第2課時利用兩邊及一角的關系判斷三角形相像重點問答①假如已知兩邊成比率且夾角相等，那么這兩個三角形相像嗎？假如已知兩邊成比率且有一組對應角相等，那么這兩個三角形相像嗎？1．①能判斷△ABC∽△DEF的條件是()AB＝ACAB＝AC，∠A＝∠FA.DEDFB.DEDFAB＝ACAB＝ACC.DEDF，∠B＝∠ED.DEDF，∠A＝∠D2．如圖4－4－11，在三角形紙片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，沿虛線剪下的暗影部分的三角形與△ABC相像的是()圖4－4－11命題點1利用兩邊成比率且夾角相等證明兩三角形相像[熱度：93%]3．2017·景德鎮(zhèn)模擬如圖4－4－12，在四邊形ABCD中，假如∠ADC＝∠BAC，那么以下條件中不可以判斷△ADC和△BAC相像的是()圖4－4－12A．∠DAC＝∠ABCB．CA是∠BCD的均分線C．AC2＝BC·CDD.AD＝DCABAC4．②如圖4－4－13，點A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H，K都是8×7的方格紙中的格點，為使△DEM∽△ABC，則點M應是F，G，H，K四點中的()圖4－4－13A．點FB．點GC．點HD．點K方法點撥②判斷相像三角形的基本思路：條件中如有一平等角，可再找一平等角或證明夾這平等角的兩組邊對應成比率．③·興慶模擬如圖4－4－14，在等邊三角形AE1，則和△AED(不5．2017ABC中，D為AC的中點，＝EB3包括△AED)相像的三角形有()圖4－4－14A．1個B．2個C．3個D．4個易錯警告③考慮問題要全面，不要漏解．6．④如圖4－4－15，已知P是邊長為5的正方形ABCD內(nèi)一點，且PB＝3，BF⊥BP于點B，若在射線BF上找一點M，使得以點B，M，C為極點的三角形與△ABP相像，則BM的值為()圖4－4－152525A．3B.3C．3或3D．3或5易錯警告④對應邊能否已經(jīng)確立？7．⑤如圖4－4－16，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，點E在邊AB上且AE＝3，點F在邊AC上，連結(jié)EF，若△AEF與△ABC相像，則AF＝________．圖4－4－16解題打破⑤要使△AEF與△ABC相像，因為此題沒有說明對應關系，故采納分類議論法．有兩種可能：AEF∽△ABC；△AEF∽△ACB.⑥8．已知：如圖4－4－17，E是四邊形ABCD的對角線BD上的一點，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE.圖4－4－17求證：(1)△ABE∽△ACD；(2)BC·AD＝DE·AC.方法點撥⑥由兩角分別相等判斷兩個三角形相像是判斷三角形相像的全部方法中最常有的方法，重點是找準對應角，公共角、對頂角、同(等)角的余角(或補角)一般是對應角，解題時應注意發(fā)掘題且中的隱含條件．命題點2相像三角形的判斷的應用[熱度：87%]9．如圖4－4－18，M，N為山雙側(cè)的兩個鄉(xiāng)村，為了兩村交通方便，依據(jù)國家的惠民政策，政府決定打向來線涵洞．工程人員為了計算工程量，一定計算M，N兩點之間的直線距離，選擇丈量點A，B，C，點B，C分別在AM，AN上，現(xiàn)測得AM＝1千米，AN＝1.8千米，AB＝54米、BC＝45米、AC＝30米，求M，N兩點之間的直線距離．圖4－4－1810．⑦如圖4－4－19，在△ABC中，AB＝AC，P，D分別是BC，AC邊上的點，且∠APD＝∠B.(1)求證：AC·CD＝CP·BP；(2)若AB＝10，BC＝12，當PD∥AB時，求BP的長．圖4－4－19方法點撥⑦證明比率式或等積式的基本方法是證明三角形相像，而后列出比率式，有時需要進行適合的變形．⑧11.已知：如圖4－4－20，在△ABC中，AB＝AC，D，E分別是邊AC，AB的中點，DF⊥AC，DF與CE訂交于點F，AF的延伸線與BD訂交于點G.(1)求證：AD2＝DG·BD；(2)連結(jié)CG，求證：∠ECB＝∠DCG.圖4－4－20方法點撥⑧證明比率式或等積式的基本方法是證明比率式或等積式中的四條線段所在的兩個三角形相似．假如不易直接證明，那么可經(jīng)過等線段變換或等比變換以后再證明．12．⑨如圖4－4－21，在△OAB和△OCD中，∠A<90°，OB＝kOD(k>1)，∠AOB＝∠COD，∠OAB與∠OCD互補．嘗試究線段AB與CD之間的數(shù)目關系，并證明你的結(jié)論．圖4－4－21解題打破⑨已知一對相等的角和一組對應邊的比，我們應怎樣結(jié)構(gòu)相像三角形？13．⑩已知：如圖4－4－22，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm.某一時刻，動點M從A點出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向B點勻速運動，同時，動點N從D點出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向A點勻速運動．1(1)經(jīng)過多長時間，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的9？(2)能否存在某一時刻

t，使以

A，M，N

為極點的三角形與

△ACD

相像？若存在，求出

t的值；若不存在，請說明原因．圖4－4－22解題打破⑩(1)可設運動時間為xs，依據(jù)運動速度表示出所波及線段的長度，由面積關系列方程求解；(2)先假定存在，利用相像三角形中的比率線段列出方程，若方程有解且解切合題意即可說明存在

