1、第八章二次型二次型理論起源于解析幾何中的化二次曲線和二次曲面方程為標準形的問題，這一理論在數理統計、物理、力學及現代控制理論等諸多領域都有很重要的應用本章主要介紹二次型的基本概念，討論化二次型為標準形及正定二次型的判定等問題§ 8.1二次型及其矩陣表示在解析幾何中，我們曾經學過二次曲線及二次曲面的分類，以平面二次曲線為例，一條二次曲線可以由一個二元二次方程給出：22(1.1)，我們通常分兩步來做：首ax bxy cy dx ey f 0要區分(1.1)式是哪一種曲線(橢圓、雙曲線、拋物線或其退化形式先將坐標軸旋轉一個角度以消去 xy項，再作坐標的平移以消去一次項.這里的關鍵是消去xy

2、項，通常的坐標變換公式為:X X cos y x siny siny cos(1.2)從線性空間與線性變換的角度看，(1.2)式表示平面上的一個線性變換.因此二次曲線分類的關鍵是給出一個線性變換，使(1.1)式中的二次項只含有平方項.這種情形也在空間二次曲面的分類時出.為了討論問題的方便，只現，類似的問題在數學的其它分支、物理、力學中也會遇到考慮二次齊次多項式.定義8.1.1設f是數域P上的n元二次齊次多項式：2f (Xl,X2,L5Xn)印必 242X1X2L 2ainXlXn2(1.3)如果322X2 2a23X2X3 L2a2nXaXn1222L an 1,n 1 xn 1 2an 1,

3、n xn 1 xnann xn稱為數域P上的n元二次型，簡稱二次型.如果數域P為實數域R,則稱f為實二次型;數域P為復數域C,則稱f為復二次型；如果二次型中只含有平方項，即2 2 2f(Xl,X2±, Xn) djXl CI2X2L dnXn稱為標準形式的二次型，簡稱為標準形.說明：在這個定義中，非平方項系數用24主要是為了以后矩陣表示的方便例8.1.2下列多項式都是二次型:22f (x, y) x 3xy 3yf (x, y,z) 2x2 2xy 3xz y2 4yz ， 3z2F列多項式都不是二次型f (x, y) x2 3xy 3y2 2x 1f(x,y,z) 2x3 2xy

4、4yz 3z21C11 yiC|2y2L(1.4)X2 。21 V1 O22 V2LC2n%LL LXnCn2y2 Lcnn yn稱為由X"X2,L,Xn到y*y2, L ,yn的一個 線性替換，或簡稱線性替換.如果系數行列式|q0,那么線性替換(1.4)就稱為非退化的在研究二次型時，矩陣是-個有力工具，因此我們先把二次型用矩陣來表示.令aij 明則有2aij xixjaj xx ajjXjXi,于是(1.3)式可以改寫為f(xi,X2,L ,Xn) anxj定義8.1.3設Xi,X2,L,Xn；丸y2_L,yn是兩組文字，系數在數域P中的一組關系式a： 1X2X13： 2X2 L

5、a： n 卷 Xian1xnx1an 2xn x2annxnXi (anXia1n An)a2nXn)X2(821X1 822X2 LHnnAna11a21a12a22an1則二次型可記為aAX a21X (為,X2,L ,Xn) an1x1812Ax2a11(Xi,X2,L ,Xn)a2nannf tX Ax,a(2X322X2an2x2a12a1na21Lan1a22La2nLannXiX2MXna1nxna2n片1annAnXiX2MXn(1.5)其中A是對稱矩陣稱(1.5)式為二次型的矩陣形式例 8.1.4 二次型 f (x, y,z) 2x2 2xy 3xz y2 4yz , 3z2

6、 的矩陣形式為f(x, y, z) (x, y, z)2y說任給一個二次型就唯一地確7E一個對稱矩陣.反之,任給一個對稱矩陣可唯一地確XE則其對應的二次型為：f (Xl,X2, X3, X4)X!24X-|X2對于二次型f xAx，作線性替換x6x-|X4 2X22 Cy,其中6X2X3222x2X4 3X3 4X4C|2f xTAx (Cy)TA(Cy)cnP21c22On，yCn1cn2ynyTc TACy yT(CTAC)y.把對稱矩陣A稱為二次型一個二次型.因此，二次型與對稱矩陣之間有著一一對應的關系f的矩陣，也把f稱為對稱矩陣A的二次型.稱對稱矩陣A的秩為二次型的秩.例8.1.5給定

