基于排隊論的機場安檢排隊問題的研究摘要隨著航空客運業的快速發展，機場客運流量增長迅速，隨之便帶來了一系列問題，其中機場安檢過于擁堵問題是其中之一，加深了顧客對航空服務業的不滿，如何改善機場安檢系統便顯得尤為重要了。當前對于機場安檢排隊系統的研究運用管理學上理論提出的一些改善的方法，沒有定量描述問題實質。本文運用排隊論的有關理論，從機場安檢排隊系統模型的分析開始著手，利用案例進一步闡述排隊論在機場安檢排隊系統解決實際問題，為機場安檢擁堵問題提出了一種定量的分析方法。關鍵字：機場安檢排隊論系統模型BasedonqueuingtheoryqueuingproblemofairportsecurityAbstract：Withtherapiddevelopmentofthepassengerairlineindustry,airportpassengertraffichasgrownrapidly,withtheattendantwouldbringarangeofissues,includairportsecurityisoneofover-congestionproblems,enhancethecustomerdissatisfactionwithairservices,howtoimproveairportsecuritySystem,itbecomveryimportant.Thecurrentlineupforairportsecuritymanagementsystemfortheuseofsomeimprovementonthetheoryofthemethod,noquantitativedescriptionoftherealproblem.Inthispaper,thetheoryofqueuingtheory,queuingsystemmodelfromtheairportsecurityanalysisbegan,theusecasefurtherelaboratedonintheairportsecuritylinequeuingsystemtosolvepracticalproblems,congestionproblemfortheairportsecuritypresentsaquantitativeanalysis.KeyWords：AirportsecurityQueuingtheorySystemModel目錄1.排隊論知識介紹.......................................41.1定義........................................................................................41.2排隊系統的組成.............................................................................41.2.1輸入過程.............................................................................51.2.2排隊規則.............................................................................51.2.3服務機構............................................................................61.3符號表示..................................................................................61.4數量指標..................................................................................71.5排隊論研究的基本問題.......................................................................81.6排隊輪中的幾種重要的分布函數..............................................................81.