PAGEPAGE9直線與圓的位置關系課標解讀課標要求素養要求1.能根據給定的直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關系.⒉能用直線和圓的方程解決一些簡單的數學問題與實際問題1.直觀想象——能借助圖形理解直線與圓的位置關系及切線、弦長問題⒉數學運算——能利用代數運算解決直線和圓的方程問題自主學習·必備知識教材研習教材原句1.如圖（1）所示，直線與圓有①兩個公共點時，稱直線與圓相交，且稱直線為圓的②割線；如圖（2）所示，直線與圓只有③一個公共點時，稱直線與圓相切，且稱直線為圓的④切線，稱公共點為切點；如圖（3）所示，直線與圓沒有公共點時，稱直線與圓⑤相離.2.幾何法判斷直線和圓的位置關系如圖所示，如果⊙C的半徑為r，圓心C到直線l的距離為d，則：直線l與⊙C相交?⑥d＜r；直線l與⊙C相切?d=r；直線l與⊙C相離?⑦d＞r.自主思考1.若直線與圓有公共點，則直線與圓是什么位置關系？答案：提示相交或相切2.直線l:x=0與圓x2答案：提示相交名師點睛1.代數法判斷直線與圓的位置關系聯立直線的方程與圓的方程組成方程組Ax+By+C=0(x-a)2+(y-b)2=r2消去y①Δ=0?直線與圓相切；②Δ=0?直線與圓相交；③Δ=0?直線與圓相離.2.判斷直線與圓位置關系的注意點（1）利用代數法判斷直線與圓的位置關系時，不必求出方程組的解，只需將直線方程代入到圓的方程中，并消去一個變量，得到關于x或y的一元二次方程，由Δ判斷方程解的個數，利用解的個數判斷直線與圓的位置關系.（2）利用幾何法判斷直線與圓的位置關系時，必須求出圓心坐標，圓的半徑r和圓心到直線的距離d，比較r與d的大小，進而進行判斷.（3）一般情況下，代數法運算比較煩瑣，而幾何法較簡捷，是判斷直線與圓位置關系的常用方法.互動探究·關鍵能力探究點一直線與圓位置關系的判斷精講精練例（1）（2021山東聊城高二期末）直線x-2y-1=0與圓x2A.相切B.相交且直線過圓心C.相交但直線不過圓心D.相離（2）（多選）已知圓M:(x+cosθ)A.對任意實數k和θ，直線l和圓M有公共點B.對任意實數θ，必存在實數k，使得直線l與圓M相切C.對任意實數k，必存在實數θ，使得直線l與圓M相切D.存在實數k與θ，使得圓M上有一點到直線l的距離為3答案：（1）C（2）A;C解析：（1）圓x2+y2=1因為圓心O(0,0)到直線x-2y-1=0的距離d=|0-0-1|所以直線與圓相交但直線不過圓心.（2）易知圓M:(x+cosθ)2+(y-設圓心M(-cosθ,sinθ)到直線l的距離為所以對于任意實數k，直線l與圓相交或相切，所以C正確，B不正確；易知圓上的點到直線l的距離最大值為d+1≤2，所以D不正確.解題感悟直線與圓的位置關系的判斷方法：（1）幾何法：由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關系判斷.（2）代數法：根據直線方程與圓的方程組成的方程組的解的個數來判斷.（3）直線系法：若直線恒過定點，可通過判斷定點與圓的位置關系來判斷直線與圓的位置關系.但有一定的局限性，必須是過定點的直線系.遷移應用1.（2020寧夏青銅峽高級中學高二期中）直線3x+4y-13=0與圓(x-2)A.相交B.相離C.相切D.無法判定答案：A解析：圓(x-2)2+(y-3)2=4的圓心是(2,3)，半徑2.（2020山東濟南高二月考）直線y-x=0與圓(x-a)A.相交B.相切C.相離D.與a的取值有關答案：C解析：由(x-a)2+y2=14a探究點二直線與圓相切問題精講精練例（1）（2021山東聊城高二期中）已知圓C與直線x+y+3=0相切，直線mx+y+1=0始終平分圓C的面積，則圓C的方程為()A.x2+C.x2+（2）過點A(4,-3)作圓(x-3)答案：（1）D解析：（1）在mx+y+1=0中，令x=0，則y=-1，則直線mx+y+1=0過定點(0,-1).由于直線mx+y+1=0始終平分圓C的面積，則點(0,-1)是圓C的圓心，因為圓C與直線x+y+3=0相切，所以圓C的半徑r=所以圓C的方程為x2+(y+1)答案：（2）因為(4-3)2+(-3-1①若所求直線的斜率存在，設切線斜率為k，則切線方程為y+3=k(x-4)，即kx-y-4k-3=0.設圓的圓心為C，則C(3,1)，因為圓心到切線的距離等于半徑1，所以|3k-1-3-4k|k2+1所以k2+8k+16=k所以切線方程為-158x-y+②若直線斜率不存在，圓心C(3,1)到直線x=4的距離為1，這時直線x=4與圓相切，切線方程為x=4.綜上，所求切線的方程為15x+8y-36=0或x=4.變式若本例（2）的條件不變，求其切線長.答案：設圓的圓心為C，則C(3,1)，設切點為B，則△ABC為直角三角形，|AC|=(3-4)2則|AB|=|AC解題感悟1.