2023屆廣東省汕頭市高三上學期期末數學試題一、單選題1．已知集合，集合，則以下命題為真命題的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】利用集合的關系分析即可.【詳解】由題知，集合，集合，所以是的真子集，所以，或，或，，只有A選項符合要求，故選：A.2．已知復數z滿足，則（

）A． B．1 C． D．5【答案】B【分析】根據復數的除法及模長公式運算求解．【詳解】由題意，所以，故選：B.3．已知甲、乙兩名同學在高三的6次數學測試的成績統計如圖（圖標中心點所對縱坐標代表該次數學測試成績），則下列說法不正確的是（

）A．甲成績的極差小于乙成績的極差B．甲成績的第25百分位數大于乙成績的第75百分位數C．甲成績的平均數大于乙成績的平均數D．甲成績的方差小于乙成績的方差【答案】B【分析】分析圖中數據，結合方差，極差的求法和意義，結合百分位數的求解，得到答案.【詳解】從圖表可以看出甲成績的波動情況小于乙成績的波動情況，則甲成績的方差小于乙成績的方差，且甲成績的極差小于乙成績的極差，AD正確；將甲成績進行排序，又，故從小到大，選擇第二個成績作為甲成績的第25百分位數，估計值為90分，將乙成績進行排序，又，故從小到大，選擇第5個成績成績作為乙成績的第75百分位數，估計值大于90分，從而甲成績的第25百分位數小于乙成績的第75百分位數，B錯誤；甲成績均集中在90分左右，而乙成績大多數集中在60分左右，故C正確.故選：B4．已知等差數列且，則數列的前13項之和為（

）A．24 B．39 C．104 D．52【答案】D【分析】根據等差數列的性質化簡已知條件可得的值，再由等差數列前項和等差數列的性質即可求解.【詳解】由等差數列的性質可得：，，所以由可得：，解得：，所以數列的前13項之和為，故選：D.5．已知某運動員每次射擊擊中目標的概率是，假設每次射擊擊中目標與否互不影響，設為該運動員次射擊練習中擊中目標的次數，且，，則值為（

）A．0.6 B．0.8C．0.9 D．0.92【答案】B【分析】由服從，根據二項分布的均值和方差公式列式求解．【詳解】由題意，所以，解得．故選：B．6．如圖1，水平放置的直三棱柱容器中，，，現往內灌進一些水，水深為2．將容器底面的一邊AB固定于地面上，再將容器傾斜，當傾斜到某一位置時，水面形狀恰好為三角形，如圖2，則容器的高h為（

）A．3 B．4 C． D．6【答案】A【分析】利用兩個圖形裝水的體積相等即可求解.【詳解】在圖1中，在圖2中，，.故選：A.7．的展開式中的系數為（

）A．60 B．24 C． D．【答案】B【分析】首先寫出展開式通項，再考慮通項與相乘得到含的項，即可得系數.【詳解】由的展開式通項為，所以的展開式項為，故系數為.故選：B8．如圖為函數的部分圖象，則（

）A．函數的周期為B．對任意的，都有C．函數在區間上恰好有三個零點D．函數是偶函數【答案】C【分析】A選項，利用函數圖象求出函數解析式，利用正弦函數的周期性得到A錯誤；B選項，計算，B錯誤；C選項，整體法得到，計算出，C正確；D選項，計算出為奇函數，D錯誤.【詳解】從圖象可看出的最小正周期為，因為，所以，解得：，故A錯誤；，代入，，因為，所以，故，，故不滿足對任意的，都有，B錯誤；，則，由可得：，可得：，故函數在區間上恰好有三個零點，C正確；，為奇函數，D錯誤.故選：C二、多選題9．已知同一平面內的兩個向量，，則（

）A．與同向的單位向量是 B．不能作為該平面的基底C．和的夾角是 D．在上的投影向量等于【答案】ACD【分析】A選項，利用進行求解；B選項，求出與不平行，從而B錯誤；C選項，利用向量余弦夾角公式進行求解；D選項，利用求解.【詳解】，，則與同向的單位向量是，A正確；，故與不平行，且為非零向量，故可以作出該平面的基底，B錯誤；，因為，所以，故和的夾角是，C正確；在上的投影向量等于，D正確.故選：ACD10．為了提高學生體育鍛煉的積極性，某中學需要了解性別因素與學生對體育鍛煉的喜好是否有影響，為此對學生是否喜歡體育鍛煉的情況進行普查，得到下表：體育性別合計男性女性喜歡280p280＋p不喜歡q120120＋q合計280＋q120＋p400＋p＋q附：，．0.050.0250.0100.0013.8415.0246.63510.828已知男生喜歡體育鍛煉的人數占男生人數的，女生喜歡體育鍛煉的人數占女生人數的，則下列說法正確的是（