6.1Poisson過程..........................................................................81.6.2負指數分布...........................................................................91.6.3愛爾朗分布...........................................................................101.7生滅過程及其穩態分布.......................................................................112..機場安檢的排隊系統模型分析...........................132.1乘客到達過程...............................................................................132.2排隊規則...................................................................................132.3辦理安檢手續的排隊過程.....................................................................133.案例分析.............................................133.1案例說明...................................................................................133.2案例分析..................................................................................133.3案例的解答.................................................................................174.結語.................................................20致謝...................................................21參考文獻...............................................21前言航空運輸業的發展不僅給航空運輸業的從業者帶來了機遇也給他們帶來了極大的挑戰，例如機場客運量的增加，給機場安檢系統帶來的就是一種挑戰，這需要運用科學的分析方法，解決安檢排隊系統的擁堵問題，提升機場的服務質量。本文就是本著這個目的，運用排隊論的相關理論，排隊系統模型的分析，運用定量的公式，給安檢排隊系統做一次定量的分析，使得管理部門對該問題有一個直觀的數量上的認識，進而使他們在作出決策時更加科學合理1.排隊論知識介紹1.1定義排隊論又稱為隨機服務理論或隨機服務系統，是一門研究擁擠現象的學說。主要揭示各種出現擁擠現象的排隊系統的概率的規律性，并借助相應過程的統計推斷方法來解決有關排隊系統的最優化問題。排隊是人們日常生活中經常遇到的現象（這種現象亦稱為擁擠現象或擁擠問題）顧客到商店購買物品、病人到醫院看病、讀者到圖書館借書、乘客到車站乘公共汽車，都要排隊、要等待。飯館的服務員與顧客、圖書館的管理員與借閱者、售票員與乘客都分別構成一個排隊系統或稱服務系統。顧客和買票者，稱為要求服務的對象，他們總希望得到某種服務。如果在某些時刻，要求服務的對象的數目超過了服務機構所能夠提供服務的數量時，也就是說，如果有些要求服務的對象到達之后不能立刻得到服務，就必須等候，因而出現了排隊現象。此時，人們總希望減少排隊現象，通常做法是要增加服務設施，比如增加服務臺的數量，但是服務臺越多，人力、物力的支出也就越大，甚至未出現浪費的現象。如果服務臺設施太少，顧客排隊等待時間就會太長，給顧客和社會帶來不方便和不良影響。因此，就產生顧客的等待與服務機構的數量（或服務速率）之間的沖突的問題。為此，便要經常檢查目前的服務設施是否得當，研究今后改進的對策，以提高服務質量，降低服務費用。