數

學6.2復數的運算第六單元

復數拓展模塊（一）人民教育出版社第六單元

復數6.2復數的運算學習目標知識目標理解復數的加法、減法、乘法的概念；能力目標學生運用自主探討、合作學習，理解復數加法、減法的幾何意義，理解復數加法、減法結果的特點，理解并掌握復數乘法的運算律及其運算方法，提高其發現問題、分析問題及解決問題能力，培養學生邏輯思維能力；情感目標通過本節課學習，使學生養成樂于學習、勇于探索的良好品質核心素養通過思考、討論等活動，直觀想象、邏輯推理和數學運算等核心素養．在初中，我們用過“自然數集”“有理數集”等表述，這里的“集”就是集合的簡稱，那么什么是集合呢？創設情境，生成問題活動1問題提出設z1=1+i，z2=2-2i，z3=-2+3i，你認為（z1+z2）與（z1+z2）+z3的值應該等于多少？由此嘗試給出任意兩個復數相加得運算規則.在初中，我們用過“自然數集”“有理數集”等表述，這里的“集”就是集合的簡稱，那么什么是集合呢？調動思維，探究新知活動2抽象概括

1.復數的加法一般地，設z1=a+bi，z2=c+di（a,b,c,d∈R），稱z1+z2為z1與z2的和，并規定z1+z2=（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i.在初中，我們用過“自然數集”“有理數集”等表述，這里的“集”就是集合的簡稱，那么什么是集合呢？調動思維，探究新知活動2

例如，對于上述“探索研究”中的三個復數來說，有z1+z2=（1+i）+（2-2i）=（1+2）+（1-2）i=3-i，類似地，可以算出（z1+z2）+z3=（3-i）+（-2+3i）=1+2i.顯然，兩個復數的和仍然是復數.復數的加法運算滿足交換律與結合律，即z1+z2=z2+z1，（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）.在初中，我們用過“自然數集”“有理數集”等表述，這里的“集”就是集合的簡稱，那么什么是集合呢？調動思維，探究新知活動2探索研究1設z1=2+2i，z2=-1-4i，求出z1+z2，并在復平面內分別作出z1，z2，z1+z2所對應的向量.猜想并歸納復數加法的幾何意義.在初中，我們用過“自然數集”“有理數集”等表述，這里的“集”就是集合的簡稱，那么什么是集合呢？調動思維，探究新知活動2由復數與向量之間的對應關系可以得出復數加法的幾何意義:如果復數z1，z2所對應的向量分別為.則當與不共線時，以OZ1和OZ2為兩條鄰邊作平行四邊形OZ1ZZ2.則z1+z2所對應的向量就是，如圖6-5所示.在初中，我們用過“自然數集”“有理數集”等表述，這里的“集”就是集合的簡稱，那么什么是集合呢？調動思維，探究新知活動22.復數的減法

探索研究2設z1=5+8i，z2=5-3i，猜測z2的相反數以及z1-z2的值.在初中，我們用過“自然數集”“有理數集”等表述，這里的“集”就是集合的簡稱，那么什么是集合呢？調動思維，探究新知活動2

一般地，復數z=a+bi(a,b∈R)的相反數記作-z，并規定-z=(a+bi)=-a-bi.

復數z1減去z2的差記作z1-z2，并規定z1-z2=z1+(-z2).例如，上述“探索研究”中z2的相反數為-z2=-（5-3i）=-5+3i，因此，z1-z2=z1+(-z2)=（5+8i）+（-5+3i）=11i.在初中，我們用過“自然數集”“有理數集”等表述，這里的“集”就是集合的簡稱，那么什么是集合呢？調動思維，探究新知活動2

一般地，如果z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)，則z1-z2=（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i.顯然，兩個復數的差仍然是復數.但兩個復數的差一般不滿足交換律，即一般來說，z1-z2≠z2-z1.如果復數所對應的向量為與，設點Z滿足，則z1-z2所對應的向量就是，如圖所示.在初中，我們用過“自然數集”“有理數集”等表述，這里的“集”就是集合的簡稱，那么什么是集合呢？調動思維，探究新知活動23.復數的乘法

探索研究3設z1=3，z2=1-2i，z3=-5i，你認為的值與的值分別等于多少？由此嘗試給出兩個復數相乘的運算規則.在初中，我們用過“自然數集”“有理數集”等表述，這里的“集”就是集合的簡稱，那么什么是集合呢？調動思維，探究新知活動2

設z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)，稱z1z2(或z1×z2）為z1與z2的積，并規定z1z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2

=(ac-bd)+(ad+bc)i.為了算出兩個復數的積，只需要按照多項式乘法的方式進行，并利用i2=-1即可.在初中，我們用過“自然數集”“有理數集”等表述，這里的“集”就是集合的簡稱，那么什么是集合呢？調動思維，探究新知活動2

例如，對于上述“探索研究3”中的三個復數來說，有z1z2=3（1-2i）=3-6i，z2z3=(1-2i)(-5i)=-5i+10i2=-10-5i.顯然，兩個復數的積仍然是復數．復數的乘法運算滿足交換律與結合律，且對加法滿足分配律，即

，，

例1已知

a，b∈R，求證:(a+bi)(a-bi)=a2+b2.鞏固練習，提升素養活動3

例1已知

a，b∈R，求證:(a+bi)(a-bi)=a2+b2.

證明根據復數乘法的定義有

(a+bi)(a-bi)=a2-abi+bai-b2i2

=a2+b2.鞏固練習，提升素養活動3

例1的結論可以總結為

n個相同的復數z相乘時，仍稱為

z

的

n

次方(或

n次冪)，記可以驗證，當

m，n

均為正整數時，

zmzn=zm+n，(zm)n=zmn，(z1z2)n=z1nz2n.

鞏固練習，提升素養活動3

由此可知

(5i)2=52×i2=-25，

i3=i2×i=?-i，??

i4=i2×i2=(-1)×(-1)=1.

鞏固練習，提升素養活動3

需要說明的是，以前我們所學過的完全平方公式、平方差公式等數來說也是成立的，即

(z1+z2)2=z12+2z1z2+z22，

z12-z22=(z1+z2)(z1-z2).

例如，例1也可按如下方式計算.

(a+bi)(a-bi)=a2-(bi)2=a2+b2.

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例2計算

(1+i)2

與

(1-i)2

的值.鞏固練習，提升素養活動3

例2計算

(1+i)2

與

(1-i)2

的值.

解

(1+i)2=12+2i+i2=2i.

(1-i)2=12-2i+i2=-2i.鞏固練習，提升素養活動3