7、對稱矩陣13121310BCTAC廁有 bt (ctac )t樣，對稱矩陣B同樣定義了一個二次型.于是，線性替換將二次型化為二次型定義8.1.6設A,B是數 域P上的n階方陣，如果有數域P上的n階可逆矩陣C,使得CTAC B則稱矩陣A與B合同，記作A;B.合同是矩陣之間的一個關系易知，合同關系具有: 則令B ,即B是對稱矩陣.這反身性：即A與A合同，因為AETAE；(2)對稱性：即若A與B合同，則B與A合同，因為由B CTAC,即得A(C?tbC1;(3)傳遞性：即若A與B合同，B與C合同，則A與C合同，由BC/AC和C C2 BC2,即得 C C2 BC2 (C1C2) A(GC2).這樣，

8、我們就說明：經過非退化的線性替換，新二次型的矩陣與原二次型的矩陣是合同的 把二次型的變換通過矩陣表示出來，為以后的討論提供了有力的工具另外，在二次型變換時nnaiXiXiaijXiXji2j22 a11x12 aijXiXjj2nndlj Al Aj 2j2我們總是要求所作的線性替換是非退化的，因為這樣我們可以把所得的二次型還原.定理8.1.7若A 與 B 合同，則 ran kA rankB .證明：因為A與B合同，所以存在n階可逆矩陣C ,使得CT AC B由于可逆矩陣乘以矩陣兩邊不改變矩陣的秩，故rankA rankB .說明：這個定理給我們化二次型為標準形提供了保證這樣，若B是對角矩陣，

9、則非退化的線性替換xCy就把二次型化為了標準形.因此，把二次型化為標準形的問題其實質是：對于對稱矩陣A,尋找可逆矩陣C,使得CTACB為對角矩陣.§ 8.2化二次型為標準形現在來討論用非退化的線性替換化簡二次型的問題.1配方法定理8.2.1數域P上任意一個二次型都可以經過非退化的線性替換化為標準形，即只含有平方項.證明：對變量的個數n作數學歸納法.對于n 1，二次型就是f (xi) anxi2 ，顯然已經是平方項了 .現假定對n 1元的二次型，定Xn) 3ij XiXj(3ij 3ji )理的結論成立再設.nnf(X1, X2, L ,i1 J1分三種情形來討論：(l)aH(i 1,

10、2, L, n)中至少有一個不為零，例如0,這時nf(xi, X2, L , Xn) anxi2 aijXiXjJ2na11 (X1C77、dlj AIAJ j212a11 a1 jxj> aw ( axj)j22nna“ 山12+ “川 bijXiXjbi2j2這里nnbij XiXj i2j2n12a11 ( ajxj)J2nndlJAIAJ i2j2是一個關于X2,X3, L , Xn的二次型.令yiXiy2 X2LL Lyn Xn1Si 1 3,ij Xj j2nxi yi an1ai jyjj2X2 y2LLLXn yn這是一個非退化線性替換，它使 nn 2f(x*X2,L ,

11、Xn) anyibiji2j2由歸納法假定，對 bij yi y j有非退化的線性替換 i2j2C2r)ynC3nynz2 c22 丫2 c23 丫3 L z3 c32，2 c33 丫3 LLLLZn Cn2 y2 Cn3y3 L Cnnyn能使它變成平方和d2Z22 d3Z32 L dnZn2于是非退化線性替換zi y1z2c22 y2c23 y3L C2nynLL Lzn Cn2 y2Cn3y3L cnn>,n就使f(X1,X2,L ,Xn)變成f(X1,X2,L ,Xn) anZl2 d2Z22 d3Z32 L dnZn2即變成平方和了 .根據歸納法原理，2,3 ±, n

