第7章方差分析7.1實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)介7.2方差分析基本思想7.3單因素方差分析7.4兩因素方差分析7.1實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)介幾個(gè)常用術(shù)語(yǔ)試驗(yàn)指標(biāo)(experimentalindicator)

為衡量試驗(yàn)結(jié)果的好壞或處理效應(yīng)的高低，在試驗(yàn)中具體測(cè)定的性狀或觀測(cè)的項(xiàng)目稱為試驗(yàn)指標(biāo)血糖含量、體高、體重等幾個(gè)常用術(shù)語(yǔ)（續(xù)）實(shí)驗(yàn)因素(experimentalfactor)實(shí)驗(yàn)中所研究的影響實(shí)驗(yàn)指標(biāo)的因素叫試驗(yàn)因素當(dāng)實(shí)驗(yàn)中考察的因素只有一個(gè)時(shí)，稱為單因素實(shí)驗(yàn)；若同時(shí)研究?jī)蓚€(gè)或兩個(gè)以上的因素對(duì)實(shí)驗(yàn)指標(biāo)的影響時(shí)，則稱為兩因素或多因素實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)因素常用大寫(xiě)字母A、B、C、…等表示。幾個(gè)常用術(shù)語(yǔ)（續(xù)）因素水平(leveloffactor)試驗(yàn)因素所處的某種特定狀態(tài)或數(shù)量等級(jí)稱為因素水平，簡(jiǎn)稱水平幾個(gè)常用術(shù)語(yǔ)（續(xù)）實(shí)驗(yàn)處理(treatment)事先設(shè)計(jì)好的實(shí)施在試驗(yàn)單位上的具體項(xiàng)目叫實(shí)驗(yàn)處理，簡(jiǎn)稱處理進(jìn)行單因素實(shí)驗(yàn)時(shí)，實(shí)驗(yàn)因素的一個(gè)水平就是一個(gè)處理在多因素實(shí)驗(yàn)時(shí)，實(shí)驗(yàn)因素的一個(gè)水平組合就是一個(gè)處理幾個(gè)常用術(shù)語(yǔ)（續(xù)）實(shí)驗(yàn)單位(experimentalunit)在實(shí)驗(yàn)中能接受不同實(shí)驗(yàn)處理的獨(dú)立的實(shí)驗(yàn)載體叫實(shí)驗(yàn)單位在實(shí)驗(yàn)中，將一個(gè)處理實(shí)施在兩個(gè)或兩個(gè)以上的實(shí)驗(yàn)單位上，稱為處理有重復(fù)；一處理實(shí)施的實(shí)驗(yàn)單位數(shù)稱為處理的重復(fù)數(shù)幾個(gè)術(shù)語(yǔ)（續(xù)）因素水平與處理因素水平為某因子（自變量）之特殊形式或不同狀態(tài)，例如我們可以將「施肥」細(xì)分成三個(gè)水平：完全不施肥、施輕肥、施重肥如果解釋的因素為單一(施肥與否），稱為單因子分析，如果解釋因子在兩個(gè)以上（施肥與否＋栽種溫度），稱為多因子分析。在單因素分析中，每一個(gè)因素水平皆稱為一種處理(treatment)，多因子分析中，因子水平之組合稱為一種處理（施重肥＋高溫、無(wú)施肥+高溫、施重肥＋低溫、無(wú)施肥＋低溫…等幾個(gè)術(shù)語(yǔ)自變量與因變量我們經(jīng)常設(shè)計(jì)研究來(lái)了解造成某種現(xiàn)象變化的原因例如：我們想要了解為什么有時(shí)候種植西瓜會(huì)甜有時(shí)候不會(huì)甜（甜度變動(dòng))這種我們欲了解的變量稱為因變量(dependentvariable)、被解釋變量、或反應(yīng)變量(responsevariable)。我們懷疑西瓜的甜度與栽種過(guò)程中是否施肥有關(guān)，將某些西瓜種籽加以施肥處理，其它西瓜保持自然生長(zhǎng)，這種造成依變量產(chǎn)生變化的變量稱之為因子(factor)或獨(dú)立變項(xiàng)、自變量(independentvariable)。實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)概念廣義理解是指實(shí)驗(yàn)研究課題設(shè)計(jì)，也就是整個(gè)實(shí)驗(yàn)計(jì)劃的擬定狹義的理解是指實(shí)驗(yàn)單位的選取、重復(fù)數(shù)目的確定及實(shí)驗(yàn)單位的分組實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的目的是避免系統(tǒng)誤差，控制、降低實(shí)驗(yàn)誤差，無(wú)偏估計(jì)處理效應(yīng)，從而對(duì)樣本所在總體作出可靠、正確的推斷實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)（續(xù)）實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)三原則重復(fù)重復(fù)是指試驗(yàn)中同一處理實(shí)施在兩個(gè)或兩個(gè)以上的試驗(yàn)單位上隨機(jī)化隨機(jī)化是指在對(duì)實(shí)驗(yàn)對(duì)象進(jìn)行分組時(shí)必須使用隨機(jī)的方法，使對(duì)象進(jìn)入各實(shí)驗(yàn)組的機(jī)會(huì)相等，以避免試驗(yàn)對(duì)象分組時(shí)實(shí)驗(yàn)人員主觀傾向的影響雙盲實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)（續(xù)）局部控制─實(shí)驗(yàn)條件的局部一致性在實(shí)驗(yàn)環(huán)境或?qū)嶒?yàn)單位差異大的情況下，可將整個(gè)實(shí)驗(yàn)環(huán)境或?qū)嶒?yàn)單位分成若干個(gè)小環(huán)境或小組，在小環(huán)境或小組內(nèi)使非處理因素盡量一致，這就是局部控制

