重點、難點做了不同顏色及字體的標注，以便復習時可以快速投入、高效提升。學、最高效、最自由的學臺：把青春托付給值得信任的平臺祝：復習愉快，天天高效，考研成功PS:講義中的不足之處，歡迎各位研研批評指正，竭盡所能追求更好TOC\o"1-2"\h\z\u第一章函數極限與連 題型二七種未定型極限的求 題型三間斷點的判 第二章一元函數微分 題型一導數與微分的概 題型二求導計 題型三導數的應用—單調區間與極 題型四導數的應用—凹凸區間與拐 題型五導數的應用—求函數曲線的漸進 題型六導數的應用—方程的根問 題型七微分中值定理的綜合應 第三章一元函數積分 題型一原函數與不定積分的概 題型二不定積分與定積分的計 題型三變限積 題型四定積分證明及應 題型五反常積 第四章多元函數微分 題型一基本概念 題型二多元復合函數的偏導數和全微 題型三求隱函數的偏導數和全微 題型四多元函數的極值與最 第五章重積 題型二重積分的計 題型一數列極限的概念及證充分條件但非必要條必要條件但非充分條充分必要條既非充分條件又非必要條【答案】分析：考查數列極限的概2.xnyn滿足limxnyn0，則下列斷言正確的是nxn發散yn必發若xn，則ynxn有界，則yn必為無窮1若

為無窮小，則yn必為無窮小【答案】limn0,limbn,則必有分析：考查數列發散、、有界、無limn0,limbn,則必有極限limacnn極限limbcnn【答案】 limana0,limbnlimanbn.”這是一個常用的結論. 4.an0n12,sna1a2an則數列sn有界是數列an收斂 A.B.C.必要非充分條件D.【答案】5f(x)在(內單調有界，{xn若{xn}收斂，則{f(xn)}收斂（B）若{xn}單調，則{f(xn)}有若{f(xn)}收斂，則{xn收斂（D）若{f(xn)}單調，則{xn}單【答案考查數列的單調有界準例6.設0x13,xn1 xn(3xn)(n1,2,)證明數列xn的極限存在，并求此極限分析：考查數列的“單調有界準則”求極限的方法。這種用遞推關系定義的數列極限問題，一般是先利用單調有界準則證明極限存在，然后等式兩邊取極限解代數方程求出極限值。7.設函數f(x)lnx1x求f(x{x{x lnx 設列 滿

nnn【答案

，證明

nf(1)1

n,一個實根

1 11limxn 題型二七種未定型極限的求法例1.當x0時， 等價的無窮小量x 1ex (B)ln1x

(D)1 1【答案1【分析】利用已知無窮小量的等價代換，盡量將四個選項先轉化為其等價無窮小量，再【評注

1xx

的等價無窮小有些，但由于另三個的等價無窮很容易得到，因此通過排除法可得到答案arctanxsin例2. 1【答案】應填 6分析：考查求極限的方法：泰勒1cosxxln(1tan例3.求極限 sin41【答案4分析：考查利用等價無窮小代換和洛必達法則求極

F(x)

xln(1t20 ，設limF(xlimF(x)0，試a的取值范圍【答案】1a5.求極限lim12cosx)x

6

x0 【答案】考查利用等價無窮小代換求ln(1 例6.求極限lim( )ex1 分析：此極限是 ”型，用取對數的方【答案】e例7.極限

)xx(xa)(x1（B）e（C）eab（D）【答案】應選【分析】本題考查利用重要極限求極限的方法，是一道基本題exe2xenxlim( )例8.求極限 ，其中n為給定的自然【答案】e例9.計算

ex2e22cos1【答案題型三間斷點的判x2x21 例x2x21 【答案】應選【分析】本題考查函數間斷點的概念和分類，分別求函數在間斷點的極限即 例2.求極限lim( )sintsinx.記此極限為f(x)，求函數f(x)的間斷點并類型txsinxf(xesinxx0f(x)xk(k12,f(x)的第二類間1分析：考查基本極限lim(1xxe第二章題型一導數與n1x1（2005，4分）n1x 處處可導