12、),不失普遍性，設所有Hi(i 1,2,L , n)都等于零，但是至少有一個的0( jai2。.令X1 Z1 Z2 X2 Z1 Z2 X3 Z3 LLL Xn Zn它是非退化線性變換，且使f (Xi,X2,L,Xn) 2ai2XiX2 L2ai2(ZiZ2)(ZiZ2) L22 2ai2Zi 2ai2Z2 L2這時，上式右端是Zi,Z2_L, Zn的二次型，且乙的系數不為零，屬于第一種情況，定理成立. an a12L am0,由對稱性知 a?i a3i L ani 0nn這時f(Xi,X2,L ,Xn)ajXjXj是n 1元的二次型，根據歸納法假定，它能用非退化線i2j2性替換變成平方和證畢

13、例8.2.2用配方法化二次型f(Xi,X2,X3)& 2 2X225X32 2XX2 2XiX3 6X2X3為標準形，并寫出所用的非退化線性替換解：由定理的證明過程，令V、 Xi X2 X3Xi yiy2 yay2 X2 ,即X2 y273 X3X3 ys得:f(X,X2,X3)yi2 y22 4y2y3 4y32上式右端除第一項外已不yi Ziy2 Z2 2Z3ys Z3再含yi,繼續配方，令zi yiZ2 y2 2y3,Z3 ys得:f(Xi,X2,X3) Zi2 Z22所有的非退化線性替換為例8.2.3用配方法化二次型f (Xi,X2,X3,X4)xiXZ1Z2z2 z32Z3X

14、3Z32X1X2 XlX3X1X4 X2X3 X2X4 2X3X4為標準形，并寫出所用的非退化性替換解：由定理的證明過程，令XiX2X3V2y2y3代入原二次型得:f (Yt. 乂.2這時y項不為零，于是x4V42yj 3 2y4 2 Yaf(Xi,X2,X33X4) (2yi22yy2yj。2 膜2y3 hj2屏丫 4 2y22 2 y32(yi2y34y32(yiy3尹4)12iy42(yi2y3、2y4.f (Xi, X2, X3, 2z,2 X4)1 i ya y4Ziyi 22Z2 y2Z3ys y4Z4 y42Z3其中Z4的系數為零，故沒有寫出為求非退化線性替換，我們可將第二個替換

15、代入第一個替換中，得Xi Zi Z2 2Z3 Z1Xo 7i 797q 7d2X3Z3Z4X4 Z4說明：在用配方法化二次型為標準形時，必須保證線性替換是非退化的有時，我們在配方過程中會遇到看似簡單的方法，但得到的結果未必正確如 2 2 2f (搭公 2 必)2Xi 2X2 2X3 2X1X2 2X1X3 2X2X3X2)2 Xi X3)2X3)2若令yi Xiy2Xi X3ysX2 X3則 f(Xi,X2,X3) yj y22/然而,所以，此處所作的線性替換是退化的，于是最后的結果并不是所求的2初等變換法由于二次型與對稱矩陣對應矩陣的方法做到，由§ 8.1我們知道,，所以能用非退化

16、線性替換化標準形的過程也可以用矩陣合同可以將矩陣化為對角陣.于是，定理8.2.1可以用矩陣的語言描述出來定理8.2.4數域P上任意一個對稱矩陣A都合同于一對角矩陣D.即存在可逆矩陣C，使di(2.i)CtAC Ddn現在我們就根據定理 8.2.4,討論用矩陣的初等變換來求定理8.2.4中的可逆矩陣C及對角矩陣D.由前面的知識，我們知道，可逆矩陣C可以表示為有限個初等矩陣 Pi, P2,L,Pm的乘積，即C RP2L PmERP2L Pm(2.2)將(2.2)式代入(2.1)式，得(2.3)PmT LP2TPiTAPiP2L PmD(2.3)式表明，對對稱矩陣A施行m次初等行變換及相同的m次初等

17、列變換,A就變為了對角矩陣D .而(2.2)式表明對單位矩陣E施行上述的初等列變換,E就變為可逆矩陣C.這種利用矩陣的初等變換求可逆矩陣C及對角矩陣D,使得A與D合同的方法稱為初等變換法.具體做法：對以n階對稱矩陣A和n階單位矩陣E做成的2nn矩陣進行初等變換對A施行初等行變換對2n n矩陣施行相同的初等列變換例8.2.5已知對稱矩陣111A 1 23135用初等變換法求可逆矩陣C及對角矩陣D ,使得A與D合同.A解:E0C2( 1)n2 (1)c11)nC3(1)C13 (2)r2C3 ( 2)C2所求可逆矩陣C及對角矩陣D為:10例8.2.6已知二次型co0,D0100f(X1,X2,X3

