南京市玄武區2023-2023學年八年級下期中數學試卷含答案解析一、選擇題（本大題共6小時，每小題2分，共12分，在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號寫在答題紙相應位置上）1．下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．在代數式①；②；③；④中，屬于分式的有（）個．A．1 B．2 C．3 D．43．如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，點E是BC的中點．若OE=3cm，則AB的長為（）A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm4．下列各式變形正確的是（）A． B．C． D．5．順次連接一個四邊形的各邊中點，得到了一個矩形，則下列四邊形滿足條件的是（）①平行四邊形；②菱形；③對角線互相垂直的四邊形．A．①③ B．②③ C．①② D．均可以6．如圖，已知點A，C在反比例函數y=（a＞0）的圖象上，點B、D在反比例函數y=（b＜0）的圖象上，AB∥CD∥x軸，AB、CD在x軸的兩側，AB=3，CD=2，AB與CD的距離為5，則a﹣b的值是（）A．25 B．8 C．6 D．30二、填空題（本大題共10小題，每空2分，共20分，不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題紙相應位置上）7．當x=時，分式的值為0．8．關于x的反比例函數（m為常數），當x＞0時，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍為．9．若關于x的方程=﹣1有增根，則m的值是．10．甲、乙兩港口分別位于長江的上、下游，相距skm，若一艘游輪在靜水中航行的速度為akm/h，水流速度為bkm/h（b＜a），則該游輪往返兩港口所需時間相差h．11．如圖，點A在雙曲線y=上，AB⊥x軸于點B，且△AOB的面積是2，則k的值是．12．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，AE⊥BD于點E，∠AOB=50°，則∠BAE的度數是．13．如圖，菱形中，對角線AC、BD交于點O，E為AD邊中點，菱形ABCD的周長為28，則OE的長等于．14．如圖，將矩形ABCD繞點A順時針旋轉到矩形AB′C′D′的位置，旋轉角為α（0°＜α＜90°），若∠1=110°，則∠α=．15．點A（a，b）是一次函數y=﹣x+3與反比例函數的交點，則的值．16．我們把平面內與四邊形各邊端點構成的三角形都是等腰三角形的點叫做這個四邊形的腰點，例如：如圖，矩形ABCD的對角線交點O是矩形的一個腰點，則任一正方形的腰點共有個．三、解答題（本大題共9小時，共68分，請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．計算：﹣+．18．解下列方程：（1）（2）．19．先化簡：（+1）÷+，然后從﹣2≤x≤2的范圍內選取一個合適的整數作為x的值代入求值．20．如圖，菱形ABCD中，分別延長DC，BC至點E，F，使CE=CD，CF=CB，連接DB，BE，EF，FD．求證：四邊形DBEF是矩形．21．如圖，在方格網中已知格點△ABC和點O．（1）畫△A′B′C′和△ABC關于點O成中心對稱；（2）若以點A、O、C′、D為頂點的四邊形是平等四邊形，請在方格網中標出所有符合條件的D點．22．揚州建城2500年之際，為了繼續美化城市，計劃在路旁栽樹1200棵，由于志愿者的參加，實際每天栽樹的棵數比原計劃多20%，結果提前2天完成，求原計劃每天栽樹多少棵？23．如圖，已知反比例函數y=與一次函數y=k2x+b的圖象交于點A（1，8）、B（﹣4，m）．（1）求k1、k2、b的值；（2）求△AOB的面積；（3）請直接寫出不等式＜k2x+b的解集；（4）若M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函數圖象上的兩點，且x1＜x2，y1＜y2，指出點M、N各位于哪個象限，并說明理由．24．如圖，在?ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，BD是對角線，過點A作AG∥DB交CB的延長線于點G．