【優選】雙曲線的幾何性質-1隨堂練習一．填空題1．若雙曲線的離心率為，則直線的傾斜角為_______．2．已知雙曲線的焦距為是的右頂點，在的一條漸近線上存在兩點，使得，且，寫出符合條件的雙曲線的一個標準方程為___________.3．已知雙曲線：的焦距為，若的漸近線上存在點，使得經過點所作的圓的兩條切線互相垂直，則雙曲線的離心率的取值范圍是________．4．已知雙曲線的左，右焦點分別為，，過的直線分別與兩條漸近線交于．兩點，若，，則______.5．設是雙曲線的右焦點，過點向雙曲線的一條漸近線引垂線，垂足為，交另一條漸近線于點，若，則雙曲線的漸近線方程是______.6．若雙曲線的虛軸長為，則實數的值為__________.7．雙曲線的虛軸長是___________________.8．以下四個關于圓錐曲線的命題：①設．是兩個定點，為非零常數，若，則的軌跡是雙曲線；②過定圓上一定點作圓的弦，為原點，若，則動點的軌跡是橢圓；③方程的兩根可以分別作為橢圓和雙曲線的離心率；④雙曲線與橢圓有相同的焦點.其中正確命題的序號為__________9．已知動圓與兩圓，中的一個內切，另一個外切，則動圓的圓心的軌跡方程為_______.10．已知雙曲線C：的左焦點為F，過F且與C的一條漸近線垂直的直線l與C的右支交于點P，若A為PF的中點，且為坐標原點，則C的離心率為________.11．已知雙曲線，則漸近線方程為______；離心率e為______.12．已知是雙曲線上的一點，，是雙曲線的兩個焦點，且，則的面積是______.13．在平面直角坐標系中，已知拋物線的準線與雙曲線（，）的漸近線分別交于P，Q兩點，若的內切圓半徑為，則雙曲線的離心率為________.14．已知F是雙曲線的右焦點，若點P是雙曲線的左支上一點，，則周長的最小值為______．15．已知雙曲線=1的左．右焦點分別為F1．F2，M是雙曲線上一點，若，則三角形的面積為______.

參考答案與試題解析1．【答案】【解析】∵雙曲線的離心率為，∴，∴，∴直線的傾斜角為.故答案為：2．【答案】（答案不唯一）【解析】分析：設漸近線方程為，則點到漸近線的距離，結合，，推出，然后求解離心率，再寫一個簡單的標準方程即可.詳解：設漸近線方程為，則點到漸近線的距離，又，，則，即有，所以，，再寫一個簡單的標準方程即可.故答案為：（答案不唯一）3．【答案】【解析】分析：要使得經過點所作的圓的兩條切線互相垂直，必有，而焦點到雙曲線漸近線的距離為，故，利用雙曲線的離心率的計算公式解答．詳解：解：∵，，所以離心率，圓是以為圓心，半徑的圓，要使得經過點所作的圓的兩條切線互相垂直，必有，而焦點到雙曲線漸近線的距離為，所以，即，所以，所以雙曲線的離心率的取值范圍是．故答案為：．【點睛】本題考查雙曲線的離心率的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意雙曲線性質的靈活運用．4．【答案】1【解析】分析：由題意畫出圖形，結合已知可得B（，），寫出F1B的方程，與聯立求得A點坐標，得到A為B．F1的中點，可得結論．詳解：如圖，因為B在漸近線上，∴設B（，）,且，，∵，∴，則B（，）∴F1B：y（x+2），聯立，解得A（，），即A為B．F1的中點∴．故答案為：1.【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質，考查數形結合的解題思想方法，考查計算能力，是中檔題．5．【答案】【解析】分析：由題意可得，則，設漸近線為的傾斜角為，則可得，，根據二倍角公式可求解.詳解：雙曲線C：的漸近線為，由題意，得，則在中，，則.設漸近線為的傾斜角為，即，則，則在中，，在中，，則，即，即，所以，故雙曲線的漸近線方程為：故答案為：【點睛】本題考查求雙曲線的漸近線的方程，考查雙曲線的幾何性質，考查三角函數的二倍角公式的應用，屬于中檔題.6．【答案】或1【解析】分析：分別討論，兩種情況，根據雙曲線的虛軸長，即可得出結果.詳解：因為雙曲線的虛軸長為，①當時，雙曲線方程可化為，有，得；②當時，雙曲線方程可以化為，得；故實數的取值為或1.故答案為：或1.7．【答案】6.