，反之則不存在．詳解詳析【重點問答】①假如已知兩邊成比率且夾角相等，那么這兩個三角形相像；假如已知兩邊成比率且有一組對應角相等，那么這兩個三角形不必定相像．1．D2.B3．C[分析]在△ADC和△BAC中，∠ADC＝∠BAC，假如△ADC∽△BAC，需知足的條件有：①∠DAC＝∠ABC或CA是∠BCD的均分線；②AD＝DC.應選C.ABAC4．C[分析]設小方格的邊長均為1.依據(jù)題意知△DEM∽△ABC，AB＝4，AC＝6，DE＝2，DE∶AB＝DM∶AC，∴DM＝3，∴點M就是點H.應選C.5．C[分析]∵△ABC是等邊三角形，AB＝AC＝BC.又∵D是AC的中點，∴BD⊥AC，∠ABD＝30°，AD∶AC＝1∶2.AE＝1，∴AE∶AB＝1∶4，EB3AE∶AD＝1∶2＝AD∶AB.又∵∠A＝∠A，∴△AED∽△ADB，∴∠AED＝∠ADB＝90°.∵∠A＝∠C＝60°，CD∶BC＝AE∶AD＝1∶2，∴△AED∽△CDB.∵∠AED＝∠DEB＝90°，∠ADE＝∠DBE＝30°，∴△AED∽△DEB.應選C.6．C[分析]∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC＝5.又∵∠PBF＝90°，∴∠ABP＝∠CBF＝90°－∠CBP.①若△ABP∽△MBC，則AB＝BM，PBBC即5＝BM，解得BM＝25；353②若△ABP∽△CBM，則AB＝BC，PBBM5即3＝BM，解得BM＝3.應選C.7．2或4.58．證明：(1)∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAE＝∠CAD.∵∠BAC＝∠BDC，∠AOB＝∠COD，∴∠ABE＝∠ACD，∴△ABE∽△ACD.(2)∵△ABE∽△ACD，ABAEABACAC＝AD，即AE＝AD.又∵∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△AED，BC＝AC，∴BC·AD＝DE·AC.DEAD9．解：在△ABC與△ANM中，∵∠A＝∠A，AC＝30＝5，AM＝1＝5，AB549AN1.89ACAMACAB∴AB＝AN，即AM＝AM，∴△ABC∽△ANM，ACAM301∴BC＝MN，即45＝MN，解得MN＝1.5(千米)．∴M，N兩點之間的直線距離是1.5千米．10．解：(1)證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠APD＝∠B，∴∠APD＝∠B＝∠C.∵∠APC＝∠BAP＋∠B，∠APC＝∠APD＋∠DPC，∴∠BAP＝∠DPC，∴△ABP∽△PCD，BPAB∴CD＝CP，∴AB·CD＝CP·BP.AB＝AC，∴AC·CD＝CP·BP.(2)∵PD∥AB，∴∠APD＝∠BAP.∵∠APD＝∠C，∴∠BAP＝∠C.BABP∵∠B＝∠B，∴△BAP∽△BCA，∴BC＝BA.AB＝10，BC＝12，∴10＝BP，∴BP＝25.1210311．證明：(1)∵AB＝AC，D，E分別是邊AC，AB的中點，∴AD＝AE.又∵∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE.DF⊥AC，AD＝CD，∴AF＝CF，∴∠GAD＝∠ACE，∴∠GAD＝∠ABD.又∵∠GDA＝∠ADB，∴△GDA∽△ADB，AD＝DG，∴AD2＝DG·BD.BDADADDGCDDG(2)∵BD＝AD，AD＝CD，∴BD＝CD.又∵∠CDG＝∠BDC，∴△DCG∽△DBC，∴∠DCG＝∠DBC.AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABD＝∠GCB.∵∠ABD＝∠ACE，∴∠ACE＝∠GCB，∴∠ECB＝∠DCG.12．解：AB＝kCD.證明：如圖，在OA上取一點E，使OE＝kOC，連結(jié)EB.OB＝kOD，∴OBOD＝OEOC＝k.又∵∠AOB＝∠COD，∴△OEB∽△OCD，EB＝OB＝k，即EB＝kCD，∠OEB＝∠OCD.CDOD∵∠OAB＋∠OCD＝180°，∴∠OAB＋∠OEB＝180°.又∵∠AEB＋∠OEB＝180°，∴∠OAB＝∠AEB，∴EB＝AB，AB＝kCD.13．解：(1)設經(jīng)過xs后，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的19，則有1(6－2x)x＝1×3×6，29即x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2，經(jīng)查驗，可知x1＝1，x2＝2切合題意，∴經(jīng)過

1s或

2s后，△AMN

的面