（1）求證：DE∥BF；（2）若∠G=90°，求證：四邊形DEBF是菱形．25．在正方形ABCD中，點E是AD上一動點，MN⊥AB分別交AB、CD于M，N，連接BE交MN于點O，過O作OP⊥BE分別交AB、CD于P、Q．探究：（1）如圖①，當點E在邊AD上時，請你動手測量三條線段AE、MP、NQ的長度，猜測AE與MP+NQ之間的數量關系，并證明你所猜測的結論；探究：（2）如圖②，若點E在DA的延長線上時，AE、MP、NQ之間的數量關系又是怎樣？并證明你所猜測的結論．再探究：（3）如圖③，連接并延長BN交AD的延長線DG于H，若點E分別在線段DH和HG上時，判斷AE，MP，NQ之間的數量關系又分別怎樣？請直接寫出結論．2023-2023學年江蘇省南京市玄武區八年級（下）期中數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共6小時，每小題2分，共12分，在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號寫在答題紙相應位置上）1．下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點】中心對稱圖形；軸對稱圖形．【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【解答】解：A、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形；B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形；D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．故選A．2．在代數式①；②；③；④中，屬于分式的有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4【考點】分式的定義．【分析】判斷分式的依據是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式．【解答】解：代數式①；③的分母中含有字母，屬于分式，其他的代數式的分母中不含有字母，不屬于分式．故選：B．3．如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，點E是BC的中點．若OE=3cm，則AB的長為（）A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm【考點】三角形中位線定理；平行四邊形的性質．【分析】因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以OA=OC；又因為點E是BC的中點，所以OE是△ABC的中位線，由OE=3cm，即可求得AB=6cm．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC；又∵點E是BC的中點，∴BE=CE，∴AB=2OE=2×3=6（cm）故選B4．下列各式變形正確的是（）A． B．C． D．【考點】分式的基本性質．【分析】根據分式的性質分式的分子分母都乘或都除以同一個不為0的整式，分式的值不變，可得答案．【解答】解：A、根據分式的基本性質可知：分子、分母的每一項都要除以2，故此選項錯誤；B、根據分式的基本性質可得：分式的分子分母應是同時乘或除以同一個不為0的數，分式的值不變，故此選項錯誤；C、=﹣1，故此選項錯誤；D、==a﹣1，故此選項正確；故選D．5．順次連接一個四邊形的各邊中點，得到了一個矩形，則下列四邊形滿足條件的是（）①平行四邊形；②菱形；③對角線互相垂直的四邊形．A．①③ B．②③ C．①② D．均可以【考點】中點四邊形．【分析】已知梯形四邊中點得到的四邊形是矩形，則根據矩形的性質及三角形的中位線的性質進行分析，從而不難求解．【解答】解：如圖點E，F，G，H分別是梯形各邊的中點，且四邊形EFGH是矩形．∵點E，F，G，H分別是梯形各邊的中點，且四邊形EFGH是矩形．∴∠FEH=90°，EF∥BD∥HG，FG∥AC∥EH，EF≠GH．∴AC⊥BD．①平行四邊形的對角線不一定互相垂直，故①錯誤；②菱形的對角線互相垂直，故②正確；③對角線互相垂直的四邊形，故③正確．