。完全隨機(jī)化設(shè)計(jì)完全隨機(jī)化設(shè)計(jì)(completelyrandomizeddesign)“處理”被隨機(jī)地指派給試驗(yàn)單元的一種設(shè)計(jì).Subjectsareassumedtobehomogeneous只有一個(gè)因素With2ormoregroups(orlevels)完全隨機(jī)化設(shè)計(jì)（續(xù)）Factor(TrainingMethod)FactorLevels

(Groups)RandomlyAssignedUnitsDependentVariable

(Response)21hrs17hrs31hrs27hrs25hrs28hrs29hrs20hrs22hrs完全隨機(jī)化設(shè)計(jì)（續(xù)）高爾夫球的品牌與每次擊球的球距有無(wú)影響？隨機(jī)化區(qū)組設(shè)計(jì)隨機(jī)化區(qū)組設(shè)計(jì)(randomizedblockdesign)先按一定規(guī)則將實(shí)驗(yàn)單元?jiǎng)澐譃槿舾赏|(zhì)組，稱為“區(qū)組(Block)”再將各種處理隨機(jī)地指派給各個(gè)區(qū)組分組后再將每個(gè)品種（處理）隨機(jī)地指派給每一個(gè)區(qū)組的設(shè)計(jì)就是隨機(jī)化區(qū)組設(shè)計(jì)隨機(jī)化區(qū)組設(shè)計(jì)（續(xù)）因子設(shè)計(jì)因子設(shè)計(jì)(factorialdesign)感興趣的因素有兩個(gè)如：小麥品種和施肥方式.假定有甲、乙兩種施肥方式，這樣三個(gè)小麥品種和兩種施肥方式的搭配共有3×2=6種。如果我們選擇30個(gè)地塊進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，每一種搭配可以做5次試驗(yàn)，也就是每個(gè)品種(處理)的樣本容量為5，即相當(dāng)于每個(gè)品種(處理)重復(fù)做了5次實(shí)驗(yàn)考慮兩個(gè)因素(可推廣到多個(gè)因素)的搭配實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)稱為因子設(shè)計(jì)該設(shè)計(jì)主要用于分析兩個(gè)因素及其交互作用對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響因子設(shè)計(jì)（續(xù)）7.2方差分析基本思想方差分析的概念緣由t檢驗(yàn)法適用于樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)及兩樣本平均數(shù)間的差異顯著性檢驗(yàn)，但在科學(xué)研究中經(jīng)常會(huì)遇到比較多個(gè)處理優(yōu)劣的問(wèn)題，即需進(jìn)行多個(gè)平均數(shù)間的差異顯著性檢驗(yàn)。大學(xué)中各年級(jí)的同學(xué)智商是否有別？三種不同的教學(xué)方法對(duì)于學(xué)生的成績(jī)是否有影響？方差分析的概念（續(xù)）檢驗(yàn)過(guò)程煩瑣這種做法太浪費(fèi)時(shí)間，因?yàn)楸容^幾個(gè)總體可能產(chǎn)生很多的比較組，例如比較五個(gè)總體的平均值差異，如果以兩兩比較的方式，我們必須進(jìn)行C52=10次的t-test。