線性代數(shù)第一章節(jié)演示文稿當前1頁，總共40頁。（優(yōu)選）線性代數(shù)第一章節(jié)當前2頁，總共40頁。性質(zhì)3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)，等于用數(shù)乘此行列式.推論1

行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面．推論2如果行列式中有一行(列)元素全為零，則此行列式的值為零.當前3頁，總共40頁。推論3行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．證明當前4頁，總共40頁。性質(zhì)4若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和.則D等于下列兩個行列式之和：例如當前5頁，總共40頁。性質(zhì)5

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對應(yīng)的元素上去，行列式不變．例如當前6頁，總共40頁。二、應(yīng)用舉例我們將應(yīng)用行列式性質(zhì)來計算行列式，我們約定：當前7頁，總共40頁。例１計算例2計算當前8頁，總共40頁。例3

計算階行列式解將第都加到第一列得當前9頁，總共40頁。當前10頁，總共40頁。例4證明當前11頁，總共40頁。證明當前12頁，總共40頁。當前13頁，總共40頁。同理：當前14頁，總共40頁。例5反對稱行列式的形式為：由性質(zhì)1當前15頁，總共40頁。1.5行列式按行（列）展開定義1：在階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，留下來的階行列式叫做元素的余子式，記作叫做元素的代數(shù)余子式．1.5.1余子式，代數(shù)余子式定義例如當前16頁，總共40頁。1.5.2行列式按行（列）展開法則定理1

行列式D等于其任意一行（列）的元素與它的代數(shù)余子式的乘積之和，即

推論行列式的某一行（列）的各元素與另外一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零。當前17頁，總共40頁。綜上所述，可得到代數(shù)余子式的一個重要結(jié)論：例1設(shè)當前18頁，總共40頁。例2證明范德蒙（Vandermonde）行列式

證用數(shù)學歸納法當前19頁，總共40頁。當前20頁，總共40頁。n-1階范德蒙德行列式當前21頁，總共40頁。1.5.3拉普拉斯定理定義2當前22頁，總共40頁。第1行第3行第2列第4列當前23頁，總共40頁。定理2

拉普拉斯(Laplace)定理注：行列式按行（列）展開就是拉普拉斯定理k=1時的特殊情形。當前24頁，總共40頁。例3

用拉普拉斯定理計算行列式解：選取第1，2行，只有三個非零二階子式，對應(yīng)的代數(shù)余子式為當前25頁，總共40頁。例4證明當前26頁，總共40頁。例5

計算2n階行列式當前27頁，總共40頁。設(shè)線性方程組則稱此方程組為非

齊次線性方程組;此時稱方程組為齊次線性方程組.1.非齊次與齊次線性方程組的概念1.6克萊姆法則當前28頁，總共40頁。定理1(Cramer法則)如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，即當前29頁，總共40頁。其中是把系數(shù)行列式中第列的元素用方程組右端的常數(shù)項代替后所得到的階行列式，即那么線性方程組有解，并且解是唯一的，解可以表為當前30頁，總共40頁。證明在把個方程依次相加，得當前31頁，總共40頁。由代數(shù)余子式的性質(zhì)可知,于是當時,方程組有唯一的一個解當前32頁，總共40頁。由于方程組與方程組等價,故也是方程組的解.當前33頁，總共40頁。二、重要推論定理1

如果線性方程組的系數(shù)行列式則一定有解,且解是唯一的.定理2

如果線性方程組無解或有無窮多個不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零.當前34頁，總共40頁。齊次線性方程組的相關(guān)定理定理3

如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式

,則齊次線性方程組只有零解.當前35頁，總共40頁。定理4

如果齊次線性方程組

有非零解,則它的系數(shù)行列式必為零.有非零解.系數(shù)行列式當前3