11/112019-2021北京重點校初三（上）期中數學匯編二次函數的圖像與性質一、單選題1．（2019·北京八中九年級期中）拋物線的對稱軸是（）A． B．C． D．2．（2019·北京八中九年級期中）將二次函數y＝x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式為（）A．y＝（x﹣4）2+1 B．y＝（x﹣4）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣3 D．y＝（x+2）2﹣33．（2019·北京八十中九年級期中）函數y＝x2＋2x－3(－2≤x≤2)的最大值和最小值分別是（）A．4和－3 B．－3和－4 C．5和－4 D．－1和－44．（2021·北京·北師大實驗中學九年級期中）二次函數圖象的頂點坐標是（）A． B． C． D．5．（2019·北京四中九年級期中）拋物線y=﹣（x+2）2﹣3的頂點坐標是（）A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，3） D．（﹣2，﹣3）6．（2020·北京四中九年級期中）已知A(，y1），B(1，y2），C(4，y3）三點都在二次函數y＝﹣（x﹣2）2的圖象上，則y1，y2，y3的大小關系為（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y17．（2021·北京師大附中九年級期中）拋物線y＝﹣3（x﹣1）2+3的頂點坐標是（）A．（﹣1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（1，3）8．（2021·北京四中九年級期中）拋物線y＝﹣（x+1）2﹣2的對稱軸是（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣29．（2021·北京八中九年級期中）拋物線的對稱軸為（）A．直線 B．直線 C．直線 D．直線10．（2020·北京四中九年級期中）函數y=(x+1)2-2的最小值是（）A．1 B．－1 C．2 D．－211．（2020·北京師大附中九年級期中）拋物線的頂點坐標是（）A．（1，3） B．（－1，3） C．（－1，－3） D．（1，－3）12．（2021·北京八十中九年級期中）拋物線y＝﹣（x+1）2﹣3的頂點坐標是（）A．（1，﹣3） B．（1，3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3）二、填空題13．（2019·北京八中九年級期中）老師給出一個二次函數，甲、乙兩名同學各指出這個函數的一個性質．甲：函數圖象的頂點在x軸上；乙：拋物線開口向下；已知這兩位同學的描述都正確，請你寫出滿足上述所有性質的一個二次函數表達式_____．14．（2021·北京·北師大實驗中學九年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，點在拋物線上，過點A作y軸的垂線，交拋物線于另一點B，點C、D在線段AB上，分別過點C、D作x軸的垂線交拋物線于E、F兩點．當四邊形CDFE為正方形時，線段CD的長為_________．15．（2019·北京市陳經綸中學九年級期中）請寫出一個開口向上，且對稱軸為直線x＝3的二次函數解析式_____．16．（2021·北京師大附中九年級期中）已知A（，），B（1，），C（4，）三點都在二次函數的圖象上，則、、的大小關系為_______．三、解答題17．（2019·北京八中九年級期中）已知是二次函數，求m的值，并判斷此拋物線開口方向，寫出頂點坐標及對稱軸．18．（2019·北京市陳經綸中學九年級期中）吳京同學根據學習函數的經驗，對一個新函數y＝的圖象和性質進行了如下探究，請幫他把探究過程補充完整（1）該函數的自變量x的取值范圍是．（2）列表：x…﹣2﹣10123456…y…m﹣1﹣5n﹣1…表中m＝，n＝．（3）描點、連線在下面的格點圖中，建立適當的平面直角坐標系xOy中，描出上表中各對對應值為坐標的點（其中x為橫坐標，y為縱坐標），并根據描出的點畫出該函數的圖象：（4）觀察所畫出的函數圖象，寫出該函數的兩條性質：①；②．19．（2021·北京·北師大實驗中學九年級期中）在平面直角坐標系xOy中，點A（x1，y1），B（x2，y2）在拋物線y＝ax2+2ax（0＜a＜3）上，其中x1＜x2．（1）求拋物線的對稱軸；（2）若A（﹣2，y1），B（0，y2），直接寫出y1，y2的大小關系；（3）若x1+x2＝1﹣a，比較y1，y2的大小，并說明理由．20．（2021·北京·北師大實驗中學九年級期中）某公司以每件40元的價格購進一種商品，在銷售過程中發現這種商品每天的銷售量y（件）與每件的銷售單價x（元）滿足一次函數關系:y＝﹣2x+140（x＞40）．(1)當x＝50時，總利潤為元；(2)若設總利潤為w元，則w與x的函數關系式是；(3)若每天的銷售量不少于38件，則銷售單價定為多少元時，此時利潤最大，最大利潤是多少？

