學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第九章概率第50講隨機事件的概率考綱要求考情分析命題趨勢1。了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性以及概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別．2．了解兩個互斥事件的概率加法公式．2017·山東卷,162016·全國卷Ⅱ，182016·天津卷，2隨機事件的概率主要考查頻率與概率的關(guān)系，結(jié)合概率的性質(zhì)考查互斥事件和對立事件的概率．分值:5分1．事件的分類確定事件必然事件在條件S下，一定會發(fā)生的事件叫相對于條件S的必然事件不可能事件在條件S下,一定不會發(fā)生的事件叫相對于條件S的不可能事件隨機事件在條件S下，__可能發(fā)生也可能不發(fā)生__的事件叫做相對于條件S的隨機事件2．事件的關(guān)系與運算定義符號表示包含關(guān)系如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生,這時稱事件B__包含__事件A(或稱事件A包含于事件B）__B?A__(或A?B)相等關(guān)系若B?A且A?B__A＝B__并事件（和事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，稱此事件為事件A與事件B的__并事件__(或和事件）A∪B(或A＋B）交事件（積事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)__事件A發(fā)生__且__事件B發(fā)生__,則稱此事件為事件A與事件B的交事件（或積事件）A∩B（或AB)互斥事件若A∩B為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥A∩B＝?對立事件若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件,那么稱事件A與事件B互為對立事件A∩B＝?，P(A∪B)＝P（A）＋P(B）＝13．頻率與概率(1)在相同的條件S下重復(fù)n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn),稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù),稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A）＝__eq\f(nA,n)__為事件A出現(xiàn)的頻率．（2）對于給定的隨機事件A，如果隨著試驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的__頻率fn（A)__穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個__常數(shù)__記作P(A）,稱為事件A發(fā)生的概率，簡稱為A的概率．4．概率的幾個基本性質(zhì)（1)概率的取值范圍：__0≤P(A)≤1__.(2)必然事件的概率P(E）＝__1__。(3)不可能事件的概率P（F）＝__0__.（4)互斥事件概率的加法公式:①如果事件A與事件B互斥，則P（A∪B）＝__P（A)＋P(B)__；②若事件B與事件A互為對立事件，則P(A)＝__1－P(B）__.1．思維辨析(在括號內(nèi)打“√”或“")．（1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的．（×）（2)在大量重復(fù)試驗中，概率是頻率的穩(wěn)定值．（√）(3)如果某種彩票的中獎概率為eq\f（1,1000)，那么買1000張這種彩票一定能中獎．(×)（4）兩個事件的和事件是指兩個事件都得發(fā)生．（×）（5）兩個事件對立時一定互斥，但兩個事件互斥時這兩個事件未必對立．(√）2．一個人打靶時連續(xù)射擊兩次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(D）A．至多有一次中靶 B．兩次都中靶C．只有一次中靶 D．兩次都不中靶解析事件“至少有一次中靶"包括“中靶一次”和“中靶兩次"兩種情況，由互斥事件的定義，可知“兩次都不中靶”與之互斥．3．我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“米谷粒分"題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把,數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為（B)A．134石 B．169石C．338石 D．1365石解析樣品中米內(nèi)夾谷的比為eq\f(28,254),所以這批米內(nèi)夾谷為1534×eq\f(28,254)≈169(石）．4．從某班學(xué)生中任意找出一人，如果該同學(xué)的身高小于160cm的概率為0。