22煉恒一、基礎知識：1參變分離名思義是在不等式中含有兩個字母一視為變量另一個視為參數可利用不等式的等價變形讓兩個字母分居不等號的兩側，即不等號的每一側都是只含有一個字母的表達式。然后可利用其中一個變量的范圍求出另一變量的范圍如何確定變量與參數：一般情況下，那個字母的范圍已知，就將其視為變量，構造關于它的函數，另一個字母（一般為所求）視為參數。參變分離法的適用范圍判斷恒立問題是否可以采用參變分離法遵循以下兩點原則：（已知不等式中兩個字母是便于進行分離果通過幾步簡單變換即可達到分離目的，則參變分離法可行。但有些不等式中由于兩個字母的關系過于“緊密現法分離的情形，此時要考慮其他方法。例如：

a

，

11

e

等（）看參變分離后，已知變量的函數解析式是否便于求出最值（或臨界值析過于復雜而無法求出最值（或臨界值無法用參變分離法解決問題見”恒成立問題——最值分析法“中的相關題）4、參變分離后會出現的情況及理方法

為自變量，其范圍設為

D

，

f

為函數；a為數，g

為其表達式）（）

f

①

D,g

，則只需要

D,g

f

，則只需要

f

②

D,g

，則只需要

D,g

，則只需要

③

,

f

，則只需要

f

,

，則只需要

④

,

，則只需要

,

，則只需要

-1-（）

f

①

D,

，則只需要

D,

，則只需要

（注意與（）中對應情況進行對比）②

D,

，則只需要

D,

，則只需要

（注意與（）中對應情況進行對比）③

g

f

，則只需要

M

（注意與（）中對應情況進行對比）④

gg

，則只需要，則只需要

（注意與（）中對應情況進行對比）g

f

，則只需要

5、多變量恒成立問題：對于含個以上字母（通常為）的恒成立不等式，先觀察好哪些字母的范圍已知（作為變量個所求的參數，然后通常有兩種方式處理選擇一個已知變量，與所求參數放在一起與另一變量進行分離。則不含參數的一側可以解出最值（同時消去一元多變量恒成立問題就轉化為傳統的恒成立問題了。將參數與變量進行分離，即不等號一側只含有參數，另一側是雙變量的表達式，然后按所需求得雙變量表達式的最值即可。二、典型例題：例1：已知函數

f

，若

x)2

恒成立，則實數

a

的取值范圍_______思路：首先轉化不等式，

f'ae

，即

e

aex

3

恒成立，觀察不等式與e

便于分離，考慮利用參變分離法，使a分居不等式兩側，成立，只需max

若不等恒e解式看關x的次數故方求值

，以a答案：

例2：知函數

f

ax

，若

f

上恒成立，則a的取值范圍是_________-2-思路：恒成立的不等式為

ln

ax

x

2

，便于參數分離，所以考慮嘗試參變分離法解：

ln

ax

x2ln3xlnx

3

，其中

只需要

3

，令

3max

(x)x

2

（導函數無法直接確定單調區間，但再求一次導即可將

ln

變為

1x

，所以二階導函數的單調性可分析，為了便于確定

'

的符號，不妨先驗邊界值）'

，

1x

2

斷單調性時一定要先看定義域，有可能會簡化判斷的過程）g'

在

g

g

a答案：

小煉有話說：求導數的目的是利用導函數的符號得到原函數的單調性，當導函數無法直接判斷符號時，可根據導函數解析式的特點以及定義域嘗試在求一次導數，進而通過單調性和關鍵點（邊界點，零點）等確定符號。例3：若對任意R，等式3x

2

x

恒成立，則實數a的圍是．思路：在本題中關于

a

的項僅有

一項，便于進行參變分離，但由于

,則分離參數時要對x的符號進行討論，并且利用的號的討論也可把絕對值去掉，進而得到a的圍，3x

2

x

322，當0時，24

，而in3x1

34x

3x4x

；當

x0

時，不等式恒成立；當時，3x

，而

33x44aa答案：

綜上所述：

小煉有話說）不式含有絕對值時，可對絕對值內部的符號進行分類討論，進而去掉絕對值在題中對x進符號討論一舉兩得是去掉了絕對值二參變分離時確定不等號-3-mm2m2mm2m2的是否變號。（）求解式最值時根據式子特點巧妙使用均值不式，替代了原有的構造函數求導出最值的方法，簡化了運算。（意后確定的圍時是三部分取交集為是對x的值范圍進行的討論無

取何值

的值都要保證不等式恒成立

a

要保證三段范圍下不等式同時成立取交集。例4函

f()x2

任的

x,f

f(x)ff(m)