18、)2x1X22x1X36X2X3解：二次型對應的矩陣為: 于是有,011103A13 oE1 0001000121122 0313 ° 3兀1八 00 C22002。2C3 cl 110010293(4)21C3(4)C2A 10310012 0010200 061231 210 012020222201201120001故非退化線性替換為XiX300V'y2y3這樣，二次型化為2 1 222yi y26y3 § 8.3慣性定理我們知道，二次型與對稱矩陣一一對應,并且對稱矩陣可以合同化為對角矩陣 又因為合同不改變矩陣的秩，這樣一來，任意一個對 稱矩陣合同的對角矩陣對

19、角線上不為零的元素 的個數是不變的，就是矩陣的秩因此，在一個 二次型的標準形中，系數不為零的項的個數 是唯一確定的，與所作的非退化的線性替換無關至于標準形中的系數，就不是唯一確定的比 如在例8.2.6中，我們還可以進一步，令乙五胃2則二次型化為222Z1 z2 z3 .這說明，在一般的數域內，二次型的標準形不是唯一的，而與所作的非退化的線性替換有關F面只就實數域和復數域的情形來進一步討論唯一性的問題設對稱矩陣A的秩為r,則由定理824知,存在可逆矩陣C,使得矩陣A合同于對角矩陣D,即dictac ddr40J1,2,L,r即此時原二次型化為f (Xi,X2,L , Xn) diXi CI2X2

20、 dsXa22drXr2(3.1)在這些不為零的dj中，假設di0, d20,L ,dP0;dpi0,dp20,L0,這樣在實數域內，我們令yi小必小吃 X2 ,L，ypyp1p 1 Xp 1 , yp 2d p 2 Xp 2 l則(3.1)式變為：f(X|,X2,L ,Xn) yj 鳥 222 yPypidrXr2.2yp 2L yr這就是說對稱矩陣 A合同于下列對角矩陣:，其中有P個1, r p 個 1, n r個0.4 必，y22yi y2.d2X2,L drXrLyF在復數域內，我們令yi則(3.1)式變為:f (知 X2,L ,Xn)這就是說對稱矩陣A合同于下列對角矩陣，其中有r個1

21、.0定義8 3 1在實數域內稱" I 2正乂 匕'1， f(Xi,X2,L ,Xn) yi2 y22 L實二次型的規范形；在復數域內，稱f(X1,X2,L xQ V12222yP2 y2P 1 y2P 2 L yr2 為22V2L5為復二次型的定理8.3.2 (慣性定理)設 f (X1,X2,L2 yi222 y22L2Z22L,Xn)2 yP22 Zq2元實二次型，且f可化為兩個規范形y2Pi y2P 2L yr2,2Zq2L2zr規范形則必有p q.證明：用反證法.設pq,由前面知識知，Z12V2 I2Z22L2Vn22zq2 ypi2zq12Vn2l2Zq2L2yr2

22、(3.2)zr又設 x By,x CzXiyiZ1其中x2Mxr)，yM 5 ynz2M 2n于是，zCBy .令Z122znb21C11C21c12c22cn2cnyic21ylcnV1c1nc2ncnn022 y2LLLCln ynC2nyncn2 V2cnn yn因為p q，齊次線性方程組C1 V1c21ylc22 丫2 JL LLCln ynC2nyncqV1cq2y2cqn ynyPiOLLLyn00,L, yn必有非零解(n個未知數,n ( p q)個方程式).令其中一個非零解為yi ai,y2a2,L ,yPaP,yPi把這組解代入(3.2)式中的上式，得到：2222yi2 y2

