章末綜合測評(二)概率(時間120分鐘，滿分160分)一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分．請把答案填寫在題中橫線上)1．甲、乙兩名運(yùn)動員各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色的運(yùn)動服中選擇1種，則他們選擇相同顏色運(yùn)動服的概率為________．【解析】甲、乙兩名運(yùn)動員選擇運(yùn)動服顏色有(紅，紅)，(紅，白)，(紅，藍(lán))，(白，白)，(白，紅)，(白，藍(lán))，(藍(lán)，藍(lán))，(藍(lán)，白)，(藍(lán)，紅)，共9種．而同色的有(紅，紅)，(白，白)，(藍(lán)，藍(lán))，共3種．31所以所求概率P＝＝.931【答案】32．設(shè)某校新、老校區(qū)之間開車單程所需時間為T，T只與道路暢通狀況有關(guān)，對其容量為100的樣本進(jìn)行統(tǒng)計，結(jié)果如下：T(分鐘)25303540頻數(shù)(次)20304010則T的數(shù)學(xué)期望E(T)＝________.【解析】由統(tǒng)計結(jié)果可得T的頻率分布為T(分鐘)25303540頻率0.20.30.40.1以頻率估計概率得T的分布列為T25303540P0.20.30.40.1從而E(T)＝25×0.2＋30×0.3＋35×0.4＋40×0.1＝32(分鐘)．【答案】32分鐘1115343．甲、乙、丙三人獨(dú)立去破譯地一個密碼，他們能譯出的概率分別為，，，則此密碼能被譯出的概率為________．1112【解析】三人都不能譯出密碼的概率為P＝1－1－1－＝，故三人能破譯密碼53452355的概率是1－P＝1－＝.3【答案】54．已知X～N(0,1)，則P(－1＜X＜2)＝________.【解析】∵P(－1＜X＜1)＝0.683，P(－2＜X＜2)＝0.954，1∴P(1＜X＜2)＝(0.954－0.683)＝0.1355.2∴P(－1＜X＜2)＝0.683＋0.135＝50.8185.【答案】0.818515．已知隨機(jī)變量X～B6，，則V(2X＋1)＝________.【導(dǎo)學(xué)號：29440064】2【解析】V(2X＋1)＝22×V(X)＝4V(X)，11322232V(X)＝6××1－＝，∴V(2X＋1)＝4×＝6.【答案】66．某人忘記了一個電話號碼的最后一個數(shù)字，只好任意去試撥．他第一次失敗，第二次成功的概率是________．【解析】電話號碼的最后一個數(shù)可能是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中的一個數(shù)，所以他第一次失敗，第二次成功的概率為109×91＝101.1【答案】1017．設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，即X～B(n，p)，且E(X)＝3，p＝，則n＝________，V(X)7＝________.1【解析】∵E(X)＝np＝3，p＝，∴n＝21，71118并且V(X)＝np(1－p)＝21××1－＝.77718【答案】2178．某人參加駕照考試，共考6個科目，假設(shè)他通過各科考試的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是p.若此人未能通過的科目數(shù)ξ的均值是2，則p＝________.【解析】因?yàn)橥ㄟ^各科考試的概率為p，所以不能通過考試的概率為1－p，易知ξ～B(6,1－p)，2所以E(ξ)＝6(1－p)＝2，解得p＝.32【答案】39．一個袋子裝有大小相同的3個紅球和2個白球，從中同時取出2個，則其中含紅球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望是________．【解析】法一同時取出的2個球中含紅球數(shù)X的概率分布為C13C126P(X＝0)＝C03C22C25＝101，P(X＝1)＝＝，C2510C23C023P(X＝2)＝＝.C25101636E(X)＝0×＋1×＋2×＝.1010105法二同時取出的2個球中含紅球數(shù)X服從參數(shù)N＝5，M＝3，n＝2的超幾何分布，所以nM6E(X)＝＝.N56【答案】510．一個盒子里裝有6張卡片，上面分別寫著如下6個定義域?yàn)镽的函數(shù)：f(x)＝x，f(x)＝x12，f(x)＝x3，f(x)＝sinx，f(x)＝cos2345x，f(x)＝2.現(xiàn)從盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后不放回，若取到一張記有偶函數(shù)的卡片，6則停止抽取，否則繼續(xù)進(jìn)行，則抽取次數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望為________．【解析】由于f(x)，f(x)，f(x)為偶函數(shù)，f(x)，f(x)，f(x)為奇函數(shù)，所以隨機(jī)變量ξ256134可取1,2,3,4.C13C133P(ξ＝1)＝C13C16＝21，P(ξ＝2)＝＝，C16C1510C13C12C133C13C12C11C131＝，P(ξ＝4)＝＝.C16C15C14C1320P(ξ＝3)＝C16C15C1420所以ξ的概率分布為ξ12343113210P202013317E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.210202047【答案】411.