恒成立，則實數取值范圍是思路：先將不等式進行化簡可得：

2

2

2

x

2

，即

12

m3，便于進行分離考慮不等式兩邊同時除以

，可得：1x

min

，

x

2

x

1，xx最小值

g

51m212m3m

即

解得：

答案：m

小煉有話說：本題不等式看似復雜，化簡后參變分離還是比較容易的，從另一個角度看本題所用不等式為二次不等式，那么能否用二次函數圖像來解決呢？并不是一個很好的辦法，因為二次項系數為關于

m

的表達式且過于復雜，而對稱軸的形式也不利于下一步的計算。所以在解題時要注意觀察式子的結構，能夠預想到某種方法所帶來的運算量，進而做出選擇例5：若不等式

x23

對

恒成立，則實數

a

的取值范圍是．思路：-4-21222212222x3x

x

x

min

令

f

x

2

xx

3

對對值內部進行符號討論，即

f

2x2

，而yxffmin

單調遞增，

2yxx

2

在

單調遞減，

可求出a22答案：

例6正數

f

2

x

2egf,任意,等1xxkk恒成立，則正數

的取值范圍是（）思路：先將k放不等號一側，可得

1

2k

，所以

2k

1

max

，先求出

的最大值，g

'

2

可得

單調遞減。故

，所以若原不等式恒成立，只需

2k

，不等式中只含

k,

，可以考慮再進行一次參分離，

2k

e

kk

f2

，則只需e

kk

x211x，fxexxx

，e所以

e

kk

解得：

kk答案：例7：已知函數

fRg

，若對于任意的12

，不等式

f1

恒成立，求實數

a

的取值范圍思路：

f

含有參數

a

，而

為常系數函數，且能求出最值，所以以

為入手點：-5-2aaa2aaa若

f1

2

恒成立，則只需

f1

。可求出

，進而問題轉化為

1

，

x1

恒成立，此不等式不便于利用參變分離解考慮利用最值法分類討論解決解：

f1

恒成立需f1

由

得：

'

，令

'

解得：

x

在

g

g1

，

2x1

恒成立即只需

f

f

'

12axxx當

a0

時，令

x

2a則

f

a1

，f

矛盾當0，2ax0

'

單調遞增，在

單調遞減

f

綜上所述：

小煉有話說在6，例7中于多變量恒成立不等式，都是以其中一個函數作為突破口求得最值，進而消元變成而二元不等式，再用處理恒成立的解決方法解決。（2）本題處理

f

恒成立的過程中，對令

x

2a

這個反例，是通過以下兩點確定的①

0

時估計

f發當

x

時，

2

（平方比一次函數增長的快）②選取特殊值時，因為發現

x

時，

ln

已然為正數，所以只需-6-yy前面兩項相消即可所以解方程

ax

x

2a12aa

剛符合反例的要求。例8：若不等式

2xy

對任意正數x,y

恒成立，則正數

的最小值是（）A.

B.

C.

2

D.

2思路：本題無論分離還是分離y都對困難，所考慮將x,y歸不等號的一側，致力于去求x表達式的最值：

xya

從2入考慮使用均值不等式：

xy

xxyxy

2

，所以答案：小煉有話說）在變量不等式恒成立問題上處理方式要根據不等式特點靈活選擇合適的方法，本題分離a與x,

很方便，只是在求二元表達式最值上需要一定的技巧。（本題在求

xxy

的最大值時還可以從表達式分分母齊次的特點入手時除以

（或

xyy

，在通過換元

t

yx

轉化為一元表達式，再求最值即可。例9已函數

f

x

1xk如果當不式xx

恒成立求實數

的取值范圍思路恒成立不等式為

1xxx

,只不等號兩側同時乘以

x

即可進行參變分離且由于

x

,

x

，也不存在不等號變號問題。則可得：

k

x

,只需

即可，設min

xx

，嘗試利用導數求得最小值，解：

x

kx

-7-x2x2即只需要

min設

x

x2

xlnxx2令

(子的符號無法直接判斷，所以考慮再構造函數進行分析）

'

x

1xxx

x

'

h

單調遞增

g'

單調遞增

gk答案：

k例10：已知函數

f

xlnx,若kZ,k

f

對任意x恒立則的大值為_________.思路：恒成立不等式

k

fxlnxxx

，k

xlnx

，令min

g

xlnx

，則

x

考慮分子

h

，

h

'

1xxx

在

單調遞增。盡管不能夠確定零點，但可以通過零點存在性定理大致的確定零點所在的位置。

，使得

。

，同理，

時，

'

，所以

單調遞減，在

單調遞增。

ggin

blnbb

，因為

即blnln

，

g

k答案3小煉有話說：-8-（）本題的一個重要技巧在于對

零點的“設而不求求

單調增的前提下，判斷

的符號零點必不可少，但方程

xlnx