【解析】分析：根據雙曲線的幾何性質可以得出虛軸長.詳解：解：雙曲線的虛軸長是，所以雙曲線的虛軸長是6.故答案為：6.【點睛】雙曲線中：（1）實軸長為，實半軸長為；（2）虛軸長為，虛半軸長為.8．【答案】③④【解析】分析：根據雙曲線的定義可判斷①的正誤；推出點是的中點，利用垂徑定理和圓的定義可判斷②的正誤；求出方程的兩根，結合橢圓．雙曲線離心率的取值范圍可判斷③的正誤；求出雙曲線與橢圓的焦點坐標，可判斷④的正誤.詳解：①不正確，若動點的軌跡為雙曲線，則，當點在的延長線上時，顯然這種曲線是射線，而非雙曲線；②不正確，，，則是的中點，根據垂徑定理，圓心與弦的中點連線垂直于這條弦，設圓心為，那么有，即恒為直角，由于是圓的半徑，為定值，而恒為直角，也就是說，在以為直徑的圓上運動，為直徑所對的圓周角，所以點的軌跡是一個圓；③正確，方程的兩根分別為和，可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；④正確，雙曲線與橢圓的焦點坐標都是.故答案為：③④.【點睛】方法點睛：求動點的軌跡方程有如下幾種方法：（1）直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡后即得動點的軌跡方程；（2）定義法：如果能確定動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程；（3）相關點法：用動點的坐標．表示相關點的坐標．，然后代入點的坐標所滿足的曲線方程，整理化簡可得出動點的軌跡方程；（4）參數法：當動點坐標．之間的直接關系難以找到時，往往先尋找．與某一參數得到方程，即為動點的軌跡方程；（5）交軌法：將兩動曲線方程中的參數消去，得到不含參數的方程，即為兩動曲線交點的軌跡方程.9．【答案】【解析】分析：根據題意利用兩圓相切的性質，分類討論求出圓的圓心軌跡的方程.詳解：解：設，的圓心分別為，圓的半徑為.當圓與圓內切，與圓外切時，這時有，圓的圓心軌跡是以為焦點的雙曲線的左支；當圓與圓外切，與圓內切時，這時有，圓的圓心軌跡是以為焦點的雙曲線的右支，因此圓的圓心軌跡是以為焦點的雙曲線，，所以方程為：.故答案為：.【點睛】，進而得圓的圓心軌跡是以為焦點的雙曲線即可得方程.10．【答案】【解析】分析：設雙曲線的右焦點為，設直線l與漸近線交于，可求出，，，由橢圓定義可得，，在直角三角形中，，即可求出，得出離心率.詳解：如圖所示，設雙曲線的右焦點為，不妨設直線l與漸近線交于，在直角三角形中，由點到直線的距離可得，，，為的中位線，，，，，，則在直角三角形中，，化簡得，.故答案為：.【點睛】本題考查橢圓離心率的求解，解題的關鍵是正確利用直角三角形的性質和橢圓的定義表示出各線段長度，得到.11．【答案】【解析】分析：由已知得雙曲線的焦點在軸上，故其漸近線方程為，離心率詳解：由已知得雙曲線的焦點在軸上，，故其漸近線方程為，即，離心率.故答案為：①，②12．【答案】【解析】分析：由雙曲線定義，可知，且，在中，由余弦定理和雙曲線的定義，求得，結合面積公式，即可求解.詳解：設點為雙曲線右支上的點，且由雙曲線定義，可知則在中，由余弦定理可知：，即，即，解得，則.故答案為：.13．【答案】【解析】分析：先求出的面積，再利用等積法可求的關系，從而可求離心率.詳解：不妨設在軸的上方，在軸的下方.拋物線的準線方程為：，雙曲線的漸近線方程為：.故，，故.而，故，所以，故.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：圓錐曲線的離心率的計算，關鍵是利用已知條件構建關鍵的等量關系式，遇到三角形的內切圓半徑的計算問題時，一般利用等積法來溝通半徑與三角形的邊的關系.14．【答案】34【解析】分析：把到右焦點的距離轉化為到左焦點的距離后易得最小值．詳解：雙曲線中，，，即，設是雙曲線的左焦點，，則∵在雙曲線的左支上，∴，即，∴周長為，顯然，當且僅當是線段與雙曲線的交點時等號成立．∴周長的最小值為．故答案為：34.【點睛】方法點睛：本題考查雙曲線上的點到定點和雙曲線一個焦點距離和（或差）的最值問題．解題關鍵是掌握轉化思想，根據雙曲線的定義，如果涉及的是，則把轉化為到另一焦點的距離，如