參考答案1．C【分析】根據題目中拋物線的頂點式，可以直接寫出它的對稱軸，本題得以解決．【詳解】拋物線y=（x+2）2-1的對稱軸是直線x=-2，故選C．【點睛】本題考查二次函數的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質解答．2．C【分析】先提出二次項系數，再加上一次項系數的一半的平方來湊完全平方式，把一般式轉化為頂點式．【詳解】y＝x2﹣4x+1＝（x2﹣4x+4）+1﹣4＝（x﹣2）2﹣3．所以把二次函數y＝x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式為：y＝（x﹣2）2﹣3．故選C．【點睛】本題考查了二次函數的三種形式．二次函數的解析式有三種形式：（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數）；（2）頂點式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交點式（與x軸）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．3．C【詳解】解：將二次函數y＝x2＋2x－3(－2≤x≤2)配方可得：根據二次函數圖像性質：該二次函數開口方向向上，當時，函數有最小值，最小值是，再將和分別代入二次函數求函數值進行比較可以求出當，函數有最大值，最大值是5，故選：C4．A【分析】根據二次函數頂點式即可得出頂點坐標.【詳解】∵，∴二次函數圖像頂點坐標為：.故答案為A.【點睛】本題主要考查二次函數的性質，掌握二次函數的頂點式是解題的關鍵，即在y=a（x-h）2+k中，對稱軸為x=h，頂點坐標為（h，k）．5．D【詳解】試題分析：∵拋物線y=﹣（x+2）2﹣3為拋物線解析式的頂點式，∴拋物線頂點坐標是（﹣2，﹣3）．故選D．考點：二次函數的性質．6．B【分析】由二次函數解析式可得函數對稱軸和增減性，再根據離對稱軸的遠近的點的縱坐標的大小比較，即可得出y1、y2、y3的大小關系．【詳解】解：二次函數y＝﹣（x﹣2）2的圖象開口向下，對稱軸為x＝2，在對稱軸左側，y隨x的增大而增大∴C（4，y3）關于對稱軸的對稱點為（0，y3），∵﹣＜0＜1＜2，∴y1＜y3＜y2，故選：B．【點睛】本題考查比較函數值的大小．解決此題的關鍵是理解當二次函數開口向下時，在函數圖象上距離對稱軸越遠的點，函數值越小；當二次函數開口向上時，在函數圖象上距離對稱軸越遠的點，函數值越大．7．D【分析】直接根據頂點式的特點求頂點坐標．【詳解】解：∵y＝﹣3（x﹣1）2+3是拋物線的頂點式，∴頂點坐標為（1，3）．故選：D．【點睛】本題主要考查二次函數的性質，掌握二次函數的頂點式是解題的關鍵，即在y＝a（x?h）2＋k中，對稱軸為x＝h，頂點坐標為（h，k）．8．B【分析】由y＝a（x﹣h）2+k的對稱軸是直線x＝h可得答案．【詳解】解：拋物線y＝﹣（x+1）2﹣2的對稱軸是直線x＝﹣1，故選：B．【點睛】本題考查了二次函數的頂點式，熟知二次函數頂點式為，頂點坐標為，對稱軸為直線．9．D【分析】由y=a（x-h）2+k的對稱軸是直線x=h可得答案．【詳解】解：拋物線y=-（x+1）2+2的對稱軸是直線x=-1，故選：D．【點睛】本題考查將二次函數的性質，解析式化為頂點式y=a（x-h）2+k，頂點坐標是（h，k），對稱軸是直線x=h．10．D【分析】拋物線y=(x+1)2-2開口向上，有最小值，頂點坐標為(-1，-2)，頂點的縱坐標-2即為函數的最小值.【詳解】解：根據二次函數的性質，當x=-1時，二次函數y=(x+1)2-2的最小值是-2.故選D.【點睛】本題考查了二次函數的最值.11．A【分析】根據次函數y=a(x-h)2+k

（a，b，c為常數，a≠0）的性質求解即可.【詳解】拋物線的頂點坐標是（1，3）.故選A.【點睛】本題考查了二次函數圖象的性質，對于二次函數y=a(x-h)2+k