2,該同學(xué)的身高在[160,175］（單位：cm）內(nèi)的概率為0.5，那么該同學(xué)的身高超過175cm的概率為(A．0。2 B．0。3C．0.7 D．0。8解析因為必然事件發(fā)生的概率是1，所以該同學(xué)的身高超過175cm的概率為1－0。2－0.5＝0。3。5．從一副不包括大小王的混合后的撲克牌(52張)中，隨機抽取1張,事件A為“抽得紅桃K”，事件B為“抽得黑桃”，則概率P(A∪B)＝__eq\f（7,26）__(結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示)．解析∵P（A）＝eq\f（1,52）,P（B）＝eq\f（13,52），且A與B是互斥事件，∴P(A∪B）＝P(A)＋P（B)＝eq\f(1，52）＋eq\f（13，52）＝eq\f（14,52）＝eq\f（7,26)。一隨機事件的關(guān)系對互斥事件要把握住不能同時發(fā)生，而對于對立事件除不能同時發(fā)生外，其并事件應(yīng)為必然事件,這些也可類比集合進(jìn)行理解，具體應(yīng)用時，可把所有試驗結(jié)果寫出來,看所求事件包含哪些試驗結(jié)果，從而判斷所給事件的關(guān)系．【例1】一個均勻的正方體玩具的各個面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3，4,5，6.將這個玩具向上拋擲1次,設(shè)事件A表示“向上的一面出現(xiàn)奇數(shù)點”,事件B表示“向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)不大于3”，事件C表示“向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)不小于4"，則(DA．A與B是互斥而非對立事件B．A與B是對立事件C．B與C是互斥而非對立事件D．B與C是對立事件解析根據(jù)互斥與對立的定義作答，A∩B＝｛出現(xiàn)點數(shù)1或3},事件A，B不互斥更不對立；B∩C＝?,B∪C＝Ω(Ω為必然事件),故事件B,C是對立事件．二隨機事件的頻率與概率頻率是個不確定的數(shù),在一定程度上頻率可以反映事件發(fā)生的可能性大小,但無法從根本上刻畫事件發(fā)生的可能性大小．但從大量重復(fù)試驗中發(fā)現(xiàn)，隨著試驗次數(shù)的增多,事件發(fā)生的頻率就會穩(wěn)定于某一固定的值，該值就是概率．【例2】隨機抽取一個年份，對西安市該年4月份的天氣情況進(jìn)行統(tǒng)計，結(jié)果如下.日期123456789101112131415天氣晴雨陰陰陰雨陰晴晴晴陰晴晴晴晴日期161718192021222324252627282930天氣晴陰雨陰陰晴陰晴晴晴陰晴晴晴雨（1）在4月份任取一天，估計西安市在該天不下雨的概率;(2)西安市某學(xué)校擬從4月份的一個晴天開始舉行連續(xù)2天的運動會，估計運動會期間不下雨的概率．解析（1)在容量為30的樣本中不下雨的天數(shù)是26，以頻率估計概率,4月份任選一天，西安市不下雨的概率為P＝eq\f（26,30）＝eq\f(13，15)。（2）稱相鄰的兩個日期為“互鄰日期對”（如1日與2日、2日與3日等），這樣,在4月份中，前一天為晴天的互鄰日期對有16個，其中后一天不下雨的有14個，所以晴天的次日不下雨的頻率為eq\f(7,8)，以頻率估計概率，運動會期間不下雨的概率為eq\f（7，8）。三互斥事件、對立事件的概率求復(fù)雜互斥事件概率的兩種方法（1)直接法：將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運用互斥事件的概率加法公式計算．(2）間接法:先求此事件的對立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))求解,即用正難則反的數(shù)學(xué)思想，特別是“至多"“至少”型問題，用間接法就顯得較簡便．【例3】經(jīng)統(tǒng)計，在某儲蓄所一個營業(yè)窗口等候的人數(shù)相應(yīng)的概率如下表所示。排隊人數(shù)012345人及5人以上概率0。10.160.30.30。10。04（1)求至多2人排隊等候的概率；（2）求至少3人排隊等候的概率．解析記“無人排隊等候”為事件A，“1人排隊等候”為事件B，“2人排隊等候”為事件C，“3人排隊等候”為事件D，“4人排隊等候”為事件E，“5人及5人以上排隊等候”為事件F，則事件A，B，C,D，E，F(xiàn)彼此互斥．(1）記“至多2人排隊等候"為事件G,則G＝A＋B＋C，所以P(G）＝P（A＋B＋C)＝P(A）＋P(B)＋P(C）＝0。1＋0.16＋0。3＝0。56。(2)方法一記“至少3人排隊等候”為事件H,則H＝D＋E＋F，故P（H）＝P（D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P（F)＝0。3＋0。1＋0。04＝0。44.方法二記“至少3人排隊等候"為事件H，則其對立事件為事件G，所以P（H)＝1－P（G）＝0。44。1．