河北省保定市柳河營中學高三數學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知向量＝（

）A、2B、－2C、－3D、3參考答案：2.秦九韶是我國南宋時期的數學家，他在所著的《數書九章》中提出的多項式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進的算法，如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例，若輸入x的值為2，則輸出v的值為（）A．211﹣1 B．211﹣2 C．210﹣1 D．210﹣2參考答案：A【考點】程序框圖．【分析】根據已知中的程序框圖可得，該程序的功能是計算并輸出變量v的值，模擬程序的運行過程，可得答案．【解答】解：輸入的x=2，v=1，k=1，滿足進行循環的條件，v=2+1=3，k=2，滿足進行循環的條件，v=（2+1）×2+1=7，k=3…∴v=211﹣1，故輸出的v值為：211﹣1，故選：A【點評】本題考查的知識點是程序框圖，當程序的運行次數不多或有規律時，可采用模擬運行的辦法解答．3.函數的圖像大致為(

).參考答案：A略4.定義在R上的函數滿足：成立，且上單調遞增，設，則a、b、c的大小關系是（

）

A．

B．

C．

D．

參考答案：A5.將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長倍，縱坐標不變，再將所得圖像向左平移個單位，得到的圖像對應的解析式是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略6.定義在R上的奇函數滿足，當時，，又，則集合等于（

）A.B.C.D.參考答案：C略7.設x，y滿足約束條件若的最大值與最小值的差為7，則實數（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C8.若拋物線的焦點坐標為，則拋物線的標準方程是

（

）．A.

B.

C.

D.參考答案：C略9.已知函數f（x）=6sinωxcosωx﹣8cos2ωx+3（ω＞0），y=f（x）+1的部分圖象如圖所示，且f（x0）=4，則f（x0+1）=（）A．6 B．4 C．﹣4 D．﹣6參考答案：D【考點】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；三角函數中的恒等變換應用．【分析】利用三角函數恒等變換的應用化簡函數解析式可得f（x）=5sin（2ωx﹣φ）﹣1，其中sinφ=，cosφ=，由函數圖象可求周期T，由f（x0）=4，利用正弦函數的對稱性可求sin[2ω（x0+1）﹣φ）=﹣1，利用正弦函數的周期性進而可求f（x0+1）的值．【解答】解：∵f（x）=6sinωxcosωx﹣8cos2ωx+3=3sin2ωx﹣4cos2ωx﹣1=5sin（2ωx﹣φ）﹣1，其中sinφ=，cosφ=，∴設函數f（x）的最小正周期為T，則T=（θ+）﹣θ=，可得：T=2，∵f（x0）=4，可得：sin（2ωx0﹣φ）=1，即f（x）關于x=x0對稱，而x=x0+1與x=x0的距離為半個周期，∴sin[2ω（x0+1）﹣φ）=﹣1，∴f（x0+1）=5sin[2ω（x0+1）﹣φ]﹣1=5×（﹣1）﹣1=﹣6．故選：D．10.已知圓（x－1）2＋（y－3）2＝r2（r>0）的一條切線y＝kx＋與直線x＝5的夾角為，則半徑r的值為

A．

B．

C．

或

D．或參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.

已知，則的值為

。參考答案：12.已知f(x)=過A(1,m)可作曲線的三條切線，則m的取值范圍是

.參考答案：(-3,-2)13.設x、y、z?R+，若xy+yz+zx=1，則x+y+z的取值范圍是__________參考答案：略14.的展開式中各項系數的和為243，則該展開式中常數項為▲參考答案：10略15.為了預防流感，某學校對教室用藥熏消毒法進行消毒.已知藥物釋放過程中，室內每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時間（小時）成正比；藥物釋放完畢后，與的函數關系式為（為常數），如右圖所示，根據圖中提供的信息，回答下列問題：（1）從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時間（小時）之間的函數關系式為

.；（2）據測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到毫克以下時，學生方可進教室，那從藥物釋放開始，至少需要經過

