方程是與，即與.（Ⅱ）令.由得.令得或.的情況如下：所以的最小值為，最大值為.故，即.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當時，；當時，；當時，.綜上，當最小時，.12．【2019年高考天津理數】設函數為的導函數．（Ⅰ）求的單調區(qū)間；（Ⅱ）當時，證明；（Ⅲ）設為函數在區(qū)間內的零點，其中，證明．【解析】（Ⅰ）由已知，有．因此，當時，有，得，則單調遞減；當時，有，得，則單調遞增．所以，的單調遞增區(qū)間為的單調遞減區(qū)間為．（Ⅱ）證明：記．依題意及（Ⅰ），有，從而．當時，，故．因此，在區(qū)間上單調遞減，進而．所以，當時，．（Ⅲ）證明：依題意，，即．記，則，且．由及（Ⅰ），得．由（Ⅱ）知，當時，，所以在上為減函數，因此．又由（Ⅱ）知，，故．所以，．13．【2019年高考浙江】已知實數，設函數（1）當時，求函數的單調區(qū)間；（2）對任意均有求的取值范圍．注：e=2.71828…為自然對數的底數．【解析】（1）當時，．，所以，函數的單調遞減區(qū)間為（0，3），單調遞增區(qū)間為（3，+）．（2）由，得．當時，等價于．令，則．設，則．（i）當時，，則．記，則.故10+單調遞減極小值單調遞增所以，．因此，．（ii）當時，．令，則，故在上單調遞增，所以．由（i）得，．所以，．因此．由（i）（ii）知對任意，，即對任意，均有．綜上所述，所求a的取值范圍是．14．【2019年高考江蘇】設函數、為f（x）的導函數．（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零點均在集合中，求f（x）的極小值；（3）若，且f（x）的極大值為M，求證:M≤．【解析】（1）因為，所以．因為，所以，解得．（2）因為，所以，從而．令，得或．因為都