求過一點P(x0,y2.一般地，圓的切線問題，若已知切點，則用k1?k2=-1（k1,遷移應用1.（2020山東濰坊高二月考）若圓x2+y2-2x+4y=3-2k-A.3或-1B.-3或1C.2或-1D.-2或1答案：B解析：易知圓的圓心坐標為(1,-2)，半徑為8-2k-k因為圓x2+y所以|2-2+5|5=8-2k-k2，可得3-2k-2.（2021山西懷仁一中高二月考）過直線y=x上一點P引圓x2A.22B.322C.102D.2答案：C解析：圓x2+y若切線長最小，則直線y=x上的點P與圓心的連線與該直線垂直，易知圓心到直線y=x的距離d=3所以切線長的最小值為d2探究點三直線和圓相交精講精練例（1）求直線l:3x+y-6=0被圓C:x2+（2）（2021山東濱州高二期中）在①圓經過C(3,4)；②圓心在直線x+y-2=0上；③圓截y軸所得弦長為8且圓心E的坐標為整數這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，進行求解.已知圓E經過點A(-1,2),B(6,3)，且.（i）求圓E的方程；（ii）已知直線l經過點(-2,2)，直線l與圓E相交所得的弦長為8，求直線l的方程.答案：（1）解法一：由3x+y-6=0x2+y2∴弦AB的長為|AB|=(2-1解法二：由3x+y-6=0x2+y2設兩交點A,B的坐標分別為(x1,則由根與系數的關系得x1∴|AB|=====10×(即弦AB解法三：圓C:x2+y2點(0,1)到直線l的距離d=|3×0+1-6|32+1（2）選條件①，（i）選條件①，設圓的方程為x2+解得D=-6,E=2,F=-15，所以圓的方程為x2即圓E的標準方程為(x-3)選條件②，（i）設圓的方程為x2因為圓E經過點A(-1,2),B(6,3)，且圓心在直線x+y-2=0上，所以5-D+2E+F=045+6D+3E+F=0-D所以圓E的方程為(x-3)2+(y+1)2=25.（ii）選條件①，設圓心到直線l的距離為d，則弦長L=2r當直線l的斜率不存在時，d=5≠3，所以直線l的斜率存在，設其方程為y-2=k(x+2)，即kx-y+2k+2=0，則d=|3k+1+2k+2|k2+1=3所以所求直線的方程為y=2或15x+8y+14=0.選條件②，（ii）解析同條件①.選條件③，（i）設圓E的方程為x2由圓E經過點A(-1,2),B(6,3)，得5-D+2E+F=0,因為圓截y軸所得弦長為8，故方程y2+Ey+F=0的兩個實數根所以|y1-解方程組5-D+2E+F=045+6D+3E+F=0E2D=-206由于圓心E的坐標為整數，故圓E的方程為(x-3)（ii）解析同條件①.解題感悟求直線與圓相交所得弦長的兩種常用方法：（1）幾何法：直線l與圓C交于A,B兩點，設弦心距為d，圓的半徑為r，弦長為|AB|，則|AB|=2r（2）代數法：設直線與圓的兩交點分別是A(x則|BA|=(x1遷移應用1.若直線l:x-y+m=0被圓C:(x-1)2+(y-2A.5B.5或-3C.3D.3或-5答案：B解析：由題可知圓C的圓心坐標為(1,2)，半徑r=23則圓心到直線的距離d=|m-1|2，∴d2=r2-22.（2021山東實驗中學高二月考）已知圓C:(x-1)2+y2A.911B.921C.10答案：C解析：圓C:(x-1)2+y2=25的圓心∴最短弦的長為2r故所求四邊形的面積S=1評價檢測·素養提升課堂檢測1.（2021遼寧撫順第十二中學高二期中）直線ax-y+2a=0與圓x2A.相離B.相交C.相切D.不確定答案：B2.（2020山東青州一中高二期中）若圓心坐標為(2,-1)的圓被直線x-y-1=0截得的弦長為22A.(x-2)2C.(x-2)2答案：B3.過點(-3,-1)的直線l與圓x2+yA.433B.答案：D4.直線l:3x-4y+5=0截圓C:x答案：8素養演練1.數學建模——直線與圓的實際應用（2020江蘇南通啟東中學高二開學考試）樹林的邊界是直線l（如圖CD所在的直線），一只兔子在河邊喝水時發現了一只狼，兔子和狼分別位于l的垂線AC上的A點和B點處，AB=BC=a（a為正常數），若兔子沿AD方向以速度2μ向樹林逃跑，同時狼沿線段BM(M∈AD)方向以速度μ進行追擊（μ為正常數），若狼到達M處的時間不超過兔子到達M處的時間，狼就會吃掉兔子.（1）求兔子的所有不幸點（即可能被狼吃掉的點）的區域面積S(a)；（2）若兔子要想不被狼吃掉，求θ(θ=∠DAC)的取值范圍.解析：審：本題的解題關鍵是掌握圓的基礎知識和點到直線的距離公式，及其圓在實際問題中的應用，考查了分析能力和計算能力.聯：（1）兔子的不幸點滿足BMμ≤AM2μ，即2BM≤AM，建立平面直角坐標系可求得（2）兔子要想不被狼吃掉，則兔子行進的路線與狼所在的區域不能有重疊，所以