排隊論就是為了解決上述問題而發展起來的一門學科，現在已經廣泛應用于如生產管理、庫存管理、商業服務、交通服務、銀行業務、醫療服務、計算機設計和性能評價等各種管理系統。1.2排隊系統的組成實際生活中的排隊系統雖然各不相同，但他們都具有一下3個特征：存在要求得到某種服務的顧客存在愿意為顧客提供服務的人或服務機構（也稱服務臺或服務員）顧客到達時刻及為每一位提供服務時間都是隨機的，因而造成系統中的顧客會時多時少，服務員的工作會時忙時閑一個排隊系統的基本過程可以用圖1.1來表示顧顧客數隊列顧客到達服務機構服務規則顧客離開一般的排隊系統都有3個基本組成部分：輸入過程、排隊規則、和服務機構1.2.1輸入過程輸入過程是指顧客到達排隊系統時按什么規律到達，顧客源情況如何。有以下幾種情況：顧客總體（顧客源）可能是有限的，也可能是無限的。如停機維修的機器，其來源是有限的，而上游河水流入水庫，則是無限的。顧客到來的方式可能是單個的，也可能是成批的。如到餐廳就餐的顧客由單個到來，也有成批到來參加宴會。顧客相繼到達的間隔時間可以是確定的，也可以是隨機型的。如自動裝配線上裝配的不見按確定的時間間隔到達裝配點，定期的班車、輪班、航班。但到商夏購物的客人、通過路口的車輛，到達是隨機型的。顧客到達可以是相互獨立的，即到達的情況對以后顧客的到來沒有影響，也可以是關聯的。在此討論獨立的情形。輸入過程可以是平穩的，即描述相繼到達的間隔時間分布和所含參數（期望值，方差）與時間無差，也可以是非平穩的。常見的輸入分布（到達間隔的概率分布）有：定長輸入。顧客嚴格按照固定的間隔時間相繼到達，屬于確定性輸入類型。泊松輸入。顧客到達過程為泊松流。愛爾朗輸入。相繼到達間隔相互獨立且具有相同的愛爾朗分布密度。一般獨立輸入。相繼到達間隔相互獨立且同分布。1.2.2排隊規則排隊規則是指顧客在排隊系統中按怎樣的規則與次序接受服務。有以下幾種情況：即時制（損失制）。顧客到達時，如所有的服務臺都正被占用，顧客可隨時離去，如市內電話呼喚、停車場就屬于這種情況。因為會失掉許多顧客，故又稱損失制。等待制。顧客到達時，若所有服務臺都被占用，則顧客就排隊等待，這種服務機制稱為等待制。多數系統都屬于這種機制。如登記市外長途電話呼喚。對于等待制，有下列各種規則：①先到先服務。即按到達次序接受服務。②后到先服務。如乘電梯是后進先出；在情報系統中，最后到達的信息往往是最有價值的，常最先被采用；車船卸貨時也往往卸后裝進的貨物。③隨機服務。指服務員從等待的顧客中隨機地選取其一進行服務，而不管到達的先后。如電話交換臺接通呼喚的電話，對迅速生產出來的大批量產品進行質量檢查時，所采用的抽樣檢驗方式就屬于這種情況。⑤有優先權的服務。如醫院對重病患者給予優先治療，郵局對加急電報優先拍發。混合制。兼有等待制與損失制兩種屬性的服務機制。這又可分為下列幾種類型：①系統容量有限。系統最多能容納r個顧客（包括等待著與被服務者），若容量已滿則后到的顧客就自動離去。如醫院各門診室每天掛號有限，沒掛上號的求診者將自行離去，而不會再到候診室等待。②等待時間有限。顧客在隊列中超過等待時間就自行消失。如藥房存放的藥品過了使用有效期就被銷毀，而不能在發放給病人了。③逗留時間有限顧客在系統中的逗留超過一定時間后就自行消失。如出爐的鐵水超過一定時間若仍未澆鑄或澆鑄未完，就報廢了。另外，從占有空間看，有的隊列是具體的，也有的是抽象的。有的系統要規定容量的最大限制，有的則認為容量可以是無限的。從隊列的數目看，可以是單列，也可以是多列。1.2.3服務機構服務機構主要包括服務設施的數量、連接形式、服務方式及服務時間分布等。服務設施的數量有單臺與多臺之分：構成形式上有串聯、并聯、混聯和網絡等；服務方式指某一時刻服務臺接受服務的顧客數，有單個服務和成批服務兩種；一般來說同一個服務臺因為每一位顧客對服務的要求不同，所以，每一位顧客接受服務的時間長短便不同，它是一個隨機變量，其概率分布常見的有：定長服務。對個顧客服務的時間都相同，是一常數。這是確定性服務類型。指數服務。對顧客服務的時間相互獨立，且具有相同的指數分布。愛爾朗服務。對顧客服務的時間相互獨立，且具有相同的愛爾朗分布一般獨立分布。