無(wú)統(tǒng)一的試驗(yàn)誤差，誤差估計(jì)的精確性和檢驗(yàn)的靈敏性低試驗(yàn)有5個(gè)處理，每個(gè)處理重復(fù)6次，共有30個(gè)觀測(cè)值。進(jìn)行t檢驗(yàn)時(shí)，每次只能利用兩個(gè)處理共12個(gè)觀測(cè)值估計(jì)試驗(yàn)誤差，誤差自由度為2(6-1)=10；若利用整個(gè)試驗(yàn)的30個(gè)觀測(cè)值估計(jì)試驗(yàn)誤差，顯然估計(jì)的精確性高，且誤差自由度為5(6-1)=25。方差分析的概念（續(xù)）推斷的可靠性低，檢驗(yàn)的I型錯(cuò)誤率大，如果每組的顯著水平皆為α，則全體比較的顯著水平會(huì)高于α假設(shè)我們?cè)?05的顯著水平下要檢定下列零假設(shè)：

H0:u1=u2=u3如果拆成下列三組零假設(shè)：

H0:u1=u2,H0:u1=u3,H0:u2=u3每個(gè)假設(shè)被「接受」的概率為.95，三個(gè)假設(shè)全部被接受的概率為.953=.857，也就是說(shuō)當(dāng)假設(shè)為真但被推翻的概率為(1-0.857)=0.143>0.05遠(yuǎn)高于顯著水平方差分析的概念（續(xù)）因此我們需要在共同的顯著水平α下，同時(shí)考慮多個(gè)均值的差異，我們以F分布來(lái)進(jìn)行檢驗(yàn)，稱之為方差分析方差分析(analysisofvariance)是由英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家R.A.Fisher于1923年提出方差分析的概念（續(xù)）方差分析方差分析法是一種在若干能相互比較的資料組中，把產(chǎn)生變異的原因加以區(qū)分開(kāi)來(lái)的方法與技術(shù)研究分類型自變量對(duì)數(shù)值型因變量的影響

一個(gè)或多個(gè)分類尺度的自變量一個(gè)間隔或比率尺度的因變量單因素方差分析和雙因素方差分析單因素方差分析：涉及一個(gè)分類的自變量雙因素方差分析：涉及兩個(gè)分類的自變量方差分析的概念（續(xù)）例：消費(fèi)者很想知道哪種車型與油耗關(guān)系，比較A,B,C三種車款每加侖可以行駛的里數(shù)如下：基本假設(shè)假設(shè)每個(gè)總體都應(yīng)服從正態(tài)分布對(duì)于因素的每一個(gè)水平，其觀察值是來(lái)自服從正態(tài)分布總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本各個(gè)總體的方差必須相同各組觀察數(shù)據(jù)是從具有相同方差的總體中抽取的各總體的觀察值是獨(dú)立的基本思想Q:我們所觀察到的樣本均值差異是否大到足以推翻上面的零假設(shè)?三種汽車每單位汽油的里數(shù)皆相同基本思想（續(xù)）情形1：樣本內(nèi)的方差很小181920212223CBA基本思想（續(xù)）情形2：樣本內(nèi)的方差很大151719212325CBA27基本思想（續(xù)）分析邏輯假設(shè)從K個(gè)總體中抽取大小分別為n1,n2,n3…nk的K個(gè)獨(dú)立隨機(jī)樣本。我們對(duì)總體有下列的假設(shè)：各總體皆為正態(tài)分布，且有共同相同的方差σ2。以u(píng)1,u2,…uk