）A．列聯表中q的值為120，p的值為180B．隨機對一名學生進行調查，此學生有90%的可能性喜歡體育鍛煉C．根據小概率值的獨立性檢驗，男女生對體育鍛煉的喜好有差異D．根據小概率值的獨立性檢驗，男女生對體育鍛煉的喜好沒有差異【答案】ACD【分析】根據題意求出q、p，補全列聯表，分析數據，利用卡方計算公式求出，結合獨立性檢驗的思想依次判斷選項即可.【詳解】A：由題意知，男生喜歡該項運動的人數占男生人數的，女生喜歡該項運動的人數占女生人數的，則，，解得，故A正確；B：補全列聯表如下：男性女性合計喜歡280180460不喜歡120120240合計400300700所以隨機抽一名學生進行調查，喜歡該項運動的概率約為，故B錯誤；C：，而，所以根據小概率值的獨立性檢驗，男女生對體育鍛煉的喜好有差異D：由選項C知，根據小概率值的獨立性檢驗，男女生對體育鍛煉的喜好沒有差異.故選：ACD11．在直四棱柱中，，，.（

）A．在棱AB上存在點P，使得平面B．在棱BC上存在點P，使得平面C．若P在棱AB上移動，則D．在棱上存在點P，使得平面【答案】ABC【分析】通過線面平行的判定定理來判斷AB選項的正確性，根據線線垂直、線面垂直的知識來判斷C選項的正確性，利用向量法判斷D選項的正確性.【詳解】A選項，當是的中點時，依題意可知，所以四邊形是平行四邊形，所以，由于平面,平面,所以平面,A選項正確.B選項，設是的中點，是的中點，由上述分析可知平面.由于，平面，平面，所以平面.由于，所以平面平面，所以平面.B選項正確.C選項，根據已知條件可知四邊形是正方形，所以，由于,，，所以平面，所以.由于，所以平面，所以.C選項正確.D選項，建立如圖所示空間直角坐標系，，.設.，此方程組無解，所以在棱上不存在點P，使得平面.D錯誤.故選：ABC12．已知函數，其導函數為，下列說法正確的是（