將一個半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D1所示的容器最上方的入口處，小球?qū)⒆杂上侣洌∏蛟谙侣涞倪^程中，將3次遇到黑色障礙物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障礙1物時，向左、右兩下邊落的概率都是，則小球落入A袋中的概率為________．2圖11111【解析】小球落入B袋中的概率為P1＝×××2＝，∴小球落入A袋中的概率為P22243＝1－P1＝.434【答案】12．某一部件由三個電子元件按圖2方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作，設(shè)三個電子元件的使用壽命(單位：小時)均服從正態(tài)分布N(1000,50)，且各個元件能否正常工作相互獨(dú)立，那么該部件的使用壽命超過12000小時的概率為________．圖2【解析】三個電子元件的使用壽命均服從正態(tài)分布N(1000，502)得：三個電子元件的使1用壽命超過1000小時的概率為p＝.超過1000小時時元件1或元件2正常工作的概率p1＝123438－(1－p)＝，那么該部件的使用壽命超過1000小時的概率為p2＝p1×p＝.238【答案】13．一袋中有大小相同的4個紅球和2個白球，給出下列結(jié)論：3①從中任取3球，恰有一個白球的概率是；54②從中有放回的取球6次，每次任取一球，則取到紅球次數(shù)的方差為；3③現(xiàn)從中不放回的取球2次，每次任取1球，則在第一次取到紅球后，第二次再次取到紅球的概率2為；526④從中有放回的取球3次，每次任取一球，則至少有一次取到紅球的概率為.27其中所有正確結(jié)論的序號是________.【導(dǎo)學(xué)號：29440065】【解析】①恰有一個白球的概率P＝C12C24C36＝35，故①正確；②每次任取一球，取到紅球2224次數(shù)X～B6，，其方差為6××1－＝，故②正確；3333③設(shè)A＝{第一次取到紅球}，B＝{第二次取到紅球}．4×322則P(A)＝，P(AB)＝＝，36×55∴P(B|A)＝錯誤!＝錯誤!，故③錯；2④每次取到紅球的概率P＝，3所以至少有一次取到紅球的概率為2261－1－＝，3327故④正確．【答案】①②④14．已知甲盒中僅有1個球且為紅球，乙盒中有m個紅球和n個藍(lán)球(m≥3，n≥3)，從乙盒中隨機(jī)抽取i(i＝1,2)個球放入甲盒中．(a)放入i個球后，甲盒中含有紅球的個數(shù)記為ξ(i＝1,2)；i(b)放入i個球后，從甲盒中取1個球是紅球的概率記為pi(i＝1,2)．則下列比較正確的序號是________．①p1>p2，E(ξ)<E(ξ)；②p<p，E(ξ)>E(ξ)；121212③p1>p2，E(ξ)>E(ξ)；④p<p，E(ξ)<E(ξ)．121212【解析】隨機(jī)變量ξ，ξ的分布列如下：12ξ1n21mPm＋nm＋nξ1232C2nC1mC1nC2mC2m＋nC2m＋nC2m＋nPn2m2m＋nm＋nm＋nm＋n所以E(ξ)＝＋＝，1C2n2C1mC1n3C2m3m＋nC2m＋nC2m＋nC2m＋nm＋nE(ξ)＝＋＋＝，2所以E(ξ)<E(ξ)．12mn1·＝錯誤!，因?yàn)閜1＝＋m＋nm＋n2C2mC1mC1n2C2m＋nC2m＋n·＋3C2m＋n3p2＝＋p1－p2＝錯誤!>0，所以p1>p2.【答案】①C2n1·＝錯誤!，二、解答題(本大題共6小題，共90分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15．(本小題滿分14分)某公司計劃購買2臺機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰．機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元．現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：圖3以這100臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺機(jī)器的同時購買的易損零件數(shù)．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，確定n的最小值；(3)以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在n＝19與n＝20之中選其一，應(yīng)選用哪個？【解】(1)由柱狀圖及以頻率代替概率可得，一臺機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2.從而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.所以X的分布列為X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值為19.(3)記Y表示2臺機(jī)器在購買易損零件上所需的費(fèi)用(單位：元)．