[70分]解答題標準練(一)1．(2018·鄭州模擬)已知等差數列{an}的公差d≠0，其前n項和為Sn，若a2＋a8＝22，且a4，a7，a12成等比數列．求數列{an}的通項公式；(2)若Tn＝1＋1＋＋13SSS，證明：Tn<.12n解∵數列{an}為等差數列，且a2＋a8＝22，a5＝1(a2＋a8)＝11.2∵a4，a7，a12成等比數列，2∴a7＝a4·a12，即(11＋2d)2＝(11－d)·(11＋7d)，又d≠0，∴d＝2，a1＝11－4×2＝3，an＝3＋2(n－1)＝2n＋1(n∈N*)．nna＋a(2)證明由(1)得，S＝1n＝n(n＋2)，211＝11－1，∴＝nn＋nn＋2n22S∴Tn＝1＋1＋＋1SSSn11－11－111＝23＋24＋－5＋＋31111n－1－n＋1＋n－n＋2111121＋2－n＋1－n＋2311134－2n＋1＋n＋2<4.3Tn<4.2．(2018·廈門質檢)如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，BC＝2AD＝2，E為CD的中點，PB⊥AE.(1)證明：平面PBD⊥平面ABCD；π(2)若PB＝PD，PC與平面ABCD所成的角為4，求二面角B－PD－C的余弦值．證明由ABCD是直角梯形，AB＝3，BC＝2AD＝2，可得DC＝2，BD＝2，進而△BCD是等邊三角形，πBCD＝3，BD均分∠ADC，∵E為CD的中點，DE＝AD＝1，BD⊥AE.又∵PB⊥AE，PB∩BD＝B，又PB，BD?平面PBD，∴AE⊥平面PBD.AE?平面ABCD，∴平面PBD⊥平面ABCD.解方法一作PO⊥BD于點O，連結OC，∵平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD＝BD，PO?平面PBD，PO⊥平面ABCD，π∴∠PCO為PC與平面ABCD所成的角，∠PCO＝4，又∵PB＝PD，O為BD的中點，OC⊥BD，OP＝OC＝3，以O為坐標原點，分別以OB，OC，OP所在直線為x軸，y軸，z軸成立空間直角坐標系，則(1,0,0)，(0，3，0)，(－1,0,0)，(0,0，3)，BCDP→3，－3)→，－3)．PC＝(0，，PD＝(－1,02設平面PCD的一個法向量為n＝(x，y，z)，→3y－3z＝0，由n·PC＝0，得→·＝0，－x－3z＝0，nPD令z＝1，則x＝－3，＝1，得＝(－3，1,1)．yn又平面PBD的一個法向量為m＝(0,1,0)，設二面角B－PD－C的平面角為θ，則|cosθ|＝|n·m|15|n||＝＝，m|5×15由圖可知θ為銳角，∴所求二面角－－的余弦值是5.BPDC5方法二作PO⊥BD于點O，連結OC，∵平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD＝BD，PO?平面PBD，PO⊥平面ABCD，π∴∠PCO為PC與平面ABCD所成的角，∠PCO＝，又∵PB＝PD，O為BD的中點，OC⊥BD，OP＝OC＝3，作OH⊥PD于點H，連結CH，則PD⊥平面CHO，又HC?平面CHO，則PD⊥HC，則∠CHO為所求二面角B－PD－C的平面角．3由OP＝3，得OH＝2，15∴CH＝2，33∴cos∠＝OH25＝15＝.CHOCH523．(2018·益陽模擬)某大型水果商場每日以10元/千克的價錢從水果基地購進若干A水果，而后以15元/千克的價錢銷售，如有節余，則將節余的水果以8元/千克的價錢退回水果基地，為了確立進貨數目，該商場記錄了A水果近來50天的日需求量(單位：千克)，整理得下表：日需求量140150160170180190200頻數51088775以50天記錄的各日需求量的頻次取代各日需求量的概率．(1)若該商場一天購進A水果150千克，記商場當日A水果獲取的收益為X(單位：元)，求X的散布列及希望；若該商場計劃一天購進A水果150千克或160千克，請以當日A水果獲取的收益的希望值為決議依照，在150千克與160千克之中任選其一，應選哪一個？若受市場影響，節余的水果以7元/千克的價錢退回水果基地，又該選哪一個？解(1)若A水果日需求量為140千克，則X＝140×(15－10)－(150－140)×(10－8)680(元)，5且P(X＝680)＝50＝0.1.若A水果日需求量不小于150千克，則X＝150×(15－10)＝750(元)，且P(X＝750)＝1－0.1＝0.9.故X的散布列為X680750PE(X)＝680×0.1＋750×0.9＝743.設該商場一天購進A水果160千克，當日的收益為Y(單位：元)，則Y的可能取值為140×5－20×2,150×5－10×2,160×5，即660,730,800，則Y的散布列為4Y660730800PE(Y)＝660×0.1＋730×0.2＋800×0.7＝772.由于772>743，因此該商場應購進160千克A水果．若節余的水果以7元/千克的價錢退回水果基地，同理可得X，Y的散布列分別為X670750PY640720800P0.10.20.7由于670×0.1＋750×0.9<640×0.1＋720×0.2＋800×0.7，因此該商場仍是應購進160千克A水果．