綜上所述，正確的結論是：②③．故選：B．6．如圖，已知點A，C在反比例函數y=（a＞0）的圖象上，點B、D在反比例函數y=（b＜0）的圖象上，AB∥CD∥x軸，AB、CD在x軸的兩側，AB=3，CD=2，AB與CD的距離為5，則a﹣b的值是（）A．25 B．8 C．6 D．30【考點】反比例函數圖象上點的坐標特征．【分析】利用反比例函數k的幾何意義，結合相關線段的長度來求a﹣b的值．【解答】解：如圖，由題意知：a﹣b=2?OE，a﹣b=3?OF，又∵OE+OF=5，∴OE=3，OF=2，∴a﹣b=6．故選C．二、填空題（本大題共10小題，每空2分，共20分，不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題紙相應位置上）7．當x=1時，分式的值為0．【考點】分式的值為零的條件．【分析】分式的值為零時，分子等于零，且分母不等于零．【解答】解：依題意得|x|﹣1=0，且x+1≠0，解得x=1．故答案是：1．8．關于x的反比例函數（m為常數），當x＞0時，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍為m＞1．【考點】反比例函數的性質．【分析】反比例函數圖象在x大于0時，可能在第一象限或第四象限，再根據x＞0時y隨x的增大而增大，判斷出此反比例函數圖象不可能在第一象限，故得到此函數圖象在第二、四象限，進而確定出反比例函數解析式的系數小于0，列出關于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范圍．【解答】解：∵反比例函數（m為常數），當x＞0時y隨x的增大而增大，∴1﹣m＜0，解得：m＞1，則m的取值范圍為m＞1．故答案為：m＞1．9．若關于x的方程=﹣1有增根，則m的值是﹣6．【考點】分式方程的增根．【分析】增根是分式方程化為整式方程后產生的使分式方程的分母為0的根．把增根代入化為整式方程的方程即可求出m的值．【解答】解：方程兩邊都乘（x﹣3），得2x+m=﹣（x﹣3）∵原方程增根為x=3，∴把x=3代入整式方程，得m=﹣6．故答案為：﹣6．10．甲、乙兩港口分別位于長江的上、下游，相距skm，若一艘游輪在靜水中航行的速度為akm/h，水流速度為bkm/h（b＜a），則該游輪往返兩港口所需時間相差h．【考點】列代數式（分式）．【分析】游輪逆水行駛的速度為（a﹣b）km/h，順水行駛的速度為（a+b）km/h，再利用速度公式表示出它們行駛skm所用的時間，然后求它們的差即可．【解答】解：該游輪往返兩港口所需的時間差為：﹣=（h）．故答案為．11．如圖，點A在雙曲線y=上，AB⊥x軸于點B，且△AOB的面積是2，則k的值是﹣4．【考點】反比例函數系數k的幾何意義．【分析】根據反比例函數的系數k的幾何意義：在反比例函數的圖象上任意一點向坐標軸作垂線，這一點和垂足以及坐標原點所構成的三角形的面積是|k|，且保持不變，可得|k|=S△AOB=2，據此求出k的值是多少即可．【解答】解：∵△AOB的面積是2，∴|k|=2，∴|k|=4，解得k=±4，又∵雙曲線y=的圖象經過第二、四象限，∴k=﹣4，即k的值是﹣4．故答案為：﹣4．12．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，AE⊥BD于點E，∠AOB=50°，則∠BAE的度數是25°．【考點】矩形的性質．【分析】易證∠BAE=∠ADE，根據矩形對角線相等且互相平分的性質，可得∠OAB=∠OBA，在Rt△ABD中，已知∠OBA即可求得∠BAE的大小．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，AE⊥BD，∴∠BAE+∠ABD=90°，∠ADE+∠ABD=90°，∴∠BAE=∠ADE，∵矩形對角線相等且互相平分，∴OA=OD，∴∠OAB=∠OBA==65°，∴∠BAE=∠ADE=90°﹣65°=25°，故答案為：25°．13．如圖，菱形中，對角線AC、BD交于點O，E為AD邊中點，菱形ABCD的周長為28，則OE的長等于3.5．【考點】菱形的性質．【分析】根據菱形的四條邊都相等求出AB，再根據菱形的對角線互相平分可得OB=OD，然后判斷出OE是△ABD的中位線，再根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求解即可．