對個顧客服務的時間相互獨立且同分布1.3符號表示排隊模型的記號是20世紀50年代初由D.G.Kendall引入的，通常用到6個符號并取如下格式：X/Y/Z/A/B/C該記號稱為Kendall記號，其中各符號含義如下：X表示顧客相繼到達排隊系統的時間間隔分布；Y表示服務時間的分布Z表示服務臺的個數或服務通道數；A表示排隊系統的容量，即可容納的最多顧客數；B表示顧客源的數目；C表示服務規則例如，M/M/1/∞/∞/FCFS表示一個顧客的到達時間間隔服從相同的負指數分布、服務時間為負指數分布、單個服務臺、系統容量為無限（等待制）、顧客源無限、排隊規則為先來先服務的排隊模型。若Kendall記號中略去了后面3項，則是指X/Y/Z/∞/∞/FCF，如M/M/s表示一個顧客到達時間間隔服從負指數分布、服務時間為負指數分布、s個服務臺，系統容量為無限（等待制）顧客源無限、排隊規則為先來先服務的排隊模型。G/M/1/∞表示一個單服務臺、服務時間為負指數分布、顧客相繼到達時間間隔為獨立同分布的等待制排隊模型。1.4數量指標為了準確估計服務系統的服務質量，了解系統工作狀態，確定最佳運行參數，在分析計算時，通常考慮以下指標1.系統狀態系統內的顧客總數，是任意時刻等待服務和正在接受服務的顧客數之和，常用N(t)表示，也稱為瞬態。系統平穩運行時常用N表示，稱為穩態。2.系統狀態概率指系統在時刻t恰有n個顧客的概率，稱為瞬態概率，記為P(t)。系統n平穩時有n個顧客的概率稱為穩態概率，記為T(t)。n3.隊長與隊列長隊長系統中顧客數的期望值，即系統穩態N的期望值E(N)，記為L。隊列長，又稱排隊長，指系統中在排隊等待服務的顧客數期望值，記為Lq4.顧客平均到達率指系統中有n個顧客時單位時間平均到達系統的新到顧客數，記為 λ。n若平均到達率與系統狀態無關，則顧客平均到達率可記為。5.系統平均服務率指的是系統中有n個顧客時，單位時間系統服務完畢離去顧客平均數，記為。若平均服務率與系統狀態無關，則系統平均服務率可記為。n6.逗留時間指顧客停留在系統全部時間的期望值，記為 W。7.等待時間指顧客在系統中排隊等待服務的時間的期望值，記為W.顯然逗留時間q等于等待時間加上服務時間。8.忙期和閑期忙期是指顧客到達空閑的服務機構開始，到服務機構再次為空閑時為止所持續的時間，常記為B。閑期是指服務機構從開始出現空閑期起，到再次忙碌時為止所持續時間，常記為I。上述指標中，可以用來衡量一個排隊系統的工作狀況的主要指標有隊長和隊列長、逗留時間、忙期和閑期。隊長和隊列長是顧客和服務機構都關心的指標，在設計排隊系統時很重要，因為它涉及系統需要的空間大小。逗留時間也是衡量系統工作狀態的一個重要指標，每個顧客都是希望逗留時間越短越好。忙期和閑期均為衡量服務機構工作強度和利用效率的指標，在服務過程中，兩者相互交替出現。1.5排隊論研究的基本問題首先，排隊論研究排隊系統的主要數量指標的概率規律，即研究排隊系統的整體性質。通過研究主要數量指標在瞬態或平穩狀態下的概率分布及其數字特征，了解系統運行的基本特征。其次，排隊論研究系統的優化問題。系統優化問題又稱為系統控制問題或系統運營問題，其基本目的是是系統處于最優或最合理的狀態。包括最優設計問題和最優運營問題，如最少費用問題、服務率的控制問題、服務臺的開關策略、顧客和服務根據優先權的最優排序問題等等。另外排隊論還研究排隊系統設計推斷問題。建立適當的排隊模型是排隊論研究的第一步，建立模型的過程中經常會遇到諸如要檢驗系統是否到達平穩狀態、要檢驗顧客相繼到達時間間隔的相互獨立性、要確定服務時間的分布及有關參數等問題，這些都是統計推斷問題。1.6排隊輪中的幾種重要的分布函數1.6.1Poisson過程Poisson過程（亦稱Poisson流或最簡單流），是排隊論中一種常用來描述顧客到達規律的特殊的隨機過程。設N(t)表示在[0，t)內到達的顧客，P(t,t)表示在[t,t)有n位顧客到n12 12達的概率，即P(t,t)=P{N(t)-Nt()=n}(tt;n0)(1.6.1)n12 2 1 1 2當P(t,t)滿足一下3個條件時，則顧客到達服從Poisson分布n12(1)平穩性是指在[t,t+t]內有一個顧客到達的概率與到達的起始時刻t無關，而只與區間長度t有關（t充分小）P(t,t+t)=t+o(t)(1.6.2)1這里>0為常數，它表示單位時間內一個顧客到達的概率，稱為概率強度。o(t)為t的高階無窮小。(2)獨立性即在不相交的時間區域內顧客到達的數目是相互獨立的，即在[t,t+t]內到達的顧客數與時刻t以前已經到達的顧客數無關，這一性質也稱為無后效性。