（a，b，c為常數，a≠0），當a>0時，拋物線開口向上，當a<0時，拋物線開口向下，其頂點坐標是(h，k)，對稱軸為x=h.12．D【分析】根據二次函數頂點式解析式寫出頂點坐標即可．【詳解】解：拋物線y＝﹣（x+1）2﹣3的頂點坐標是（﹣1，﹣3）．故選D．【點睛】本題考查了二次函數的性質，熟練掌握利用頂點式解析式寫出頂點坐標的方法是解題的關鍵．13．y＝﹣（x﹣1）2，（答案不唯一）【分析】根據頂點在x軸上，開口方向向下，可以確定該函數的形式為y＝﹣a（x﹣b）2（a＞），即可確定答案.【詳解】解：根據題意知，滿足上述所有性質的二次函數可以是：y＝﹣a（x﹣b）2（a＞），寫出一個滿足該形式的解析式即可，如y＝﹣（x﹣1）2,答案不唯一.故答案為y＝﹣（x﹣1）2，（答案不唯一）．【點睛】本題考查了二次函數圖像的性質，解題的關鍵在于熟記并靈活運用二次函數解析式——頂點式.14．【分析】點代入拋物線中求出解析式為，再設CD=2x，進而求得E點坐標為(x,4-2x)，代入中即可求解．【詳解】解：將點代入拋物線中，解得，∴拋物線解析式為，設CD、EF分別與軸交于點M和點N，當四邊形CDFE為正方形時，設CD=2x，則CM=x=NE，NO=MO-MN=4-2x，此時E點坐標為(x,4-2x)，代入拋物線中，得到：，解得，(負值舍去)，∴，故答案為：．【點睛】本題考查二次函數圖像上點的坐標及正方形邊長相等等知識點，屬于基礎題，熟練掌握二次函數的圖像及性質是解決本題的關鍵．15．y＝x2﹣6x+6（答案不唯一）．【分析】因為開口向上，所以a＞0；根據對稱軸為x＝3，可知頂點的橫坐標為3，縱坐標可任意選擇一個數，由頂點式寫出二次函數解析式．【詳解】依題意取a＝1，頂點坐標（3，﹣3），由頂點式得y＝（x﹣3）2﹣3．即y＝x2﹣6x+6．故答案為：y＝x2﹣6x+6（答案不唯一）．【點睛】本題考查了二次函數的性質，拋物線的對稱軸、開口方向與拋物線頂點式的關系：頂點式，頂點坐標是，對稱軸是時，開口向上，時，開口向下．16．y1＜y3＜y2【分析】先確定拋物線的開口方向和對稱軸，然后比較三個點距離對稱軸的距離，再利用二次函數的性質判斷對應函數值的大小．【詳解】解：∵二次函數的圖像開口方向向下，對稱軸是x=2，∴A（，）距對稱軸的距離是，B（1，）距對稱軸的距離是1，C（4，）距對稱軸的距離是2，∵，∴故答案為：．【點睛】本題考查二次函數圖象上點的坐標特征．解決此題的關鍵是能根據函數的圖象理解二次函數，當a＞0時，距離對稱軸越遠的點，函數值越大；當a＜0時，距離對稱軸越遠的點，函數值越小．17．m=-1，開口向下，頂點坐標（），對稱軸：直線.【分析】利用二次函數的定義：x的最高項的次數為2，二次項系數不為0求得m的值，再利用配方法求出二次函數的頂點坐標及對稱軸即可.【詳解】由題意得，解得m=-1，∴開口向下，頂點坐標（），對稱軸：直線.18．（1）一切實數（2）-，-（3）見解析（4）該函數有最小值沒有最大值；該函數圖象關于直線x＝2對稱【分析】（1）分式的分母不等于零；（2）把自變量的值代入即可求解；（3）根據題意描點、連線即可；（4）觀察圖象即可得出該函數的其他性質．【詳解】（1）由y＝知，x2﹣4x+5≠0，所以變量x的取值范圍是一切實數．故答案為一切實數；（2）m＝，n＝，故答案為-，-；（3）建立適當的直角坐標系，描點畫出圖形，如下圖所示：（4）觀察所畫出的函數圖象，有如下性質：①該函數有最小值沒有最大值；②該函數圖象關于直線x＝2對稱．故答案為該函數有最小值沒有最大值；該函數圖象關于直線x＝2對稱【點睛】本題綜合考查了二次函數的圖象和性質，根據圖表畫出函數的圖象是解題的關鍵．19．（1）x=-1；（2）=；（3）<．【分析】（1）根據對稱軸與系數的關系可以直接求得對稱軸為：x==-1；（2）利用對稱軸到點的距離進行判定y值即可；（3）利用作差法，將表示出來，再進行判斷正負，據此判斷大小即可．【詳解】解：（1）由題意得：對稱軸x==-1；（2）∵0＜a＜3，∴拋物線開口向上，又∵對稱軸x=-1，∴，∴A、B兩點到對稱軸的距離相等，即：=（3）由題意得：====∵0＜a＜3，x1＜x2∴<0，即：<．【點睛】本題主要考查二次函數中系數的運用，以及比較函數值的大小，熟練掌握二次函數的基礎運算是解題的關鍵．20．(1)（元）；(2)；(3)銷售單價定為51元時，利潤最大，最大利潤是418元【分析】（1）將代入一次函數解析式可得銷售量，然后根據每件的利潤乘以數量即為總利潤即可得；（2）根據利潤=銷售數量×每件的利潤可得，把代入整理即可得w