在一次隨機試驗中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分別為0.2,0。2,0.3,0.3，則下列說法正確的是(D)A．A＋B與D是互斥事件，也是對立事件B．B＋C與D是互斥事件，也是對立事件C．B＋D與A＋C是互斥事件,但不是對立事件D．A與B＋C＋D是互斥事件，也是對立事件解析由于事件A，B，C，D彼此互斥,且A＋B＋C＋D是一個必然事件，故其事件的關(guān)系可由如圖所示的Venn圖表示,由圖可知,任何一個事件與其他3個事件的和事件必然為對立事件，任何兩個事件的和事件與其余兩個事件的和事件也是對立事件．2．對飛機連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈．設(shè)A＝｛兩次都擊中飛機｝,B＝｛兩次都沒擊中飛機}，C＝｛恰有一次擊中飛機}，D＝｛至少有一次擊中飛機}，其中彼此互斥的事件是__A與B,A與C,B與C，B與D__，互為對立事件的是__B與D__。解析設(shè)I為對飛機連續(xù)射擊兩次所發(fā)生的所有情況，因為A∩B＝?,A∩C＝?，B∩C＝?,B∩D＝?，故A與B,A與C,B與C，B與D為彼此互斥事件，而B∩D＝?，B∪D＝I，故B與D互為對立事件．3．某保險公司利用簡單隨機抽樣方法，對投保車輛進(jìn)行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計如下表所示.賠付金額/元01000200030004000車輛數(shù)/輛500130100150120（1）若每輛車的投保金額均為2800元,估計賠付金額大于投保金額的概率;（2）在樣本車輛中，車主是新司機的占10%，在賠付金額為4000元的樣本車輛中，車主是新司機的占20％，估計在已投保車輛中，新司機獲賠金額為4000元的概率．解析(1)設(shè)A表示事件“賠付金額為3000元”,B表示事件“賠付金額為4000元”，以頻率估計概率得P（A）＝eq\f(150，1000)＝0.15，P(B）＝eq\f(120，1000）＝0。12.由于投保金額為2800元，賠付金額大于投保金額對應(yīng)的情形是3000元和4000元，所以其概率為P（A）＋P(B）＝0.15＋0.12＝0。27.(2）設(shè)C表示事件“投保車輛中新司機獲賠4000元”，由已知，樣本車輛中車主為新司機的有0.1×1000＝100(輛），而賠付金額為4000元的車輛中,車主為新司機的有0。2×120＝24（輛),所以樣本車輛中新司機車主獲賠金額為4000元的頻率為eq\f(24,100）＝0。24，由頻率估計概率得P（C）＝0。24。4．某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息,安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù),如下表所示.一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)/人x3025y10結(jié)算時間/（分鐘/人）11。522。53已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55％。（1）確定x，y的值，并估計顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值；(2)求一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率（將頻率視為概率）．解析（1）由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15,y＝20.該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時間組成一個總體，所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時間可視為總體的一個容量為100的簡單隨機樣本，顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值可用樣本平均數(shù)估計，其估計值為eq\f(1×15＋1。5×30＋2×25＋2。5×20＋3×10，100)＝1。9（分鐘)．(2）記A表示事件“一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘”,A1，A2，A3分別表示事件“該顧客一次購物的結(jié)算時間為1分鐘”“該顧客一次購物的結(jié)算時間為1.5分鐘”“該顧客一次購物的結(jié)算時間為2分鐘"。將頻率視為概率得P（A1)＝eq\f(15,100)＝eq\f（3，20），P(A2)＝eq\f（30,100）＝eq\f（3,10)，P（A3)＝eq\f（25，100)＝eq\f（1,4）.因為A＝A1∪A2∪A3,且A1，A2，A3是互斥事件，所以P(A）＝P(A1∪A2∪A3）＝P（A1)＋P（A2)＋P(A3）＝eq\f(3，20）＋eq\f（3，10）＋eq\f（1，4)＝eq\f（7,10).