(3)普通性指在充分小的時間區間[t,t+t)內，有兩個或兩個以上顧客到達的概率極小，即P(t,t+t)=o(t)(1.6.3)nn2從而在[t,t+t]內沒有一個顧客到達的概率為P(t,t+t)=1-t+o(t)(1.6.4)0顯然時間區間[0，t+t]可分解為[0,t和][t,t+t]兩個區間，由上述三式知，在[0，t+t]內到達n個人的概率可以表示成以下3種不相容的情形的概率之和：P(0,t+t)=P(t)(1-t)+P(t)t+o(t)(1.6.5) n n n1對上式兩邊減去P(t)并除以t，當t0時，則有ndP(t)n=-P(t)+P(t)(n1)d n n1tP(0)0（1.6.6）n特別的，當n=0時，上式轉化為dP(t)n=-P(t) dt 0(1.6.7)P(0)=1n故可接得時間間隔為t的時間區間恰好有n個顧客到達的概率為P(t)=(t)net(t>0;n=0,1,…2)(1.6.8)n n!可見N(t)服從Poisson分布，其數學期望和方差為：E(N(t))=n(t)ne-t=t，Var(N(t))=t(1.6.9) n0 n！特別的當t=1時，有E(N(1))=，表示單位時間內到達的顧客的平均數，亦稱到達率。由于Poisson流和實際流非常近似，更由于它在分析計算時易于處理，因此，近30年來，排隊論中研究的多為Poisson流輸入。并且，用排隊論解決實際問題，至今也主要限于Poisson流的情形。1.6.2負指數分布若隨機變量T的概率分布密度為et(t0)f(t)=(>0)(1.6.10)0(t<0)則稱T服從參數為的負指數分布。負指數分布分分布函數為1-et(t0)F(t)=(>0)(1.6.11) 0 (t<0) 1 1顯然E(T)=,Var(T)=，稱為每個服務臺的平均服務率，即單位時間內獲得服務開系統的顧數的平均值。負指數具有如下性質。①當顧客到達過程為參數為的Poisson過程時，那么顧客相繼到達時間間隔T服從負指數分布。這是因為對Poisson分布而言，在[0,t)內至少有一個顧客到達的概率為1-P(t)=1-et，即可表示為P{Tt}=1-et=F(t。)這說0明，相繼到達的時間間隔獨立且服從負指數分布，與顧客服從Poisson分布是等價的。②P{T>t+s︱T>s}=P{T>t},這個性質是顯然的，該性質被稱為“無記憶性”或“馬爾科夫性”，指的是一個顧客的到來所需要時間與過去一個顧客到來所需時間無關。③設隨機變量T,T,…,T相互獨立且服從參數為，，…的負指 1 2 n 1 2 n數分布，若令T=min{T,T,…,T}，則T也服從負指數分布。該性質說明： 1 2 n若來到服務系統的顧客有n中不同的類型，每類顧客來到服務臺的間隔時間服從參數為的負指數分布，則從整體上來說，到達服務系統的間隔時間服i從參數為n的負指數分布。若一個服務即為系統中有s個并聯的服務臺，ii1且各服務臺對顧客的服務時間服從參數為的負指數分布，則整個服務系統的輸出即為參數為s的負指數分布。1.6.3愛爾朗分布設顧客在系統內所接受的服務可分為k個階段，每個階段的服務時間T，1T，…，T，T，T，…，T服從參數為k的負指數分布 2 k 1 2 kkekt(t>0)f(t)=(1.6.12)(t<0)且它們是相互獨立的隨機變量，顧客在完成全部服務內容并離開系統后，另一個顧客才能進入系統接受服務，則稱顧客在系統內接受服務時間之和T=T+T+…+T服從k階愛爾朗分布，記為E，其分布密度函數為2 k k(k)ktk1e-kt(t0)(k1)！f(t)=(k,>0)(1.6.13)(t<0)1且E(T)=，Var(T)=,這里k為每個服務臺的平均服務率，每個服務 k1臺的平均服務時間為，而系統平均服務率為，每個顧客總的平均服務時k1間為。顯然，當k=1時，愛爾朗分布即為負指數分布；當k時，有Var(T)=0，此時稱該分布為定長分布。一般的愛爾朗分布均為介于兩者之間的分布1.7生滅過程及其穩態分布在排隊論中，很多模型都假設其狀態過程為生滅過程，生滅過程是一類簡單而又廣泛應用的隨機過程。若用N(t)表示時刻t系統內的顧客數，則｛N(t),t0｝就構成一個隨機過程，若用“生”表示顧客到達，“滅”表示顧客離開，則對許多排隊過程來說，｛N(t),t0｝就是一個特殊的隨機過程，稱為生滅過程。