23、2 L yP2y2pi2 yr222ai2 a22aP但這時Z1Z2 L Zq0,故(3.2)式中的下式為22222Z1 222q zq 1 L2zq12 zr這樣就得出了矛盾.同理可證pq也不可能.是p q.證畢.說明：這個定理表明了實二次型的規范形是唯一的 定義8.3.3在實二次型的規范形f (Xi, X2,L ,Xn)2 yP22ypi中，則稱r是該二次型的秩，p是它的正慣性指數,q負慣性指數，22yP2L yrf的符號推論8.3.4兩個實二次型合同當且僅當它們有相同的秩和正慣性指數.定理835設f(XsX2_L,Xn)是一個n元復二次型，則f經過適當的非退化線性替換可以化為規范形，且

24、規范形是唯一的.推論8.3.6兩個復二次型合同當且僅當它們有相同的秩§ 8.4 定二次型在實二次型中，正定二次型占有特殊的地位.所以本節主要介紹實二次型，并討論它們的正定 性.定義8.4.1設f (Xi,X2,L ,Xn) xTAx是一個n元實二次型，如果對任意n維列向量x 0都有：(1) f 0,則稱f為正定二次型，并稱實對稱矩陣A為正定矩陣；(2) f 0,則稱f為負定二次型，并稱實對稱矩陣A為負定矩陣；(3) f0,則稱f為半正定二次型，并稱實對稱矩陣A為半正定矩陣；(4) f 0,則稱f為半負定二次型，并稱實對稱矩陣A為半負定矩陣；(5) f既不滿足(3)，又不滿足(4)，則

25、稱f為不定二次型，并稱實對稱矩陣A為不定矩陣.例8.4.2已知A和B都是n階正定矩陣，證明A B也是正定矩陣.證明：因為A和B都是n階正定矩陣，所以4A, BTB,于是(A B)T AT BT A B即A B也是對稱矩陣.又任意xO,有xTAxO, xtBxO,從而xT(A B)x xTAx xTBx 0即XT(A B)x是正定二次型，故A B是正定矩陣.定理843 11元實二次型f(Xi,X2±, Xn) xTAx正定的充分必要條件是它的正慣性指數等于n.證明：設n元實二次型f (Xi,X2,L ,Xn) xTAx經過非退化線性替換X Cy化為標準形nf di yi2i1充分性.已

26、知dj 0(i 1,2,L, n),對于任意X 0有y C1X 0,故nf di y12 0i1必要性.用反證法.假設有某個dt 0,當取yt(0,L,1必Q)T時,有x C t 0，此時f xTAx tTCTAC t dt 0這與已知f為正定二次型矛盾故djO(i 1,2 ±, n).證畢.推論8.4.4實對稱矩陣A為正定矩陣的充分必要條件是A的特征值全為正數.推論8.4.5實對稱矩陣A為正定矩陣的充分必要條件是A合同于單位矩陣E .推論8.4.6實對稱矩陣A為正定矩陣的必要條件是detA 0.證明：因為A為正定矩陣，由推論8.4.5, A合同于單位矩陣E,所以有可逆矩陣C使A C

27、 T EC C TC兩邊取行列式，有detA det(CTC) detCTdetC (detC)2 20說明：從定義可以看出，如果我們根據定義來判斷二次型的正定性是比較麻煩的.所以我們下面給出一個方便判斷的結論.定義8.4.7子式31i 312a21322LL3iia(2稱為矩陣A(3j)nn的順序主子式定理848 n元實二次型f(X4,X2±,Xn)式全大于零,(i1,2±,n) * ana2iaiixT Ax正定的充分必要條件是矩陣的順序主子證明：f (xi, X2,L ,xn) xTAxaqXjXji1 j1必要性已知二次型f是正定的令kkfk(Xi,X2,L ,Xk

28、) aijXXj(k1,2,L,n)i1j1則對任意的列向量(VX2±,Xk)T 0,有fk(Xi,X2,L ,xj f(Xi,X2, L ,Xk,O,L ,0)0 (k 1,2,L , n)從而fk(Xi,X2,L ,Xk)是k元正定二次型由上面的推論846知，a11312a1k32132232k0,(k1,2,L,n)3kl3k23kk2充分性已知k0(k 1,2,L ,n).對階數n作數學歸納法當n 1時,f內兇,由1 aw 0知f是正定的假設論斷對n 1元二次型成立以下來證n元二次型的情形 注意到1 3ii 0,將f關于Xi配方，得其中bj aj3liCj3111 (3nXi

