09-13全國大學生高等數學競賽真題及答案(非數學類)-無答案LtD四、（15分）已知平面區域，為的正向邊界，試證：（1）；（2）.五、（10分）已知，，是某二階常系數線性非齊次微分方程的三個解，試求此微分方程.六、（10分）設拋物線過原點.當時,,又已知該拋物線與軸及直線所圍圖形的面積為.試確定,使此圖形繞軸旋轉一周而成的旋轉體的體積最小.七、（15分）已知滿足,且,求函數項級數之和.八、（10分）求時,與等價的無窮大量.2010年第二屆全國大學生數學競賽預賽試卷一、（25分，每小題5分）（1）設其中求（2）求。（3）設，求。（4）設函數有二階連續導數，，求。（5）求直線與直線的距離。二、（15分）設函數在上具有二階導數，并且且存在一點，使得。三、（15分）設函數由參數方程所確定，其中具有二階導數，曲線與在出相切，求函數。四、（15分）設證明：（1）當時，級數收斂；（2）當且時，級數發散。五、（15分）設是過原點、方向為，（其中的直線，均勻橢球，其中（密度為1）繞旋轉。（1）求其轉動慣量；（2）求其轉動慣量關于方向的最大值和最小值。六、(15分)設函數具有連續的導數，在圍繞原點的任意光滑的簡單閉曲線上，曲線積分的值為常數。（1）設為正向閉曲線證明（2）求函數；（3）設是圍繞原點的光滑簡單正向閉曲線，求。2011年第三屆全國大學生數學競賽預賽試卷計算下列各題（本題共3小題，每小題各5分，共15分）（1）.求；（2）.求；（3）已知，求。二．（本題10分）求方程的通解。三．（本題15分）設函數f(x)在x=0的某鄰域內具有二階連續導數，且均不為0，證明：存在唯一一組實數，使得。四．（本題17分）設，其中，，為與的交線，求橢球面在上各點的切平面到原點距離的最大值和最小值。五．（本題16分）已知S是空間曲線繞y軸旋轉形成的橢球面的上半部分（）取上側，是S在點處的切平面，是原點到切平面的距離，表示S的正法向的方向余弦。計算：（1）；（2）六．（本題12分）設f(x)是在內的可微函數，且，其中，任取實數，定義證明：絕對收斂。七．（本題15分）是否存在區間上的連續可微函數f(x)，滿足，？請說明理由。第四屆全國大學生數學競賽預賽試卷一、（本大題共5小題，每小題6分共30分）解答下列個體（要求寫出要求寫出重要步驟）(1)求極限(2)求通過直線的兩個互相垂直的平面和，使其中一個平面過點。(3)已知函數，且。確定常數和，使函數滿足方程(4)設函數連續可微，，且在右半平面與路徑無關，求。(5)求極限二、（本題10分）計算三、求方程的近似解，精確到0.001.四、（本題12分）設函數二階可導，且，，，求，其中是曲線上點處的切線在軸上的截距。五、（本題12分）求最小實數，使得滿足的連續函數都有六、（本題12分）設為連續函數，。區域是由拋物面和球面所圍起來的部分。定義三重積分求的導數七、（本題14分）設與為正項級數，證明：（1）若，則級數收斂；（2）若，且級數發散，則級數發散。第五屆全國大學生數學競賽預賽試卷解答下列各題（每小題6分共24分，要求寫出重要步驟）1.求極限.2.證明廣義積分不是絕對收斂的3.設函數由確定，求的極值。4.過曲線上的點A作切線，使該切線與曲線及軸所圍成的平面圖形的面積為，求點A的坐標。二、（滿分12）計算定積分三、（滿分12分）設在處存在二階導數，且。證明：級數收斂。四、（滿分12分）設，證明五、（滿分14分）設是一個光滑封閉曲面，方向朝外。給定第二型的曲面積分。試確定曲面，使積分I的值最小，并求該最小值。六、（滿分14分）設，其中為常數，曲線C為橢圓，取正向。求極限七（滿分14分）判斷級數的斂散性，若收斂，求其和。五、向量代數和空間解析幾何

1.

向量的概念、向量的線性運算、向量的數量積和向量積、向量的混合積.

2.

兩向量垂直、平行的條件、兩向量的夾角.

3.

向量的坐標表達式及其運算、單位向量、方向數與方向余弦.

4.

曲面方程和空間曲線方程的概念、平面方程、直線方程.

5.

平面與平面、平面與直線、直線與直線的夾角以及平行、垂直的條件、點到平面和點到直線的距離.

6.

球面、母線平行于坐標軸的柱面、旋轉軸為坐標軸的旋轉曲面的方程、常用的二次曲面方程及其圖形.

7.

空間曲線的參數方程和一般方程、空間曲線在坐標面上的投影曲線方程.Ⅲ、解析幾何部分

一、向量與坐標

1.向量的定義、表示、向量的線性運算、向量的分解、幾何運算.

2.坐標系的概念、向量與點的坐標及向量的代數運算.

3.向量在軸上的射影及其性質、方向余弦、向量的夾角.

4.向量的數量積、向量積和混合積的定義、幾何意義、運算性質、計算方法及應用.

5.應用向量求解一些幾何、三角問題.

二、軌跡與方程

1.曲面方程的定義：普通方程、參數方程(向量式與坐標式之間的互化)及其關系.

2.空間曲線方程的普通形式和參數方程形式及其關系.

3.建立空間曲面和曲線方程的一般方法、應用向量建立簡單曲面、曲線的方程.

4.球面的標準方程和一般方程、母線平行于坐標軸的柱面方程.

三、平面與空間直線

1.平面方程、直線方程的各種形式，方程中各有關字母的意義.

2.從決定平面和直線的幾何條件出發，選用適當方法建立平面、直線方程.

3.根據平面和直線的方程，判定平面與平面、直線與直線、平面與直線間的位置關系.

4.根據平面和直線的方程及點的坐標判定有關點、平面、直線之間的位置關系、計算他們之間的距離與交角等；求兩異面直線的公垂線方程.

四、二次曲面

1.柱面、錐面、旋轉曲面的定義，求柱面、錐面、旋轉曲面的方程.

2.橢球面、雙曲面與拋物面的標準方程和主要性質，根據不同條件建立二次曲面的標準方程.

3.單葉雙曲面、雙曲拋物面的直紋性及求單葉雙曲面、雙曲拋物面的直母線的方法.

4.根據給定直線族求出它表示的直紋面方程，求動直線和動曲線的軌跡問題.