其概率分布有如下性質：給定N(t)=n，則從t時刻起到下一個顧客到達時刻止的間隔時止服從參數為(n=0,1,2,…)的負指數分布；n給定N(t)=n，則從t時刻起到下一個顧客到達時刻止的間隔時間服從參數為(n=0,1,2,…)的負指數分布；n③在同一時刻只可能發生一個生一個滅，即同時只能有一個顧客到達或離去，則稱｛N(t)=n,t0｝為一個生滅過程生滅過程實際上是一特殊的連續時間馬爾可夫鏈，即馬爾可夫過程，根據Poisson分布與負指數的關系，即為系統處于N(t)時系統時間內顧客的n平均到達率，即為單位時間內顧客平均離去率。一般來說，要求出N(t)的n分布p(t)=｛N(t)=n｝(n=0,1,2,…)是比較困難的，顧下面只考慮系統處于穩n定狀態的情況。記系統達到穩定狀態的分布為p(n=0,1,2,…)。我們考慮該系n統處于某一特定狀態N(t)=n(n=0,1,2,…)。從時刻0開始，分別計算該過程進入這個狀態和離開這個狀態的次數，因為進入這個狀態和離開這個狀態總是交替發生的，所以當系統運行相當長時間按而到穩定狀態后，對任一狀態n來說，單位時間內進入該狀態的平均次數和單位時間內離開該狀態的平均次數應該相等，即系統在統計平衡下“流入=流出”，該等式稱為“流入=流出”原理。根據該原理，我們取n=0,1,2…，則有表1.7.1表1.7.1狀態狀態輸入率等于輸出率狀態輸入率等于輸出率012…0011pp1112200)(ppp2223311)(ppp…1nn…11122)(nnnnnnnpppnnnnnnnppp)(1111…表1.7.1中的方程稱為平衡方程，有平衡方程可得 1 p1p(upp)1p10p 2111 0010 2 2 2 21 1 p2p(pp)2p210p 3222 1120 3 3 3 321 1 pn1p(pp)n1pn1n210pnn1n1n1n2n2n10 n n n nn1 21 1 pnp(pp)npnn10pn1nnnn1n1n0 n1 n1 n1 n1n 1令c=n1n20(n=1,2,…)(1.7.1)n nn1 1且令c=1，則個平穩狀態的分布0pcp(n=1,2,…)(1.7.2) n n0 因p1，即pc1，故n 0 nn0 n01p(1.7.3)0cnn0只有當級數c收斂時才成立。這樣就可以求得p了。 n nn02..機場安檢的排隊系統模型分析2.1乘客到達過程安檢口的旅客到達和某一時段的所有的航班有關，由于一天中上午8時到9時，下午1時至4時，晚上6時至7時是航班的高峰期；7時到20時的其它時段是平穩期；21時到次日7時是低谷期，所以我們可以將每天分為3種情況8個時段，假設每個時段中，旅客的到達概率都是一樣的，而且符合以下條件：a.在不相重疊的時間區間內旅客到達數是相互獨立的；b.在充分小的時間△t，在時間區間［t,t+△t）內有1個旅客到達的概率與無關，而約與區間長△t成正比；c.對于充分小的△t，在時間區間［t,t+△t）內有2個或2個以上旅客到達的概率極小，以致可以忽略；所以安檢口的旅客到達是符合普松流(Poisson流)，這樣旅客相繼到達的間隔時間是服從負指數分布。2.2排隊規則顧客到達屬于等待制，先到先服務，后到后服務的排隊規則。2.3辦理安檢手續的排隊過程機場辦理安檢的時間是隨機性的，服務時間也是服從負指數分布的，所以安檢口這個排隊系統屬于M/M/c模型。3.案例分析3.1案例說明某機場有九個安檢口，由于不同時間航班數量不同，因而通過安檢服務的旅客數量也不同，有的時候流量大，有的時候流量少，若九個安檢口全部開放，則在流量少的時候，就會造成某些安檢口的資源浪費，因此公司為了節約資源，希望在不同的時段開放一定數量的安檢口既能解決旅客過安檢過于擁堵以至于給造成服務質量不好的影響，同時最大限度的利用安檢口資源，減少不必要的浪費。所以本文就是運用排隊論來定量的算出每個時段需要幾個安檢口。3.2案例分析由第2章的分析可以得出，本案列的機場安檢系統是平行排列的多服務臺系統所有的旅客都是接受同一種服務，旅客可以在任意一安檢口接受安檢服務，所以我們可以把該排列系統看成是M/M/s/∞/∞/FCFS模型，因為：①顧客相繼到達系統的時間服從參數為的負指數分布，且相互獨立；②安檢臺的服務時間獨立同分布且服從參數為的負指數分布；③系統空間無限，允許無限排隊；④服務規則為先到先服務。機場安檢排隊系統屬于生滅過程，是一類最簡單的排隊系統，如果平均到達率和服務臺的平均服務率分別為和，他們均與狀態無關。那么當s=1，即只有一個服務臺時，有(n=0,1,2,…)。n當(n=1,2,3,…)，s>1,即有多個服務臺時，有nn(n<s)=ns(ns)若設1，則排隊系統最終能達到穩定狀態，故可應用生滅過程的相關結s論。