，則f(x)在(,)內【 恰有兩個不可導點 至少有三個不可導點【答案】應選【分析】本題為簡單綜合題，主要極限運算、函數在一點可導的概念、導數與左右導數的關系等知識點。2（2006,4分）yf(xfx0,f(x0x 0dyy 0ydy ydy0 dyy0【答案】應選【分析】本題考查增量與微分的大小關系以及他們的正負號，由于本題為選擇題，可以舉例排除其中三項；另外，題設條件有明顯的幾何意義，用圖示法求解也可以；也可用多種論證法分析，所以本題是一道一題多解的題目。3f(xy在（0，0）處連續，那么下列命題正確的是（若

f(x,y)xf(xyf(x,y)xx f(x,x若f(x,y)在（0，0）處可微，則極限xfx,y在（0，0）處可微，則極限

f(x, 2x【答案】應選

f(x,y滿足

f(x,y)2xyxx2(y

0，則 題型二求導計算1（2002,3分）yy(x由方程ey6xyx210y(0)【答案】應填-2【分析】隱函數求兩次導，屬于基本題目例2設函數yf(x)由方程yxex(1y)確定，則limn(f(1)1) 【答案】應填

【評注】1、一般導函數的計算有：初等函數求導；隱函數求導；參數方程求導；反函數求2、隱函數求導方法是兩邊對自變量求導即可，注意將因變量和因變量的各階導數看做自變量的

x3、參數方程求二階導 為：設yy(t)，dyy(t) d2yy(t)x(t)x(t)4、反函數求二階導數：設y

fxdx

x3d2 f f(x) n階導數。其中，最后一種解法考生應該掌握。3ylnxxy1垂直的切線方程為yx【分析】基本題，導數的幾何意義及兩直線垂直的有關知識例4曲線sin(xy)ln(yx)x在點(0,1)的切線方程 yx 5設y

tln(1u2 t0 【答案】應填例6設函數f(x)(ex1)(e2x2)(enxn)，其中n為正整數，則f(0) （A）(1)n1(n （B）(1)n(n （C）(1)n1 （D）(1)n【答案】應選lnx,x 7f(x

x

，y

ff(x

dx1【答案e【分析】本題可視為復合函數求題型三導數的應用—單調區間與極1（2001,3分）fxyf(xyfx的圖形為【 【答案】應選2fx在(fx有【一個極小值點和兩個極大值點兩個極小值點和一個極大值點兩個極小值點和兩個極大值三個極小值點和一個極大值【答案】應選【評注】選項均為極值點的個數，而可能的極值點應是導數為 的點或者導數不存在的點例3設函數f(x)連續，且f(0)0,則存在0，使得【 f(x)在（0，)內單調增加 （B）f(x)在(,0)內單調減少 對任意的x(0,)有f(x)f(0) (D)對任意的x(,0)有f(x)f【答案】應選【分析】本題主要函數的概念、函數單調性的概念以及極限的保號性質【評注】函數在一點的導數大于零，一般不能推導出單調性

4f(x1

dt的單調區間與極值【答案 1 1f(x)的單調增加區間為(1,0),(1,)，單調減少區間為(,1),(0,1)，f(x)的極小值為f(1)0，極大值為f(0)0te 1 1 2 e 5.f(xy

x22

的極值【答案fx,y在（1，0）取得極大值，極大值為e2fx,y在（-1，0）取得極小值，極小值為e26.yf(xy3xy2x2y60yf(x題型四導數的應用—凹凸區間與拐例1.（1）曲線y(x1)(x2)2(x3)3(x4)4的一個拐點是 （A）(1, （B）(2, （C）(3, （D）(4,【答案】應選【分析】由拐點的充分條件可知(x0f(x0為曲線拐點的充分條件：若yf(x)xx0處滿足f(x00,f(x00則(x0f(x0yf(x題型五導數的應用—求函數曲線的漸1y