【解答】解：∵菱形ABCD的周長為28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵E為AD邊中點，∴OE是△ABD的中位線，∴OE=AB=×7=3.5．故答案為：3.5．14．如圖，將矩形ABCD繞點A順時針旋轉到矩形AB′C′D′的位置，旋轉角為α（0°＜α＜90°），若∠1=110°，則∠α=20°．【考點】旋轉的性質；矩形的性質．【分析】根據矩形的性質得∠B=∠D=∠BAD=90°，根據旋轉的性質得∠D′=∠D=90°，∠4=α，利用對頂角相等得到∠1=∠2=110°，再根據四邊形的內角和為360°可計算出∠3=70°，然后利用互余即可得到∠α的度數．【解答】解：如圖，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠B=∠D=∠BAD=90°，∵矩形ABCD繞點A順時針旋轉得到矩形AB′C′D′，∴∠D′=∠D=90°，∠4=α，∵∠1=∠2=110°，∴∠3=360°﹣90°﹣90°﹣110°=70°，∴∠4=90°﹣70°=20°，∴∠α=20°．故答案為：20°．15．點A（a，b）是一次函數y=﹣x+3與反比例函數的交點，則的值．【考點】反比例函數與一次函數的交點問題．【分析】由解得或，可得A（1，2）或（2，1），由此即可解決問題．【解答】解：由解得或，∴A（1，2）或（2，1），∴+=，故答案為．16．我們把平面內與四邊形各邊端點構成的三角形都是等腰三角形的點叫做這個四邊形的腰點，例如：如圖，矩形ABCD的對角線交點O是矩形的一個腰點，則任一正方形的腰點共有9個．【考點】正方形的性質；等腰三角形的判定；矩形的性質．【分析】根據把平面內與四邊形各邊端點構成的三角形都是等腰三角形的點叫做這個四邊形的腰點，可得正方形一共有9個腰點，除了正方形的中心外，兩條與邊平行的對稱軸上各有四點，據此解答即可．【解答】解：如圖，正方形一共有9個腰點，除了正方形的中心外，兩條與邊平行的對稱軸上各有四個腰點．故答案為：9．三、解答題（本大題共9小時，共68分，請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．計算：﹣+．【考點】分式的加減法．【分析】首先通分，把分母化為（a+b）（a﹣b），然后再根據同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減進行計算即可．【解答】解：原式=﹣+，=，=．18．解下列方程：（1）（2）．【考點】解分式方程．【分析】兩分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得：x﹣5=6x，解得：x=﹣1，經檢驗x=﹣1是分式方程的解；（2）去分母得：﹣15x+12﹣4x﹣10=6﹣3x，解得：x=﹣，經檢驗x=﹣是分式方程的解．19．先化簡：（+1）÷+，然后從﹣2≤x≤2的范圍內選取一個合適的整數作為x的值代入求值．【考點】分式的化簡求值．【分析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時根據除法法則變形，約分得到最簡結果，將x=0代入計算即可求出值．【解答】解：（+1）÷+===滿足﹣2≤x≤2的整數有：﹣2、﹣1、0、1、2但x=﹣1、0、1時，原式無意義，∴x=﹣2或2∴當x=2時，原式=0．20．如圖，菱形ABCD中，分別延長DC，BC至點E，F，使CE=CD，CF=CB，連接DB，BE，EF，FD．求證：四邊形DBEF是矩形．【考點】矩形的判定；菱形的性質．【分析】由對角線互相平分得出四邊形DBEF是平行四邊形，由菱形的性質得出CD=CB，得出BF=DE，即可得出結論．【解答】證明：∵CE=CD，CF=CB，∴四邊形DBEF是平行四邊形，∵四邊形ABCD是菱形，∴CD=CB．∴CE=CF，∴BF=DE，∴四邊形DBEF是矩形．21．如圖，在方格網中已知格點△ABC和點O．（1）畫△A′B′C′和△ABC關于點O成中心對稱；（2）若以點A、O、C′、D為頂點的四邊形是平等四邊形，請在方格網中標出所有符合條件的D點．【考點】作圖﹣旋轉變換；作圖—應用與設計作圖．