下面介紹與機場排隊系統有關的兩種模型：(1)M/M/1單服務臺排隊模型M/M/1排隊模型即為單服務臺情形，s=1,由(1.7.1)，有c()nn(n=0,1,2,…)n由pnp及 n 0 1 1p 1(3.2.1)0cnn n0 n0有p(1)pn(n=0,1,2,…)(3.2.2)n式(3.2.1)和式(3.2.2)給出了在穩定條件下系統中顧客數為n的概率。由式(3.2.1)可以看出=1-p，因此是系統中至少有一個顧客的概率，即服務臺處于忙期0的概率，故也稱為服務強度，它反映了系統繁忙程度。注意到式(3.2.2)只有在=<1條件下成立，故要求顧客的平均到達率小于系統的平均服務率，才能使系統達到平衡（穩定）。進一步，我們可求得其他幾個數量指標。平均隊長：L=npn(1)n(1)nn1nn0 n0 n0d 1=(1)?( ) d11平均派隊長：L(n1)pL(1p)q n 0n12=L-=(3.2.3)()若，則1，上述情況不再適用。考慮到時顧客在系統中的逗留時間服從的分布。設一顧客到達時，系統中已有n個顧客，按先來先服務的規則，這個顧客的逗留時間T就是原有各顧客的服務時間T和這個顧客服務時間iT之和T=T'TTT,n1 1 2 n n1其中T‘’表示這個顧客到達系統時正在接受服務的那個顧客人需要接受服務時1間。令f(t︱n+1)表示T的概率密度，這是在系統中已有n個顧客時的條件概率密度，故T的概率密度為f(t)=pf(t︱n+1)nn0若T‘’(i=1,2,3,…,n+1)均服從參數為的負指數分布，根據負指數的無記憶1性，T‘’也服從參數為的負指數分布，因此T服從愛爾朗分布：1(t)netf(t︱n+1)=n！所以f(t)=(1)n(t)ne-ttn！n0=(1-)et(t)n=()e()tn！n0即顧客在系統中逗留時間T服從參數為的負指數分布，故平均逗留時間為1W=E(T)=(3.2.4)而顧客在系統中的逗留時間T為等待時間和接受服務時間之和。即T=T+Vq為服務時間。故有1W=E(T)=E(T)+E(V)=W+ q q故平均等待時間為1=W-= (3.2.5)q()由(3.2.4)可知，平均隊長和平均逗留時間W滿足L=W(3.2.6)同理，可由式(3.2.3)和(3.2.5)得到平均隊長與平均等待時間W滿足qLW(3.2.7) q q式(3.2.6)與(3.2.7)稱為Little公式。(2)M/M/s多服務臺排隊模型設有s個服務系統，由假設有，且nn(n=1,2,…，s)=ns(n=s,s+1,…)故()n (n=1,2,…，s)cn()n!n!ns)(()ns(n=s,s+1,…)s!ss!sns令，則有<1時有ssssn p(n=1,2,…，s)n!0p(3.2.8)nn p(n=s,s+1,…) s!sns 0其中s1nsp( )1(3.2.9) 0 n!s!(1) n0 s式(3.2.8)和式(3.2.9)即為穩定條件下系統中顧客數為n的概率。當ns時，即系統中顧客數不少于服務臺個數，這時再來的顧客等待且必須等待的概率為pnp1s()kps pn s!sns 0s! s0s!(1)0 ns ns k0 s上式稱為Erlang等待公式。再求其他數量指標L(ns)pkpq nskns k0=kskppsdsks!s0 0s!sd k0 s s d 1 ps=p()0s(3.2.10)0s!sd1s!(1)2 s s s記系統中正在接受服務的顧客平均數為s，顯然，s也是正在忙的服務臺的平均數，故 s1s1nn ss=npsppspnnn!0s!(1)0 n0 ns n0 s=p(s1n1s1 )(3.2.11) 0 (n1)!(s1)!(1) n1 s上式說明平均在忙的服務臺的個數不依賴于服務臺個數s。故可得到平均隊長L=平均排隊長+正在接受服務的顧客平均數=L(3.2.12)q對多服務臺系統，Little公式依然成立，故有 L L 1W=,Wq=W-(3.2.13)q3.3案例的解答案例中的某機場一共有九個安檢口，所以我們可以令s=(1,2,3,…9)依次計算在單位時間內辦理案件人數X。該X表示某時段該機場的客運量，這個可以運用統計學的知識統計出來。我們首先要解決的問題是求解（單位時間平均到達的旅客數）和（單位時間能被服務完成的旅客數）。對于，我們可以由X/單位時間，計算得到。即X=，通常我們將統計一小時內機場安檢口旅客到達人數，該數值單位時間就等于X。