x2x1

的斜漸近線方程為1【答案】應填y x 【分析 本題屬基本題型，直接用斜漸近線方程進行計算即可2y1ln(1ex，漸近線的條數為【x (B) (C) (D)【答案【分析 先找出無定義點，確定其是否為對應垂直漸近線；再考慮水平或斜漸近線）A.yxsinC.yxsinB.yx2sinD.yx2sinxx）A.yxsinC.yxsinB.yx2sinD.yx2sinxx【答案】4f(xg(xf(0)(1xf(1)x，則在[0,1區間上（A）f(x0f(xf(x0f(xf(x0f(xf(x0f(x【答案】題型六導數的應用—方程的根問1已知函f(x)在[0，1]上連續，在(0,1)內可導f(0)=0,f(1)=1.證明（II）存在兩個不同的點,(0,1)，使得f()f()f(b)=g(b),證明：存在abf(g【】需要證明的結論與導數有關，自然聯想到用微分中值定理，事實上，若令F(xfxgxF()0,F(x用羅爾定理，關鍵是找到F(x)的端點函數值相等的區間(特別是兩個一階導數同時為零的點)，而利用F(a)=F(b)=0,若能再找一點c(ab)，使得F(c)0，則在區間[ac],[cb]上兩次利用羅爾定理有一階導函數相等的兩點，再對F(x)用羅爾定理即可。【評注】1、有關中值定理的證明問題是出題的一個熱點，將中值定理和介值定理或幾分中值定理結合命題是比較常見題形式。2、在用羅爾定理時，關鍵是找出輔助函數，一般常見思路是積分法，即根據要證明的結論，先3abf(a),f(b時，經常可考慮直接用拉格朗日中值定理5、題設中含有二階或者二階以上導數時，應注意考慮用泰勒進行分析討論例3設函數f(x) ln(2t)dt，則f(x)的零點個數為 0(A) (B) (C) (D)【答案】應選3例4證明4arctanxx 0恰有兩個實根33題型七微分中值1yf(x在(1,1)fx0立（2）lim(x1 【分析】（1）存在性的證明可用拉格朗日中值定理證明，唯一性的證明一般考慮用單調性

fx是嚴格單調的；（2）關鍵是如何“湊”出lim(x)來一種考慮是由

f((x)x)f

(x)f(0)lim(x達 yf(x在(1,1fx用例2設函數yf(x)在(0,)內有界且可導，則

f(x)0f(x

f(x)f(x)

f(x0f(x

f(x)f(x)【答案】應選例3（Ⅰ）證明拉格朗日中值定理：若函數fx在a,b上連續，在(a,b)可導，則存a,b，使得fbfafb證明：若函數fxx0處連續，在0,0內可導，且x

fxA則f0存在，且f0A4fx在【-1,12fx=1（存在0,1f'()1（Ⅱ）存在1,1，使得f''(f'(第三章題型一原函數與1f(exxexf(1)0fx【分析】基本題，復合函數求導法、求簡單函數的原函數以及求函數表達式的基本運算等。fx1ln22Fxfx的一個原函數，MN表示“MN”，則必有【】 F(x)是偶函數 f(x)是奇函數F(x)是奇函數 f(x)是偶函數

Fx)是周期函數F(x)是單調函數

fx是周期函數fx是單調函數【分析 本題可直接推證，但最簡便的方法還是通過反例用排除法找到答案【評注】注意下面結fx為(1fx是奇函數fx)的任意原函數Fx為偶函數1x2f(x)是偶函數f(x)的原函數中只有一個為奇函數， f(t)dt203fx)的任意原函數為周期函數fx3Tfx為以T0

f(x)dx0f(x的任意原函數是以T4函數的單調性與其原函數的單調性之間沒有邏輯上的因果關系4題型二不定積分1求

e2 dx【分析】被積函數中為反三角函數與指數函數乘積，因此采用分部積分法1(e2xarctanexexarctanexC2【評注】①對于不定積分的計算，應熟練掌握基本積分方法，如換元積分法，分部積分法，在形式上不一致，結果是否正確只需對其求導后看是否等于被積函數即可。②分段函數求不定積分需注意，按分段分別求不定積分，并利用原函數在分段點的連續性，將各個分段上的任意常數統一成一個任意常數。2Cyf(x，點(3,2)是它的一個拐點，直線l1與l2在點(0,0)與(3,2)處的切線，其交點為(2,4).設函數fx)3(x2x)f0【答案】213

exdx 【答案

1e212【分析】先作變量代換，再分部積分【評注】①定積分的計算與不定積分計算相似，應掌握幾種常用的基本積分②盡量利用定積分的幾何意義、被積函數的奇偶性、周期性等進行化簡，從而簡化計算 f(x)f奇偶性 lf(x)dx0[f(x)f(x)]dx2lf(x)dx,f(x)f f(xf(xT) f(x)dxaf(x)dx0f(x)dx f(x)dx0f(x)d f(x)dx

f(x)d f(x)dxn0f04

x xdx0【答案】應填【分析】本題考查定積分的換元積分和分部積分法，屬基本運算題。例5 比較1lnt[ln(1t)]ndt與1lnttndtn1,2, 設un1lnt[ln(1tndt(n1,2,，求極限lim n【分析】本題為一道綜合題，定積分的性質和極限求值的定理【答案】（Ⅰ）1lnt【答案】（Ⅰ）1lnt[ln(1t)]ndt1lnt（II）limunIkI例6設k0esinxdx，k1,2,3，則有 （A）I1I2 （B）I3I2 （C）I2I3 （D）I2I1【答案】應選27.02【答案