4.如圖，在平面直角坐標系中，橢圓：x2y2>>0)過點5325a2＋2＝1(2，離心率為.Cbab2，5求橢圓C的標準方程；a2(2)過點K(2,0)作向來線與橢圓C交于A，B兩點，過A，B兩點作直線l：x＝c的垂線，垂足分別為A1，B1，試問直線AB1與A1B的交點能否為定點，假如，求出定點的坐標；若不是，請說明原因．a2＝b2＋c2，53a＝5，解(1)由題意得4a2＋4b2＝1，?b＝1，c25c＝2，a＝5因此橢圓C的標準方程為x2＋y2＝1.5(2)①當直線的斜率不存在時，直線l：＝5，ABx2119.AB與AB的交點是45②當直線AB的斜率存在時，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB為y＝k(x－2)，y＝kx－2，由x2＋5y2＝5，2222得(1＋5k)x－20kx＋20k－5＝0，20k220k2－5因此x1＋x2＝1＋5k2，x1x2＝1＋5k2，15，y115，y2，A2，B2因此1：215ylAB52y－x121：＝y2－y1x－5＋y1，lABy52x2－22520k2－525聯立解得x＝x1x2－41＋5k2－4x1＋x2－5＝202k1＋5k2－5－451＋k29＝－201＋k2＝4，代入上式可得y＝kx2－x1＋y2－10＋4x1－9kx1＋x2＋4kx1x2＋20k＝4x1－1020k220k2－59k·1＋5k2＋4k·1＋5k2＋20k＝4x1－10＝0.119綜上，直線AB與AB過定點4.5．設函數f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)(a∈R)．當a＝1時，求f(x)的單一區間；(2)若f(x)≥0對隨意x∈[1，＋∞)恒成立，務實數a的取值范圍；π1π(3)當θ∈0，2時，試比較2ln(tanθ)與tanθ－4的大小，并說明原因．解(1)當a＝1時，f(x)＝(x＋1)lnx－(x－1)，′()＝lnx＋1，fxx61x－1設g(x)＝lnx＋x(x>0)，則g′(x)＝x2，當x∈(0,1)時，g′(x)<0，g(x)單一遞減，當x∈(1，＋∞)時，g′(x)>0，g(x)單一遞加，g(x)min＝g(1)＝1>0，f′(x)>0.故f(x)在區間(0，＋∞)上單一遞加，無單一遞減區間．1(2)f′(x)＝lnx＋x＋1－a＝g(x)＋1－a，由(1)可知g(x)在區間[1，＋∞)上單一遞加，則g(x)≥g(1)＝1，即f′()在區間[1，＋∞)上單一遞加，且f′(1)＝2－，xa①當a≤2時，f′(x)≥0，(x)在區間[1，＋∞)上單一遞加，∴f(x)≥f(1)＝0知足條件；1②當a>2時，設h(x)＝lnx＋x＋1－a(x≥1)，11x－1則h′(x)＝x－x2＝x2≥0(x≥1)，∴h(x)在區間[1，＋∞)上單一遞加，－a且h(1)＝2－a<0，h(e)＝1＋e>0，∴?x0∈[1，ea]，使得h(x0)＝0，∴當x∈[1，x0)時，h(x)<0，f(x)單一遞減，即當x∈[1，x0)時，f(x)≤f(1)＝0，不知足題意．綜上所述，實數a的取值范圍為(－∞，2]．由(2)可知，取a＝2，當x>1時，f(x)＝(x＋1)lnx－2(x－1)>0，1x－1即2lnx>x＋1，1當0<x<1時，x>1，111x－1lnxx－1∴ln>1?2<，2xx＋1x＋1tanθ－1又∵tanθ－4＝tanθ＋1，7π∴當0<θ<4時，0<tanθ<1，1ln(tanθ)<tanπ2θ－4；π1π當θ＝4時，tanθ＝1，2ln(tanθ)＝tanθ－4；當π<θ<π時，tanθ>1，421π2ln(tanθ)>tanθ－4.π1π綜上，當θ∈0，4時，2ln(tanθ)<tanθ－4；π1π當θ＝4時，2ln(tanθ)＝tanθ－4；ππ1π當θ∈4，2時，2ln(tanθ)>tanθ－4.6．已知直線l經過點P(1,2)π，圓C的極坐標方程為ρ＝2π，傾斜角α＝62cosθ－4.(1)寫出直線l的參數方程的標準形式，并把圓C的方程化為直角坐標方程；若直線l與圓C訂交于A，B兩點，求線段AB的中點M到點P的距離．x＝1＋tcosπ，解(1)直線l的參數方程為6πy＝2＋tsin6，3x＝1＋2t，即(t為參數，t∈R)．ty＝2＋2π由ρ＝22cosθ－4，得ρ＝2cosθ＋2sinθ，∴ρ2＝2ρcosθ＋2ρsinθ，∴x2＋y2＝2x＋2y，∴圓的直角坐標方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2.C83x＝1＋2t，代入(x－1)2＋(y－1)2＝2得，(2)把ty＝2＋232＋2＋t－12＝2，1＋2t－12整理得t2＋t－1＝0，＝5>0，t1＋t2＝－1，∴|MP|＝t1＋t2＝1.227．(2018·宿州模擬)已知函數f(x)＝x2－|x|＋3.求不等式f(x)≥3x的解集；x若對于x的不等式f(x)－x≤2＋a恒成立，務實數a的取值范圍．解(1)當x≥0時，f(x)＝x2－x＋3≥3x，即x2－4x＋3≥0，解得x≥3或x≤1，因此x≥