故一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率為eq\f(7，10）.eq\o(\s\up7（易錯點混淆互斥事件和對立事件），\s\do5（))錯因分析：忽視對立事件與互斥事件的區(qū)別與聯(lián)系是致錯的主要原因．對立事件和互斥事件都是不可能同時發(fā)生的事件,但對立事件必有一個要發(fā)生,而互斥事件可能都不發(fā)生，所以兩個事件對立，則兩個事件必是互斥事件，反之，兩個事件是互斥事件，但未必是對立事件．【例1】從裝有紅球、白球和黑球各2個的口袋內(nèi)一次取出2個球,則與事件A“兩球都為白球”互斥而非對立的事件是以下事件“①兩球都不是白球；②兩球恰有一個白球；③兩球至少有一個白球”中的哪幾個（)A．①② B．①③C．②③ D．①②③解析從口袋內(nèi)一次取出2個球，這個試驗的所有結(jié)果有（白，白），(紅，紅）,（黑，黑)，（紅，白），（紅，黑)，(黑,白),共6種結(jié)果，當(dāng)事件A“兩球都為白球”發(fā)生時，①②不可能發(fā)生,故為互斥事件，且A不發(fā)生時，①不一定發(fā)生，②不一定發(fā)生，故非對立事件，而A發(fā)生時，③可以發(fā)生，故不是互斥事件．故選A．答案A【跟蹤訓(xùn)練1】從6件正品與3件次品中任取3件，觀察正品件數(shù)與次品件數(shù)，判斷下列每對事件是不是互斥事件;如果是,再判斷它們是不是對立事件．（1）“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；(2）“至少有1件次品”和“全是次品”;（3）“至少有2件次品”和“至多有1件次品”解析從6件正品與3件次品中任取3件，共有4種情況：①3件全是正品；②2件正品1件次品;③1件正品2件次品；④全是次品．(1）“恰好有1件次品”即“2件正品1件次品”，“恰好有2件次品"即“1件正品2件次品",它們是互斥事件但不是對立事件．(2)“至少有1件次品”包括“2件正品1件次品"“1件正品2件次品”“全是次品"3種情況，它與“全是次品”既不是互斥事件也不是對立事件．(3)“至少有2件次品"包括“1件正品2件次品"“全是次品”2種情況，“至多有1件次品"包括“2件正品1件次品”“全是正品”2種情況，它們既是互斥事件也是對立事件．課時達(dá)標(biāo)第50講[解密考綱]考查隨機事件、頻率、概率等概念，考查概率的概念、性質(zhì)和加法公式，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)．一、選擇題1．每道選擇題有4個選項,其中只有1個選項是正確的．某次考試共有12道選擇題，某人說:“每個選項正確的概率是eq\f(1,4)，我每題都選擇第一個選項，則一定有3道題選擇結(jié)果正確．”這句話（B)A．正確 B．錯誤C．不一定 D．無法解釋解析解答一個選擇題作為一次試驗,每次選擇的正確與否都是隨機的．經(jīng)過大量的試驗，其結(jié)果呈隨機性，即選擇正確的概率是eq\f(1,4）。做12道選擇題，即進(jìn)行了12次試驗,每個結(jié)果都是隨機的，不能保證每題的選擇結(jié)果都正確，但有3題選擇結(jié)果正確的可能性比較大．同時也有可能都選錯，亦或有2題、4題或12道題都選擇正確．故選B.2．設(shè)事件A，B，已知P(A）＝eq\f(1,5)，P（B）＝eq\f(1,3），P（A∪B)＝eq\f（8,15),則A，B之間的關(guān)系為(A）A．兩個任意事件 B．互斥事件C．非互斥事件 D．對立事件解析雖然P（A）＋P(B）＝eq\f（1，5）＋eq\f（1，3）＝eq\f（8，15）＝P（A∪B）,但A與B可能有交集,所以A，B不一定是互斥事件，所以A,B之間的關(guān)系無法確定．故選A．3．4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動的概率為（D）A．eq\f（1，8） B．eq\f(3，8）C．eq\f（5，8) D．eq\f(7,8)解析由題意知4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動有24種情況，而4位同學(xué)都選周六有1種情況,4位同學(xué)都選周日有1種情況，故周六、周日都有同學(xué)參加公益活動的概率P＝eq\f(24－1－1，24）＝eq\f（14,16）＝eq\f(7,8）.故選D.4．口袋中有100個大小相同的紅球、白球、黑球,其中紅球45個,從口袋中摸出一個球,摸出白球的概率為0.23，則摸出黑球的概率為(D）A．0。45 B．0。67C．0。64 D．0。32解析摸出紅球的概率為0。45，摸出白球的概率為0.23，故摸出黑球的概率P＝1－0。45－0。23＝0.32。5．已知甲、乙兩人下棋,和棋的概率為eq\f（1,2)，乙勝的概率為eq\f（1，3），則甲勝的概率和甲不輸?shù)母怕史謩e為（C）A．eq\f（1，6)，eq\f（1，6） B．eq\f(1,2），eq\f(2,3）C．eq\f（1,6)，eq\f(2，3) D．eq\f（2，3），eq\f(1，2)解析“甲勝”是“和棋或乙勝”的對立事件,所以“甲勝”的概率為1－eq\f（1,2）－eq\f（1，3)＝eq\f(1,6)。