小時后，學生才能回到教室.參考答案：（1）

（2）16.如圖是某幾何體的三視圖（單位：cm），則該幾何體的表面積是

cm2，體積為

cm3．參考答案：14+2，4。考點：由三視圖求面積、體積．專題：計算題；空間位置關系與距離．分析：判斷得出該幾何體是三棱錐，利用題中數據，即可求解幾何體的表面積、體積．解答： 解：根據三視圖得出：該幾何體是三棱錐，AB=2，BC=3，DB=5，CD=4，AB⊥面BCD，BC⊥CD，∴幾何體的表面積是+++=14+2其體積：×S△CBD×AB==4，故答案為：14+2；4．點評：本題考查了三棱錐的三視圖的運用，仔細閱讀數據判斷恢復直觀圖，關鍵是確定幾何體的形狀，屬于中檔題．17.下圖展示了一個由區間到實數集的映射過程：區間中的實數對應數軸上的點,如圖1；將線段圍成一個圓，使兩端點恰好重合。點從點按逆時針方向運動到點，如圖2；再將這個圓放在平面直角坐標系中,使其圓心在軸上,點的坐標為,如圖3.圖3中直線與軸交于,則的象就是，記作。下列說法中正確命題的序號是

.(填出所有正確命題的序號)①;②在定義域上單調遞增;③方程的解是;④是奇函數；⑤的圖象關于點對稱.參考答案：②③⑤本題考查函數的圖像與性質。如圖，因為M在以為圓心，為半徑的圓上運動。①當時，M的坐標為，直線AM方程y=x+1，所以點N的坐標為（-1，0），故f（）=-1，故①錯誤；②由圖3可以看出，m由0增大到1時，M由A運動到B，此時N由x的負半軸向正半軸運動，由此知，N點的橫坐標逐漸變大，故f（x）在定義域上單調遞增，②正確；③由②在定義域上單調遞增可得：當M運動到AB的中點，即有直線AM：x=0，所以方程的解是，③正確；④函數定義在區間（0，1）上，所以函數非奇非偶，④錯誤；⑤由圖3可以看出，當M點的位置離中間位置相等時，N點關于Y軸對稱，即此時函數值互為相反數，故可知f（x）的圖象關于點對稱，⑤正確。綜上知，②③⑤正確。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在直角坐標系xOy中，橢圓C1：+=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F1，F2，且橢圓C1經過點A（1，），同時F2也是拋物線C2：y2=4x的焦點．（Ⅰ）求橢圓C1的方程；（Ⅱ）E，F是橢圓C1上兩個動點，如果直線AE與AF的斜率互為相反數，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質．【分析】（Ⅰ）由題意求得c=1，可得橢圓方程為，將點（1，）代入方程求得a值得答案；（Ⅱ）寫出AE所在直線方程，y=k（x﹣1）+，代入橢圓方程，求出E的坐標，同理求出F的坐標，然后代入斜率公式可得直線EF的斜率為定值，并求得這個定值．【解答】解：（Ⅰ）由題意可知，F2（1，0），則c=1，b2=a2﹣1，橢圓方程為．將點（1，）代入方程可得a2=4，∴橢圓方程為；（Ⅱ）設AE的方程為y=k（x﹣1）+，代入橢圓方程得：（4k2+3）x2﹣（8k2﹣12k）x+（4k2﹣12k﹣3）=0．∵1是方程的一個根，∴，①∵直線AF與AE的斜率互為相反數，∴，②∵，，∴=，將①②代入可得．19.已知橢圓Γ：=1（a＞b＞0）的左頂點為A，右焦點為F2，過點F2作垂直于x軸的直線交該橢圓于M、N兩點，直線AM的斜率為．（1）求橢圓Γ的離心率；（2）若△AMN的外接圓在點M處的切線與橢圓交于另一點D，△F2MD的面積為，求橢圓Γ的標準方程．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質．