29、 812X2Lan(iJ2,3,L,n)amXn)2n nbjXiXji2j2kk由3j印知叼 b 如果能證明n 1元實二次型bjXjXj是正定的，則由定義知f也i2j2是正定的.根據行列式性質，得從而Ona21ak1O12 L Oika22a2k5 naani 2,3,L ,nak2akkb22M bk2由歸納假設知n 1元實二次型例849判斷下列二次型的正定性5Xi2anai2a11b2nM(k2,3±, n)b2nM 0(k 2,33)bkkbj xXj是正定的X2 5X32 4XiX2 8X1X34X2X3解：二次型f的矩陣為0,因為15 05 2所以f是正定的.例8410試

30、求t的取值范圍,使下列二次型為正定二次型4X22 4 X32 3X?2tXX2 2X-|Xs 4X2X3 ;2Xi解：二次型對應的矩陣為t4 A12矩陣A的順序主子式為t4 2 4(t 1)(t 2),111 f的正慣性指數與秩相等；0 A的特征值全為非負數；ErO(3)A合同于r，其中r為矩陣A的秩；00(4)存在實矩陣C使得A CTC；A的各階主子式都非負，其中主子式就是指行指標與列指標相同的子式說明：僅有順序主子式非 負是不能保證半正定性的如20 0 X1f(Xl, X2)X2 (為，X2)01 X2就是一個反例.習題八(A)1.證明：秩等于r的對稱矩陣等于r個秩為1的對稱矩陣之和 2.

31、設i1, i2_L, in是1, 2, L, n的一個排列，則下面兩個對角陣 t 11 t 1 0t4 2 0124 00 0 0 31 t 1t2,1 2 412(t1)(t 2)i0(i 123,4)4t20,(t 1)(t 2)0為了使A正定，必須有:即有解得2t 1.最后，我們注意到正、負定二次型的關系，于是有下面的結論.定理8.4.11 n元實二次型f(xi,X2, L,Xn) xTAx負定的充分必要條件是下列條件之一成(D f的負慣性指數為n；(2) A的特征值全為負數；(3)A合同于E;(4)A的各階順序主子式負正相間，即奇數階順序主子式為負數，偶數階順序主子式為正數定理8.4.

32、12 n元實二次型f(xi,X2,L,Xn) xTAx半正定的充分必要條件是下列條件之一成i14.用配方法把下列二次型化成標準形i2合同。4xiX2 2xiX3 2X2X3；in) 2Xi 2xiX2 2X24X2X34X33)若可螂陣2德怒同4X伙求喙X322；A 1和B2X2X4也合同.2X3X4 ；X2X3 X2X4X3X4中用初等變換法把下列二次型化為標準 5形，并求可逆矩陣1、2)3(X122X22 X3 X42)2xiX22X1X4 2X2X3 2X2X42X3X4 ；2X12X23X32 4xiX42x1X32x2X3 ；(4)2X1X1X23X32X2X36.設A是一個2X1X

33、22X1X3X1X4 4X2X4n階矩陣，證明8X2X3；6X3X4X T AX 0 ；(1) A是反對稱矩陣當且僅當對于任一個n維向量X ,有2)如果A是對稱矩陣，且對任一個n維向量X有X T AX 0,那么A 0.7.階矩陣屬于同一類當且僅當它們合同，問如果把實n階矩陣按照合同分類，即兩個實n共有幾類？8 .證明：一個秩大于1的實二次型可以分解為兩個實系數的一次多項式之積的充分必要條件是它 的秩等于2且符號差等于零.9 .設n階實對稱矩陣A是正定的，P是n階實可逆矩陣，證明：PTAP也是正定矩陣.10 .設A是n階實對稱矩陣，證明：A是正定的當且僅當存在n階實可逆矩陣P ,使得A PTP.11 .設A是一個正定矩陣，證明：(D 對于任意正實數k, kA是正定矩陣；(2)對于任意正整數k, Ak是正定矩陣； 1*(3) A 1是正定矩陣；(4) A的伴隨矩陣A*也是正定矩陣.12.判別下列二次型是否正定：(1 ) 5xi2 8X22 5x32 4x1X2 8x