來(lái)表示總體的均值，單因子分析檢證下零假設(shè)H0:u1=u2…=ukvs.H1:至少有兩組均值不同基本思想（續(xù)）x11x21x31xn1,1x12x22x32xn2,2共有K個(gè)總體μ1,σ1μ2,σ2x1kx2kx3kxnk,kμk,σkXiji代表在樣本中的序號(hào)，i=1,2,…njj代表樣本組別，j=1,2,…k基本思想（續(xù)）分別來(lái)自k總的k個(gè)樣本第k組樣本共有nk個(gè)觀察值各組樣本數(shù)可以不同，分別為n1,n2,…nk,總樣本數(shù)n=n1+n2+…+nk基本思想（續(xù)）基本思想（續(xù)）總差異=由因子所引起的差異＋隨機(jī)差異總平均因子的影響隨機(jī)差異的影響基本思想（續(xù)）兩邊取平方和基本思想（續(xù)）方差分析是通過(guò)各組樣本內(nèi)的變異與組間變異之比較來(lái)檢證各組平均值是否相等，全體樣本數(shù)據(jù)的總變異量為:即個(gè)別觀察值與總均值差距的平方和，稱為總變離差平方和基本思想（續(xù)）方差分析將總方差分解成下列兩部分:總離差平方和=組內(nèi)離差平方和(未解釋)+組間離差平方和(已解釋)TotalSumofSquares(TSS)=Within-groupSumofSquaresorSumofSquaresWithin(SSW)+Between-GroupSumofSquaresorSumofSquaresBetween(SSB)基本思想（續(xù)）隨機(jī)誤差與系統(tǒng)誤差隨機(jī)誤差因素的同一水平(總體)下，樣本各觀察值之間的差異這種差異可以看成是隨機(jī)因素的影響，稱為隨機(jī)誤差

系統(tǒng)誤差因素的不同水平(不同總體)下，各觀察值之間的差異這種差異可能是由于抽樣的隨機(jī)性所造成的，也可能是由于行業(yè)本身所造成的，后者所形成的誤差是由系統(tǒng)性因素造成的，稱為系統(tǒng)誤差基本思想（續(xù)）組內(nèi)方差(withingroups)因素的同一水平(同一個(gè)總體)下樣本數(shù)據(jù)的方差組內(nèi)方差只包含隨機(jī)誤差組間方差(betweengroups)組間方差既包括隨機(jī)誤差，也包括系統(tǒng)誤差因素的同一水平(總體)下，樣本各觀察值之間的差異基本思想（續(xù)）例析：若不同車型對(duì)油耗沒(méi)有影響，則組間誤差中只包含隨機(jī)誤差，沒(méi)有系統(tǒng)誤差。這時(shí)，組間誤差與組內(nèi)誤差經(jīng)過(guò)平均后的數(shù)值就應(yīng)該很接近，它們的比值就會(huì)接近1若不同車型對(duì)油耗有影響，在組間誤差中除了包含隨機(jī)誤差外，還會(huì)包含有系統(tǒng)誤差，這時(shí)組間誤差平均后的數(shù)值就會(huì)大于組內(nèi)誤差平均后的數(shù)值，它們之間的比值就會(huì)大于1當(dāng)這個(gè)比值大到某種程度時(shí)，就可以說(shuō)不同水平之間存在著顯著差異，也就是自變量對(duì)因變量有影響基本思想（續(xù)）判斷車型對(duì)油耗有沒(méi)有影響，實(shí)際上也就是檢驗(yàn)具有同方差的三個(gè)正態(tài)總體的均值是否相等如果三個(gè)總體的均值相等，可以期望三個(gè)樣本的均值也會(huì)很接近三個(gè)樣本的均值越接近，推斷三個(gè)總體均值相等的證據(jù)也就越充分樣本均值越不同，推斷總體均值不同的證據(jù)就越充分基本思想（續(xù)）如果原假設(shè)成立，即H0:m1=m2=m3三種車型均值都相等意味著每個(gè)樣本都來(lái)自均值為、差為2的同一正態(tài)總體Xf(X)123基本思想（續(xù)）若備擇假設(shè)成立，即H1:mi(i=1，2，3)不全相等至少有一個(gè)總體的均值是不同的三個(gè)樣本分別來(lái)自均值不同的三個(gè)正態(tài)總體