【分析】（1）由題意M（c，），因為A（﹣a，0），所以，，可得橢圓Γ的離心率（2）由（1）可知，a=2c，由b2=a2﹣c2=4c2﹣c2=3c2，∴橢圓方程為：，M（c，c），A（﹣2c，0），設外接圓的圓心為T（t，0），由丨TA丨=丨TM丨得（t+2c）2=（t﹣c）2+c2，解得t=﹣．求得切線方程，代入橢圓方程，求得丨MD丨，根據點到直線的距離公式及三角形面積公式，代入即可求得c的值，求得橢圓方程．【解答】解：（1）由題意M（c，），因為A（﹣a，0），所以，，e=，∴橢圓Γ的離心率為．（2）由（1）可知，a=2c，由b2=a2﹣c2=4c2﹣c2=3c2，∴橢圓方程為：，M（c，c），A（﹣2c，0），設外接圓的圓心為T（t，0），由丨TA丨=丨TM丨得（t+2c）2=（t﹣c）2+c2，解得t=﹣．kTM=，∴切線斜率k=﹣，∴∴切線方程為3x+4y﹣9c=0，代入橢圓方程消y得7x2﹣18cx+11c2=0，△=182c2﹣4×7×11c2=16c2＞0，xD=，yD=，∴丨MD丨=，F2點到CD的距離d=，由S=丨CD丨?d，得，∴c2=2，∴橢圓方程為【點評】題考查橢圓的標準方程及簡單性質，直線與橢圓的位置關系，點到直線的距離公式及三角形面積公式，考查計算能力，屬于中檔題．20.每年的三月十二日是中國的植樹節．林管部門在植樹前，為保證樹苗的質量，都會在植樹前對樹苗進行檢測．現從甲、乙兩批樹苗中各抽了10株，測得髙度如下莖葉圖，（單位：厘米），規定樹苗髙于132厘米為“良種樹苗”．（I）根據莖葉圖，比較甲、乙兩批樹苗的高度，哪種樹苗長得整齊？（Ⅱ）設抽測的10株甲種樹苗高度平均值為，將這10株樹苗的高度依次輸入如圖程序框圖進行運算，問輸出的S為多少？．（Ⅲ）從抽測的甲乙兩種“良種樹苗”中任取2株，至少1株是甲種樹苗的概率．參考答案：考點：古典概型及其概率計算公式；莖葉圖；程序框圖．專題：概率與統計．分析：（I）由莖葉圖給出的數據計算平均數，根據莖葉圖的形狀分析甲乙兩批樹苗的整齊性；（II）通過閱讀程序框圖，可知程序執行的是求甲組數據的方差，直接代入方差公式計算；（III）求出甲乙兩批樹苗中的良種樹苗，列舉出任取兩株的所有方法數，查出至少1株是甲種樹苗的方法個數，然后直接利用古典概型概率計算公式求解．解答：解：（Ⅰ）由莖葉圖可得甲乙兩組數據分別為：甲：119，120，121，123，125，129，131，132，133，137乙：110，110，114，126，127，130，131，144，146，147平均高度為=127=128.5甲批樹苗的平均高度低于乙批樹苗的平均高度，甲的莖葉圖更集中，且呈單峰出現，所以甲樹苗長得更整齊；（Ⅱ）框圖執行的運算是求甲組數據的方差，結果為+（129﹣127）2+（131﹣127）2+（132﹣127）2+（133﹣127）2+（137﹣127）2]=35．所以輸出的s的值是35；（Ⅲ）甲種樹苗中的良種樹苗有2株，分別記為a，b．乙種樹苗中的良種樹苗有3株，分別記為1，2，3．從抽測的甲乙兩種“良種樹苗”中任取2株的方法種數共有（ab）（a1）（a2）（a3）（b1）（b2）（b3）（12）（13）（23）10種，至少1株是甲種樹苗的方法有（ab）（a1）（a2）（a3）（b1）（b2）（b3）7種，所以至少1株是甲種樹苗的概率為．點評：本題考查了莖葉圖，考查了程序框圖，考查了古典概型及其概率計算公式，是基礎的運算題．21.（本小題滿分13分）在數列{an}中，a1=1，an=n2[1+++…+]（n≥2，n∈N）（1）當n≥2時，求證：=（2）求證：（1+）（1+）