）A．函數的單調減區間為B．函數的極小值是C．當時，對于任意的，都有D．函數的圖像有條切線方程為【答案】AB【分析】對函數進行求導，對A令即可解決問題；B選項把增減區間求出來后即可得極值；C選項做差法證明即可；D由切線斜率為3出發反向分析即可得答案.【詳解】因為所以，，所以的單調減區間為，故A正確．令，則或所以在，單調遞增在單調遞減所以函數的極小值為，故選項B正確；由，若即矛盾，故選項C錯誤．，解的或，當時切點不在上當時切點不在上，故選項D錯誤，故選：AB．三、填空題13．若等比數列的前項和為，且，，則_____．【答案】511【分析】利用等比數列的性質可得成等比數列，代入數據即可求解.【詳解】因為等比數列中成等比數列，所以成等比數列，所以，即，解得：.故答案為：511【點睛】本題考查等比數列性質的應用，熟練掌握各個性質，可大大簡化計算步驟，節約時間，提高正確率.考查計算化簡的能力，屬基礎題.14．已知長方形ABCD中，AB＝4，BC＝3，則以A、B為焦點，且過C、D的橢圓的離心率為______．【答案】##【分析】利用橢圓定義及簡單幾何性質，明確a與c，即可得到橢圓的離心率.【詳解】由題知，，解得，，由橢圓的定義知：，解得，所以橢圓的離心率．故答案為：．15．寫出符合如下兩個條件的一個函數______．①，②在內單調遞增．【答案】（答案不唯一）【分析】先求出對稱軸，再結合單調性即可．【詳解】函數的圖象關于對稱，又函數在內單調遞增，符合條件的一個函數解析式可以是：（答案不唯一）．故答案為：（答案不唯一）．16．剪紙，又叫刻紙，是一種鏤空藝術，是中華漢族最古老的民間藝術之一．如圖，一圓形紙片直徑，需要剪去四邊形，可以經過對折，沿裁剪，展開就可以得到．已知點在圓上且，．則鏤空四邊形的面積的最小值為______．【答案】【分析】由對稱性可得，所以求面積的最小值即可，設，根據可得，根據的面積公式可得的關系，再根據基本不等式即可求面積的最小值.【詳解】由對稱性可得，所以求面積的最小值即可，如圖所示，設為圓心，連接，作于，由題意，所以，所以，設，由面積公式得，由余弦定理可得，又根據基本不等式可得，即，當且僅當時取等號，所以，所以四邊形的面積的最小值為，故答案為：四、解答題17．已知數列的前n項積為，且，．(1)求證：數列是等差數列；(2)求數列的前n項和．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）利用等差數列的定義即可求解；（2）利用裂項相消法即可求解．【詳解】（1）數列的前n項積為，，，時，，即，解得，即，故數列是以為首項，以2為公差的等差數列．（2）由（1）知，所以，所以，因此，，所以，即化簡得：．18．設銳角三角形ABC的內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知．(1)求證：B＝2A；(2)求的取值范圍．【答案】(1)證明過程見解析.(2)【分析】（1）利用正弦定理及積化和差得到，結合角的范圍，得到；（2）利用正弦定理得到，根據三角形為銳角三角形，得到，，從而求出取值范圍.【詳解】（1），由正弦定理得：，由積化和差公式可得：，因為，所以，因為三角形ABC為銳角三角形，故，所以，故，即；（2）由（1）知：，由正弦定理得：，其中，因為，所以，由得：，由，解得：，結合可得：，，故在上單調遞增，所以，即.19．如圖，在三棱柱中，平面平面，且，，．(1)求平面與平面夾角的余弦值；(2)求三棱柱的高h．【答案】(1)(2)【分析】（1）作出輔助線，由面面垂直得到線面垂直，從而證明出兩兩垂直，建立空間直角坐標系，求出兩平面的法向量，求出夾角的余弦值；（2）在第一問的基礎上，利用點到平面的向量求距離公式進行求解.【詳解】（1）取的中點，連接，在上取點E，使得，連接，因為，所以為等邊三角形，故⊥，因為平面平面，交線為，平面，故⊥平面，因為，，，所以，則為等邊三角形，，因為，所以，在中，由余弦定理得：，故，則，故，則，因為平面平面，交線為，平面，所以DE⊥平面，故兩兩垂直，以為坐標原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，則，設平面的法向量為，則，令，則，故，平面的法向量為，設平面與平面夾角為，則平面與平面夾角的余弦值；（2）點到平面的距離即為三棱柱的高h，由（1）知：平面的法向量為，，故.20．某足球隊為評估球員的場上作用，對球員進行數據分析．球員甲在場上出任邊鋒、前衛、中場三個位置，根據過往多場比賽，其出場率與出場時球隊的勝率如下表所示．場上位置邊鋒前衛中場出場率0.50.30.2球隊勝率0.60.80.7(1)當甲出場比賽時，求球隊輸球的概率；(2)當甲出場比賽時，在球隊獲勝的條件下，求球員甲擔當前衛的概率；(3)如果你是教練員，將如何安排球員甲在場上的位置？請說明安排理由．【答案】(1)0.32(2)(3)邊鋒，理由見解析.【分析】（1）根據條件概率公式分別計算出甲球員在擔任邊鋒、前衛、中場時贏球的概率，最后相加得到甲球員參加比賽時，球隊贏球的概率，再用1去減即可．（2）根據條件概率的計算公式即可求解，（3）由三個位置上的贏球幾率，即可做出判斷.【詳解】（1）設表示“甲球員擔當邊鋒”；表示“甲球員擔當前衛”；表示“甲球員擔當中場”；表示“球隊贏了某場比賽”，則，該球隊某場比賽輸球的概率為，（2）由（1）知：,所以，所以球員甲擔當前衛的概率為（3）同（2）由于，所以應多安排甲球員擔任邊鋒，來增大贏球的幾率.21．已知函數，．(1)討論的單調性；(2)曲線上是否存在不同兩點、，使得直線AB與曲線在點處的切線平行？若存在，求出A、B坐標，若不存在，請說明理由．【答案】(1)答案見解析；(2)不存在，理由見解析.【分析】（1）求定義域，求導，分情況分類討論，得到的單調性；（2）利用直線AB的斜率與曲線在點處的切線斜率相等，列出方程，化簡整理得：，，再證明出，，恒成立，從而說明不存在這樣的不同兩點、.【詳解】（1）定義域為，則，當，即時，，此時在上單調遞增，當時，此時，令得：，令時，故在上單調遞增，在上單調遞減，當時，此時，令得：，令時，，故在上單調遞增，在上單調遞減，當時，，令，解得：，令，解得：，故在上單調遞增，在上單調遞減，當時，，舍去，此時，令，解得：，令，解得：，故在上單調遞增，在上單調遞減，綜上：當時，在上單調遞增，在上單調遞減；當時，在上單調遞增，在上單調遞減；當時，在上單調遞增，在上單調遞減，當時，在上單調遞增.（2），在點處的切線斜率為，因為、為函數曲線上的不同兩點，故，直線AB的斜率為，令，整理得：，接下來證明，，恒成立，不妨設，變形為，即，令，則構造，，則恒成立，故在上單調遞增，則，故，，恒成立，從而不存在不同兩點、，使得直線AB與曲線在點處的切線平行.【點睛】對數平均不等式為，在處理函數極值點偏移問題上經常用到，可先證明，再利用對數平均不等式解決相關問題，證明的方法是結合，換元后將二元問題一元化，利用導函數