設(shè)“甲不輸”為事件A，可看做是“甲勝”與“和棋”這兩個互斥事件的和事件，所以P（A）＝eq\f（1,6)＋eq\f（1,2)＝eq\f(2,3）eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(或設(shè)“甲不輸"為事件A，可看做是“乙勝”的對立事件，所以PA＝1－\f（1，3）＝\f(2，3））).6．某小組有5名男生和4名女生，從中任選4名同學(xué)參加“教師節(jié)”演講比賽,則下列每對事件是對立事件的是(C)A．恰有2名男生與恰有4名男生B．至少有3名男生與全是男生C．至少有1名男生與全是女生D．至少有1名男生與至少有1名女生解析“恰有2名男生”與“恰有4名男生”是互斥事件，但不是對立事件，排除A項;“至少有3名男生”與“全是男生”可以同時發(fā)生，不是互斥事件，排除B項；“至少有1名男生”與“全是女生”不可能同時發(fā)生,且必有一個發(fā)生，是對立事件,C項正確；“至少有1名男生”與“至少有1名女生"可以同時發(fā)生,不互斥，排除D項．故選C．二、填空題7．一個盒子中有10個大小相同的球,分別標(biāo)有1，2，3,…,10，從中任取一球,則此球的號碼為偶數(shù)的概率是__eq\f(1,2）__.解析取2號、4號、6號、8號、10號球是互斥事件,因概率均為eq\f(1,10），故所求概率P＝eq\f(1,10)＋eq\f(1,10）＋eq\f（1,10）＋eq\f(1,10)＋eq\f（1,10)＝eq\f(1,2）。8．某學(xué)校成立了數(shù)學(xué)、英語、音樂3個課外興趣小組，3個小組分別有39，32,33個成員，一些成員參加了不止一個小組,具體情況如圖所示．現(xiàn)隨機選取一名成員，他至少參加2個小組的概率是__eq\f(3，5）__,他至多參加2個小組的概率為__eq\f(13，15）__.解析隨機選一名成員，恰好參加2個小組的概率P(A）＝eq\f（11,60)＋eq\f(7，60）＋eq\f（10，60)＝eq\f（7，15）,恰好參加3個小組的概率P（B)＝eq\f（8，60）＝eq\f(2,15），則他至少參加2個小組的概率為P（A）＋P（B）＝eq\f（7，15）＋eq\f（2，15）＝eq\f(3，5)，至多參加2個小組的概率為1－P(B）＝1－eq\f（2,15)＝eq\f（13，15）.9．2018年平昌冬奧會的一組志愿者全部通曉中文，并且每個志愿者還都通曉英語、日語和韓語中的一種(但無人通曉兩種外語）．已知從中任抽一人,其通曉中文和英語的概率為eq\f(1，2），通曉中文和日語的概率為eq\f（3,10）。若通曉中文和韓語的人數(shù)不超過3人，則這組志愿者的人數(shù)為__10__。解析設(shè)通曉中文和英語的人數(shù)為x，通曉中文和日語的人數(shù)為y，通曉中文和韓語的人數(shù)為z，且x，y，z∈N*，則eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(\f（x，x＋y＋z）＝\f（1，2)，，\f（y,x＋y＋z）＝\f(3，10），，0〈z≤3,))解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝5，，y＝3，,z＝2，))所以這組志愿者的人數(shù)為5＋3＋2＝10。三、解答題10．一盒中裝有12個球，其中5個紅球，4個黑球，2個白球，1個綠球．從中隨機取出1球，求：(1）取出1球是紅球或黑球的概率；（2）取出1球是紅球或黑球或白球的概率．解析方法一記事件A1＝{任取1球為紅球},A2＝｛任取1球為黑球｝，A3＝｛任取1球為白球｝,A4＝{任取1球為綠球}，則P(A1)＝eq\f(5，12)，P（A2)＝eq\f（4,12)＝eq\f（1,3)，P（A3)＝eq\f（2，12)＝eq\f（1，6)，P(A4）＝eq\f(1，12）.根據(jù)題意知,事件A1，A2，A3,A4彼此互斥．由互斥事件的概率公式，得(1)取出1球為紅球或黑球的概率為P(A1∪A2)＝P（A1)＋P(A2)＝eq\f（5，12）＋eq\f(4,12）＝eq\f(3，4)。（2)取出1球為紅球或黑球或白球的概率為P（A1∪A2∪A3)＝P(A1）＋P(A2）＋P（A3）＝eq\f（5，12）＋eq\f(4，12)＋eq\f(2,12）＝eq\f（11,12）。方法二（1)由方法一知，取出1球為紅球或黑球的對立事件為取出1球為白球或綠球，即A1∪A2的對立事件為A3∪A4,所以取出1球為紅球或黑球的概率為P(A1∪A2）＝1－P（A3∪A4）＝1－P(A3）－P（A4)＝1－eq\f（2,12)－eq\f(1，12）＝eq\f（3，4).（2)因為A1∪A2∪A3的對立事件為A4，所以取出1球為紅球或黑球或白球的概率為P（A1∪A2∪A3）＝1－P（A4)＝1－eq\f（1,12)＝eq\f（11，12)。11．三個臭皮匠頂上一個諸葛亮,能頂?shù)蒙蠁幔吭谝淮斡嘘P(guān)“三國演義”的知識競賽中，三個臭皮匠A，B，C能答對題目的概率分別為P(A)＝eq\f(1，3），