【分析】（1）分別作出點A、B、C關于點O的中心對稱的對應點，再首尾順次連接即可得；（2）分別以C′O為邊、AO為邊或AO為對角線的點D，以C′O為對角線的點D，據此可得答案．【解答】解：（1）如圖，△A′B′C′即為所求作三角形；（2）如圖，點D1、D2、D3即為所求點．22．揚州建城2500年之際，為了繼續美化城市，計劃在路旁栽樹1200棵，由于志愿者的參加，實際每天栽樹的棵數比原計劃多20%，結果提前2天完成，求原計劃每天栽樹多少棵？【考點】分式方程的應用．【分析】設原計劃每天種樹x棵，則實際每天栽樹的棵數為（1+20%），根據題意可得，實際比計劃少用2天，據此列方程求解．【解答】解：設原計劃每天種樹x棵，則實際每天栽樹的棵數為（1+20%），由題意得，﹣=2，解得：x=100，經檢驗，x=100是原分式方程的解，且符合題意．答：原計劃每天種樹100棵．23．如圖，已知反比例函數y=與一次函數y=k2x+b的圖象交于點A（1，8）、B（﹣4，m）．（1）求k1、k2、b的值；（2）求△AOB的面積；（3）請直接寫出不等式＜k2x+b的解集；（4）若M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函數圖象上的兩點，且x1＜x2，y1＜y2，指出點M、N各位于哪個象限，并說明理由．【考點】反比例函數與一次函數的交點問題．【分析】（1）由點A的坐標利用反比例函數圖象上點的坐標特征即可得出反比例函數解析式，再結合點B的橫坐標即可得出點B的坐標，根據點A、B的坐標利用待定系數法即可求出一次函數解析式；（2）根據一次函數圖象上點的坐標特征即可求出一次函數圖象與y軸的交點坐標，再利用分割圖形法即可求出△AOB的面積；（3）根據兩函數圖象的上下位置關系即可得出不等式的解集；（4）根據反比例函數的性質即可得到結果．【解答】解：（1）∵反比例函數y=與一次函數y=k2x+b的圖象交于點A（1，8）、B（﹣4，m），∴k1=1×8=8，m=8÷（﹣4）=﹣2，∴點B的坐標為（﹣4，﹣2）．將A（1，8）、B（﹣4，﹣2）代入y2=k2x+b中，，解得：．∴k1=8，k2=2，b=6；（2）當x=0時，y2=2x+6=6，∴直線AB與y軸的交點坐標為（0，6）．∴S△AOB=×6×4+×6×1=15；（3）觀察函數圖象可知：當﹣4＜x＜0或x＞1時，一次函數的圖象在反比例函數圖象的上方，∴不等式＜k2x+b的解為：﹣4≤x＜0或x≥1；（4）∵比例函數y=的圖象位于一、三象限，∴在每個象限內，y隨x的增大而減小，∵x1＜x2，y1＜y2，∴M，N在不同的象限，∴M（x1，y1）在第三象限，N（x2，y2）在第一象限．24．如圖，在?ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，BD是對角線，過點A作AG∥DB交CB的延長線于點G．（1）求證：DE∥BF；（2）若∠G=90°，求證：四邊形DEBF是菱形．【考點】菱形的判定；平行四邊形的性質．【分析】（1）根據已知條件證明BE=DF，BE∥DF，從而得出四邊形DFBE是平行四邊形，即可證明DE∥BF，（2）先證明DE=BE，再根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形，從而得出結論．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD．∵點E、F分別是AB、CD的中點，∴BE=AB，DF=CD．∴BE=DF，BE∥DF，∴四邊形DFBE是平行四邊形，∴DE∥BF；（2）∵∠G=90°，AG∥BD，AD∥BG，∴四邊形AGBD是矩形，∴∠ADB=90°，在Rt△ADB中∵E為AB的中點，∴AE=BE=DE，∵四邊形DFBE是平行四邊形，∴四邊形DEBF是菱形．25．在正方形ABCD中，點E是AD上一動點，MN⊥AB分別交AB、CD于M，N，連接BE交MN于點O，過O作OP⊥BE分別交AB、CD于P、Q．探究：（1）如圖①，當點E在邊AD上時，請你動手測量三條線段AE、MP、NQ的長度，猜測AE與MP+NQ之間的數量關系，并證明你所猜測的結論；探究：（2）如圖②，若點E在DA的延長線上時，AE、MP、NQ之間的數量關系又是怎樣？并證明你所猜測的結論．再探究：（3）如圖③，連接并延長BN交AD的延長線DG于H，若點E分別在線段DH和HG上時，判斷AE，MP，NQ之間的數量關系又分別