Xf(X)3

1

27.3單因素方差分析單因素方差分析組間方差SSA隨機(jī)抽樣造成組內(nèi)方差SSE總方差SST=+單因素方差分析（續(xù)）方差來(lái)源自由度總離差平方方差F

Statistic組間

(Factor)c–1SSAMSA=

SSA/(c–1)MSA/MSE組內(nèi)

(Error)n–cSSEMSE=SSE/(n–c)合計(jì)n–1SST=

SSA+SSE單因素方差分析（續(xù)）a若是各處理總體間均值差異不大,

則F=MSＡ

/MSE

?1.總是使用單側(cè)檢驗(yàn)呦喲！AlwaysOne-Tail!Fa(c-1,n-c)0RejectH0DoNotRejectH0F單因素方差分析（續(xù)）例析：你是生產(chǎn)管理經(jīng)理，欲知道三臺(tái)機(jī)器的產(chǎn)品裝箱平均時(shí)間是否有差異。因此你抽選了具相同訓(xùn)練及經(jīng)驗(yàn)的操作員，并隨機(jī)指定至此三臺(tái)機(jī)器；每臺(tái)五人。并測(cè)試得到了下列的裝箱時(shí)間。以顯著水平.05，檢定三臺(tái)機(jī)器的裝箱平均時(shí)間是否有差異?

Machine1

Machine2

Machine3

25.40 23.40 20.00

26.31 21.80 22.20

24.10 23.50 19.75

23.74 22.75 20.60

25.10 21.60 20.40單因素方差分析（續(xù)）272625242322212019???????????????TimeinSeconds

Machine1

Machine2

Machine3

25.40 23.40 20.00

26.31 21.80 22.20

24.10 23.50 19.75

23.74 22.75 20.60

25.10 21.60 20.40單因素方差分析（續(xù)）F03.89H0:1=2=3H1:不全相等=.05df1=2df2=12臨界值:檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:

決策:結(jié)論:Rejectat=0.05.Thereisevidencethatatleastoneidiffersfromtherest.=0.05FMSAMSW2358209211256...單因素方差分析（續(xù)）方差來(lái)源自由度總離差平方和方差F

Statistic組間

(Factor)3-1=247.164023.5820MSA/MSW=25.60組內(nèi)

(Error)15-3=1211.0532.9211合計(jì)15-1=1458.2172多重比較多重比較當(dāng)方差分析的結(jié)果拒絕H0，接受H1

時(shí)，只說(shuō)明k個(gè)總體均數(shù)不全相等。若想進(jìn)一步了解哪些兩個(gè)總體均數(shù)不等，需進(jìn)行多個(gè)樣本均數(shù)間的兩兩比較或稱多重比較（multiplecomparison）。也叫posthoc檢驗(yàn)SNK－q檢驗(yàn)（多個(gè)均數(shù)間全面比較）LSD－t檢驗(yàn)（有專業(yè)意義的均數(shù)間比較）Dunnett檢驗(yàn)（多個(gè)實(shí)驗(yàn)組與對(duì)照組比較）還有TUKEY、DUNCAN、SCHEFFE、WALLER、BON等比較方法最小絕對(duì)離差法哪個(gè)總體均值差異顯著E.g.,1=2

