北京市第四十三中學2020—2021學年度第一學期期中高二數學2020.11.試卷滿分：150分考試時間：120分鐘一．選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．已知集合，則=()A． B． C． D．2．若，，則是()A．第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一象限角3．下列函數中，既是偶函數又存在零點的是（）A． B． C． D．4．已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸正半軸重合，終邊經過點，則（）A． B． C． D．5.，兩點之間的距離為（）A.B.C.D.6．已知向量,且,那么（）A． B． C． D．7．圓的圓心到直線的距離為（）A．2 B． C．1 D．8．已知是兩條不同直線，是三個不同平面，下列命題中正確的是（）A．若則 B．若則C．若則 D．若則9.圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是（）A．36B.C.18D.10.如圖,在邊長為2的正方體ABCD—A1B1C1D1中，E為BC的中點，點P在底面ABCD上移動，且滿足B1P⊥D1E，則線段B1P的長度的最大值為（）A.B.2C.D.3二．填空題（本大題共6小題，每題5分，共30分，把答案填在答題紙上）11.已知，，則12.過點（1，0）且與直線平行的直線方程是13.直線的傾斜角為,x軸上截距為14.在中，，則______，的面積為_______.15.已知直線與圓交于兩點，若，則____.16.已知點P是直線上的一點，過P作圓的切線，切點為A，則切線長的最小值為_____.三．解答題（本大題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）BACA1C1B1D17.（本題13分）如圖，在正三棱柱BACA1C1B1D（Ⅰ）求證：平面；【6分】（Ⅱ）求證：平面.【7分】班級班級學號姓名_________________成績裝訂線內不要答題18.（本題12分）在鈍角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，（Ⅰ）求的大小；【4分】（Ⅱ）求邊和的面積．【8分】19．（本題10分）已知直線經過直線與直線的交點，且垂直于直線．（Ⅰ）求直線的方程．【6分】（Ⅱ）求直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積．【4分】EBCADP20.（本題15分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，,為棱的中點.EBCADP（Ⅰ）求證；【4分】（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；【7分】（Ⅲ）求點A到平面PBD的距離。【4分】21.（本題15分）已知圓C：，直線過定點．（Ⅰ）若直線與圓C相切，求直線的方程；【5分】（Ⅱ）若直線與圓C相交于P，Q兩點，求的面積的最大值，并求此時直線的方程．【10分】22.（本題15分）如圖，在三棱柱中，側棱垂直于底面，，，，分別為，的中點．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：∥平面；【5分】（Ⅱ）求證：∥平面；【5分】（Ⅲ）在棱上是否存在一點，使得平面平面？說明理由．【5分】參考答案一。選擇題1.C2.B3.D4.B5.C6.A7.B8.D9.B10.D二。填空題11.12.13.；14.；15.16.三。解答題17.(Ⅰ)證明：因為正三棱柱，為的中點，所以，底面.…1分又因為底面，所以.…3分又因為，平面，平面，所以平面.…6分(Ⅱ)證明：如圖，連接，設，連接，…7分BACA1C1BACA1C1B1DO又因為在中，，所以，…10分又因為平面，平面，所以平面.…13分18【答案】（1）（2），【詳解】：（1）因為，所以。。。。。4分（2）因為所以得即所以因為三角形是鈍角三角形，所以舍去所以………12分錯解：（2）沒有注意到三角形是鈍角三角形，檢驗cosA<0得到兩組解所以19．答案：（1）（2）1【詳解】（），解得，則點的坐標為．由于點的坐標是，且所求直線與直線垂直，可設所求直線的方程為．將點坐標代入得，解得．故所求直線的方程為．.。。。。。。。。。。。。6分（）由直線的方程知它在軸，軸上的截距分別是，，所以直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積．。。。。。。。。。。。10分20【答案】（Ⅰ）證明：因為底面，所以．因為，所以.由于，所以有．…４分（Ⅱ）解：依題意，以點為原點建立空間直角坐標系（如圖），不妨設，可得，，，.zyxEBCDAP由zyxEBCDAP向量,.設為平面的法向量，則即．不妨令，可得（1,1,1）為平面的一個法向量.所以.所以，直線與平面所成角的正弦值為.…11分（Ⅲ）解：…15分21．【答案】（1）或【分析】（1）通過直線的斜率存在與不存在兩種情況，利用直線的方程與圓C相切，圓心到直線的距離等于半徑即可求解直線的方程；（2）設直線方程為，求出圓心到直線的距離、求得弦長，得到的面積的表達式，利用二次函數求出面積的最大值時的距離，然后求出直線的斜率，即可得到直線的方程.【詳解】（1）①若直線l1的斜率不存在，則直線l1：x＝1，符合題意.。。。。。2分②若直線l1斜率存在，設直線l1的方程為，即．由題意知，圓心（3，4）到已知直線l1的距離等于半徑2，即：，解之得.所求直線l1的方程是或.。。。。。。。。。。。5分(2)直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0,設直線方程為，則圓心到直線l1的距離又∵△CPQ的面積＝∴當d＝時，S取得最大值2.∴＝∴k＝1或k＝7所求直線l1方程為x－y－1＝0或7x－y－7＝0..。。。。。。。15分【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關系的應用，其中解答中涉及到直線與圓相切，圓的弦長公式，以及三角形的面積公式和二次函數的性質等知識點的綜合考查，其中熟記直線與圓的位置關系的應用，合理準確計算是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.22.解：（Ⅰ）在三棱柱中，因為側棱垂直于底面，所以平面．所以．因為，，所以平面．因為平面，所以．………5分（Ⅱ）取中點，連結，．則∥，且，又因為∥，且，所以∥，且．所以四邊形為平行四邊形．所以∥．又平面，平面，所以∥平面．………10分（Ⅲ）在棱上存在點，且為的中點．連接．在正方形中，因為為中點，所以△≌△．所以．所以．