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文檔簡介

一、變上限定積分第四章函數積分學第六節微積分基本公式二、微積分基本公式第1頁第1頁一、變上限定積分假如x是區間[a,b]上任意一點，定積分表示曲線y=f(x)在部分區間[a,x]上曲邊梯形AaxC面積，如圖中陰影部分所表示面積.當x在區間[a,b]上改變時,陰影部分曲邊梯形面積也隨之改變，因此變上限定積分yxy=f(x)axbOACB是上限變量x函數.記作(x)，即≤≤(x)第2頁第2頁定理1

若函數

f(x)在區間

[a,b]

上連續，則變上限定積分在區間

[a,b]

上可導，并且它導數等于被積函數，即第3頁第3頁證按導數定義，給自變量x以增量x，x+

x[a,b]，由(x)定義得相應函數(x)量(x)，即(x)=(x+x)-

(x)x+xACbBy=f(x)xyxaO(x)第4頁第4頁依據積分中值定理知道，在x與x+

x之間至少存在一點x，(x)又由于f(x)在區間[a,b]上連續，因此，當x0時有xx，f(x)

f(x)，從而有(x)故使成立.第5頁第5頁定理1告訴我們，是函數f(x)在區間[a,b]上一個原函數，這就必定了連續函數原函數是存在，因此，定理1也稱為原函數存在定理.變上限定積分第6頁第6頁例1

求(x).解

依據定理1，得第7頁第7頁例2

求F(x).解

依據定理1，得第8頁第8頁例3

求(x).解(x)第9頁第9頁例4

解第10頁第10頁二、微積分基本公式定理2

假如函數

f(x)在區間[a,b]上連續，F(x)是

f(x)在區間

[a,b]

上任一原函數，那么第11頁第11頁證由定理1知道f(x)在[a,b]上一個原函數，又由題設知道F(x)也是f(x)在[a,b]上一個原函數，由原函數性質得知，同一函數兩個不同原函數只相差一個常數，即把x=a代入①式中，則，常數C=F(a)，于是得①≤≤第12頁第12頁令x=b代入上式中，移項，得再把積分變量t換成x，為了此后使用該公式以便起見，把②式右端這樣②式就寫成下列形式：得②第13頁第13頁例5

計算下列定積分

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