3后驗(yàn)程序方差分析拒絕原假設(shè)后進(jìn)行配對(duì)比較

比較絕對(duì)均值絕對(duì)差多重比較（續(xù)）Xf(X)1=23多重比較（續(xù)）1.計(jì)算均值差的絕對(duì)值；

Machine1

Machine2

Machine3

25.40 23.40 20.00

26.31 21.80 22.20

24.10 23.50 19.75

23.74 22.75 20.60

25.10 21.60 20.402.計(jì)算臨界值：3.若大于臨界值，則拒絕。例子0.05水平上中皆大于臨界值，則每對(duì)皆顯著。

隨機(jī)區(qū)組實(shí)驗(yàn)隨機(jī)區(qū)組實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目被除數(shù)分成區(qū)組假定完全隨機(jī)設(shè)計(jì)處理和區(qū)組之間沒(méi)有交互影響隨機(jī)區(qū)組實(shí)驗(yàn)（續(xù)）隨機(jī)區(qū)組實(shí)驗(yàn)（續(xù)）VariationDue

toGroup

SSAVariation

AmongBlocks

SSBVariationAmongAllObservations

SSTCommonlyreferredtoas:SumofSquaresErrorSumofSquaresUnexplainedCommonlyreferredtoas:SumofSquaresAmongAmongGroupsVariation=++VariationDuetoRandomSampling

SSECommonlyreferredtoas:SumofSquaresAmongBlock隨機(jī)區(qū)組實(shí)驗(yàn)（續(xù)）方差來(lái)源自由度總離差平方和方差F

Statistic組間c–1SSAMSA=

SSA/(c–1)MSA/

MSE區(qū)組間r–1SSBMSB=SSBL/(r–1)MSB/

MSE誤差(r–1)*(c

–1)SSEMSE=SSE/[(r–1)*(c–1)]合計(jì)rc–1SST隨機(jī)區(qū)組實(shí)驗(yàn)（續(xù)）例析：你是生產(chǎn)管理經(jīng)理，欲知道三臺(tái)機(jī)器的產(chǎn)品裝箱平均時(shí)間是否有差異。因此你抽選了具不同訓(xùn)練及經(jīng)驗(yàn)的操作員，每個(gè)經(jīng)驗(yàn)等級(jí)五人，指定相同經(jīng)驗(yàn)的三人分別至此三臺(tái)機(jī)器；并測(cè)試得到了下列的裝箱時(shí)間。以顯著水平.05，檢定三臺(tái)機(jī)器的裝箱平均時(shí)間是否有差異?

Machine1

Machine2

Machine3

25.40 23.40 20.00

26.31 21.80 22.20

24.10 23.50 19.75

23.74 22.75 20.60

25.10 21.60 20.40隨機(jī)區(qū)組實(shí)驗(yàn)（續(xù)）F04.46H0:1=2=3H1:不全相等=.05df1=2df2=8臨界值：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：決策：結(jié)論：Rejectat=0.05.Thereisevidencethatatleastoneidiffersfromtherest.=0.05FMSAMSE235821.050322.45.隨機(jī)區(qū)組實(shí)驗(yàn)（續(xù)）方差來(lái)源自由度總離差平方和方差F

Statistic組間2SSA=

47.164MSA=

23.58223.582/1.0503=22.452區(qū)組間4SSB=

2.6507MSB=.6627.6627/1.0503=.6039誤差8SSE=

8.4025MSE=1.0503合計(jì)14SST=

58.21727.4兩因素方差分析兩因素方差分析概念分析兩個(gè)因素(行因素Row和列因素Column)對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響如果兩個(gè)因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響是相互獨(dú)立的，這時(shí)的雙因素方差分析稱為無(wú)交互作用的雙因素方差分析