當(dāng)n＝19時，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4040；當(dāng)n＝20時，E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4080.可知當(dāng)n＝19時所需費(fèi)用的期望值小于當(dāng)n＝20時所需費(fèi)用的期望值，故應(yīng)選n＝19.16．(本小題滿分14分)甲、乙兩人獨(dú)立解某一道數(shù)學(xué)題，已知甲獨(dú)立解出的概率為0.6，且兩人中至少有一人解出的概率為0.92.(1)求該題被乙獨(dú)立解出的概率；(2)求解出該題的人數(shù)X的概率分布．【解】(1)設(shè)甲、乙分別解出此題的事件為A，B，則P(A)＝0.6，P＝1－P(A·B)＝1－0.4·P(B)＝0.92，解得P(B)＝0.2，∴P(B)＝0.8.(2)P(X＝0)＝P(A)·P(B)＝0.4×0.2＝0.08，P(X＝1)＝P(A)·P(B)＋P(A)·P(B)＝0.44，P(X＝2)＝P(A)·P(B)＝0.6×0.8＝0.48，∴X的概率分布為：X012P0.080.440.4817.(本小題滿分14分)在一塊耕地上種植一種作物，每季種植成本為1000元，此作物的市場價格和這塊地上的產(chǎn)量均具有隨機(jī)性，且互不影響，其具體情況如下表：作物產(chǎn)量(kg)300500概率0.50.5作物市場價格(元/kg)610概率0.40.6(1)設(shè)X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤，求X的概率分布；(2)若在這塊地上連續(xù)3季種植此作物，求這3季中至少有2季的利潤不少于2000元的概率．【解】(1)設(shè)A表示事件“作物產(chǎn)量為300kg”，B表示事件“作物市場價格為6元/kg”，由題設(shè)知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，∵利潤＝產(chǎn)量×市場價格－成本，∴X所有可能的取值為500×10－1000＝4000,500×6－1000＝2000，300×10－1000＝2000,300×6－1000＝800.P(X＝4000)＝P(A)P(B)＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P(X＝2000)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，所以X的概率分布為X40002000800P0.30.50.2(2)設(shè)Ci表示事件“第i季利潤不少于2000元”(i＝1,2,3)，由題意知C1，C2，C3相互獨(dú)立，由(1)知，P(Ci)＝P(X＝4000)＋P(X＝2000)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1,2,3)，3季的利潤均不少于2000元的概率為P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.8＝0.512；33季中有2季的利潤不少于2000元的概率為P(C1C2C3)＋P(C1C2C3)＋P(C1C2C3)＝3×0.8×0.2＝0.384，所以，這3季中至少有2季2的利潤不少于2000元的概率為0.512＋0.384＝0.896.18．(本小題滿分16分)某飲料公司招聘了一名員工，現(xiàn)對其進(jìn)行一項(xiàng)測試，以便確定工資級別．公司準(zhǔn)備了兩種不同的飲料共8杯，其顏色完全相同，并且其中4杯為A飲料，另外4杯為B飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從8杯飲料中選出4杯A飲料．若4杯都選對，則月工資定為3500元；若4杯選對3杯，則月工資定為2800元，否則月工資定為2100元，令X表示此人選對A飲料的杯數(shù)，假設(shè)此人對A和B兩種飲料沒有鑒別能力．(1)求X的概率分布；(2)求此員工月工資的期望．【解】(1)X的所有可能取值為：0,1,2,3,4.Ci4C44－i(i＝0,1,2,3,4)，P(X＝i)＝C48故X的概率分布為：XP012348188135701703535(2)令Y表示新錄用員工的月工資，則Y的所有可能取值為2100,2800,3500，則P(Y＝3500)＝P(X＝4)＝701，P(Y＝2800)＝P(X＝3)＝358，53P(Y＝2100)＝P(X≤2)＝，7053所以E(Y)＝3500×701＋2800×358＋2100×＝2280(元)．70所以此員工工資的期望為2280元．19．(本小題滿分16分)設(shè)甲、乙兩家燈泡廠生產(chǎn)的燈泡壽命X(單位：小時)和Y的概率分布分別為：X90010001100P0.10.80.1Y95010001050P0.30.40.3試問哪家工廠生產(chǎn)的燈泡質(zhì)量較好？【解】由期望的定義，得E(X)＝900×0.1＋1000×0.8＋1100×0.1＝1000，E(Y)＝950×0.3＋1000×0.4＋1050×0.3＝1000.兩家燈泡廠生產(chǎn)的燈泡壽命的期望值相等，需進(jìn)一步考查哪家工廠燈泡的質(zhì)量比較穩(wěn)定，即比較其方差．由方差的定義，得V(X)＝(900－1000)×0.1＋(1000－1000)×0.8＋(1100－1000)×0.1＝2000，222V(Y)＝(950－1000)×0.3＋(1000－1000)×