對于我們可以用一則案例來說明如何計算的值案例：某超級市場，顧客從貨架上挑選各類商品，出門到柜臺付款。現有兩個收款柜臺，顧客可以在任一個柜臺付款。設此服務系統是M/M/2/排隊模型。為了估計該系統的效能，現在柜臺前作如下統計：一兩分鐘作為一個時段，依次記下這些顧客在柜臺旁付款所花費的時間。下面給出有關數據：付款時間（分：秒）4：35，3：02，5：27，4：33，2：35，1：45，0：15，3：45，0：15，4：20，2：39，4：51，5：45，0：23，2：30，3：26，1：48，1：16，1：24，4：17，3：07，1：40，5：53，2：31，3：28，0：54，0：386：55，1：33，6：20，0：59，2：03，1：29，5：24，3：50試估計該系統的效能。解由已知數據可知顧客總服務時間為：105.58分鐘，則顧客的平均服務時間1105.58= =3.017（分鐘）35于是，該負指數分布的參數=0.331（顧客/分鐘）所以對于本文中的機場安檢排隊系統中的顧客平均服務時間我們也可以按照上述案例的統計方法來解決，由于本人缺乏這方面的資料，在這里只是提供一種方法，我們可以假設平均服務率=2（人/分鐘）也就是說平均每分鐘有2個人接受安檢服務。既然已經解決了與的問題，下面需要解決的就是服務臺c個數的問題。我們只有一步一步的來解決，即當c=(1,2,3…9)時X的值。在此我們需要確定旅客在安檢口逗留時間只能在5分鐘之內，也就是說W（逗留時間）等于5分鐘。s①當c=1時，它屬于單服務臺負指數分布隊列，所以可以使用排隊論中的M/M/1模型來分析。應用模型的Little公式：(1)Ls=λ/(μ－λ)(2)Lqρλ=/(μ－λ)(3)Ws=1/(μ－λ)(4)Wq=ρ/(μ－λ)其中Ls：在安檢排隊系統中的旅客人數Lq：在安檢排隊系統中的排隊等待服務的旅客人數λ：單位時間平均到達的旅客數μ：單位時間能被服務完成的旅客數ρ：服務強度Ws：在排隊系統中旅客逗留時間的期望值Wq：在隊列中旅客等待時間的期望值(a).設在一個小時內，辦理安檢的人數是X，那么平均到達率λ=X/60(人/分)，μ=2(人/分)即乘客到達數服從參數為X/60的普阿松分布，安檢時間服從參數為2負指數分布。(b).服務強度ρ=λ/μ=X/120依次代入公式，得到以下指標：在安檢口的旅客人數(期望值)Ls=λ/(μ-λ)=X/(120-X)在安檢口的排隊人數(期望值)Lq=ρLs=(XX)/(14400-120X)旅客在安檢口的逗留時間(期望值)Ws=1/(μ-λ)=60/(120-X)旅客在安檢口的等待時間(期望值)Wq=ρWs=X/(14400-120X)②當c>1時，它屬于多服務臺負指數分布隊列，所以可以使用排隊論中的M/M/c模型來分析。由3.2中的案例分析可知，M/M/c模型的Little公式為：(1)Ls=Lq+λ/μ(2)Lq=p(c)c/c!(1)20(3)Ws=Ls/λ(4)Wq=Lq/λ其中Ls：在安檢排隊系統中的旅客人數Lq：在安檢排隊系統中的排隊等待服務的旅客人數λ：單位時間平均到達的旅客數μ：單位時間能被服務完成的旅客數ρ：服務強度Ws：在排隊系統中旅客逗留時間的期望值Wq：在隊列中旅客等待時間的期望值P0：是整個安檢區空閑的概率且：p(c1nc)1，， 0 n!c!(1) n0現在以c=1或2，來應用上述公式;當c=1時由旅客在安檢口的逗留時間(期望值)Ws=1/(μ-λ)=60/(120-X)=5，可以計算出，X=108，當c=2時， X 1 X P1/{1 0.5()2} 0 120 X 1201240 X 1 XL=23/{10.5()2}(1)2q120X1201240 X 1 X XL=23/{10.5()2}(1)2+s120X1201201240 X 1 X23/{10.5()2}(1)2q120X12012401 X X23/{10.5()2}(1)2+s120X12012012401 X X因為W=5，即W23/{1 0.5 ()2}(1)2+=5s s 120 X 120 1201240可以解得X=247。同理我們可以依次計算當c=3,4,5…9，時X的值，這里由于計算比較復雜，計算量大，故在此就不一一計算了。計算出X值之后，我們就可以按照航班人數航班客座率為60%計算預計的接受安檢服務的旅客數，根據旅客數與X值的比較，我們就可以確