(Two-factorwithoutreplication)如果除了行因素和列因素對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的單獨(dú)影響外，兩個(gè)因素的搭配還會(huì)對(duì)結(jié)果產(chǎn)生一種新的影響，這時(shí)的雙因素方差分析稱為有交互作用的雙因素方差分析

(Two-factorwithreplication)兩因素方差分析（續(xù)）基本假定每個(gè)總體都服從正態(tài)分布對(duì)于因素的每一個(gè)水平，其觀察值是來(lái)自正態(tài)分布總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本各個(gè)總體的方差必須相同對(duì)于各組觀察數(shù)據(jù)，是從具有相同方差的總體中抽取的觀察值是獨(dú)立的兩因素方差分析（續(xù)）

因子2（訓(xùn)練方式）因子水平Level1Level2Level3Level119hr.J20hr.J22hr.J因子1

(高)11hr.J17hr.J31hr.J(動(dòng)機(jī)

)Level227hr.L25hr.L31hr.L(低)29hr.L30hr.L49hr.L兩因素方差分析（續(xù)）Xijk因子Ａ之水平i因子Ｂ之水平j(luò)第k個(gè)觀察值因子

B因子A12...c1X111X121...X1c1X112X122...X1c22X211X221...X2c1X212X222...X2c2:::::rXr11Xr21...Xrc1Xr12Xr22...Xrc2水平組合稱為Cell兩因素方差分析（續(xù)）交互作用當(dāng)所選擇不同的Ａ、Ｂ因子時(shí)，cell均值數(shù)產(chǎn)生特別的變化。無(wú)法以個(gè)別因素影響而得到的均值如何使用表或圖來(lái)觀測(cè)交互作用在數(shù)據(jù)表上計(jì)算出每一細(xì)格的平均數(shù)在圖上相對(duì)應(yīng)的列與行間繪出該格平均數(shù)的位置兩因素方差分析（續(xù)）在不同動(dòng)機(jī)(高,低)下及不同訓(xùn)練方式(A,B,C)下,以圖形了解學(xué)習(xí)平均時(shí)間之交互作用有交互作用(interaction)無(wú)交互作用(nointeraction)平均時(shí)間ABC高動(dòng)機(jī)低動(dòng)機(jī)平均時(shí)間ABC高動(dòng)機(jī)低動(dòng)機(jī)兩因素方差分析（續(xù)）SSEVariationDuetoFactorAVariationDuetoRandomSamplingVariationDuetoInteractionSSASSABSSTVariationDuetoFactorBSSB總方差d.f.=n-1d.f.=r-1=++d.f.=c-1+d.f.=(r-1)(c-1)d.f.=rc(n’-1)兩因素方差分析（續(xù)）方差來(lái)源自由度離差平方和方差F

Statistic因素A

(行)r–1SSAMSA=

SSA/(r–1)MSA/

MSE因素B

(列)c–1SSBMSB=SSB/(c–1)MSB/

MSEAB

(交互)(r–1)(c–1)SSABMSAB=

SSAB/[(r–1)(c–1)]MSAB/

MSE誤差r*c*(m

–1)SSEMSE=SSE/[r*c*(m

–1)]合計(jì)R*c*(m

–1)SST兩因素方差分析（續(xù)）例解：你是菲爾營(yíng)銷公司的分析師，你想要了解產(chǎn)品在架上不同位置會(huì)對(duì)產(chǎn)品的銷售產(chǎn)生何種的影響。今隨機(jī)抽選了三種大小的店面、配合了四種不同的架位。并選取架位配合店面大小各重復(fù)兩店。使用a=.05，檢驗(yàn)所有各種效應(yīng)并下結(jié)論VO-5VO-5VO-5SUAVESUAVEPERTPERTPERT兩因素方差分析（續(xù)）

架上位置

(B)

店的大小

(A)

1

2

3

4

小型

45

50

56

63

65

71

48

53

中型

57

65

69

78

73

80

60

57

大型

70

78

75

82

82

89

71

75

兩因素方差分析（續(xù)）SourceofVariationDegr