2xx2dx 28計算1f(xdxf(x)xln(t1) 題型三變限積分2并求極限limnf()

f(xyarctanxet2dt在點(0,00 義計算2yxlimnf() x【評注】變限積分是指變上（下的問題，變限積分函數都可以涉及，如求極限、求導數、討論連續性、可導性、單調性、求極值或最值等，關于變限積分，應注意以下常用結論。x①連續性：fx在區間[ab上可積，則積分上限函數(xaf(t)dt在[a上連續x②可導性fx在區間[ab上連續，則積分上限函數(xaf(t)dt在[ax 上具有導數，并且它的導數是x)dx③推廣

f(t)dtf(

(x)f(t)dtf((x))(x)f

例2如圖，連續函數y=f(x)在區間[?3，?2]，[2，3]上的圖形分別是直徑為1的上、下半x周，在區間[?2，0]，[0，2]的圖形分別是直徑為2的下、上半圓周，設F(x)0f(t)dt.則 x

F(3)3F(2) 4F(3)3F(2) 4

F(3)5F(2)4F(3)5F(2)4【答案【分析 本題考查定積分的幾何意義，以及奇、偶函數表示的變限積分函數的奇偶性3設函yfx在區間13上的圖形為ff--3x則函數Fxxftdt的圖形為 -3x1-3xA - B -C【答案】

2F(2F(1有 0g(x)f(x)dx0f(x)g(x)dxf【分析】可用參數變易法轉化為函數不等式證明，或根據被積函數的形式，通過分題型四定積分1fx xf(t)dt可導，且F(x)f(x)0

xf(t)dtx2f(t)dt00以2為周期的周期函數【評注】定積分的證明是一個難點，主要包括以下幾類問題1 定積分等式的證明。一般的思路有，換元積分法、分布積分法、參數變量法，其中參 變量法是將af(x)dx化為變限積分af(t)dt2定積分中值定理命題的證明。一般利用連續函數的介值定理、微分中值定理、積分中值定3、定積分不等式的證明。一般有三種方法1利用被積函數的單調性、定積分的保序性和估值定理證明12將定積分的上（下）限改為變量，從而將定積分不等式化為函數不等式，再用微分學2法證明33)2yxtantdt(0xs) 【答案】應填 【分析】考查平面曲線的弧長、變上限積分函數的導數和簡單定積分計算3D

x1xa(a0)x軸所圍成的平面圖形，v

Dx軸，y軸旋轉一周所得旋轉體的體積，若vy10vxa的值【答案】a 【分析】考查應用定積分求旋轉體體積的計算方法。 4L的極坐標方程為rcos

6面積【答案【分析】考查在極坐標系下計算平面圖形面積的方法，是一道基本題5yx2y22yy12x2y21(y12容器的容積 若將容器內盛滿的水從容器頂部全部抽出，至少需要做多少功？（長度單位：m，重力加速度為gms2，水的密度為0gm3 【答案（Ⅰ） 【分析】考查定積分的應用：一是求旋轉體的體積，求容積時利用對稱性可以減少計算量二是求變力做功，其關鍵是分段寫出功的微元與直線AB及x軸圍成，求區域D的面積及Dx軸旋轉一周所得旋轉體的體積3題型五反常積分 1x22x3【答案】8

dx 【分析】本題是一道基礎題，主要考查無窮區間上反常積分的計算及換元積 x 2f(x

x0,0則xf(x)dx1【答案】【分析】主要考查反常積分的計算及分部積分法 ,1x(x例3設函數f(x) ，若反常積

f(x)dx收斂，則

x （A） （B） （C）2 （D）0【分析】考查反常積分收斂性的判定 例4 xln2【答案】應填【分析】基本第四章題型一基本概念題1f(xy)4①f(x,y)在點(x0,y0)處連續 f(xy在點(x0y0

f(xy在點(x0y0f(xy在點(x0y0若用“PQ”表示可由性質P推出Q，則有 【答案 應選題型二多元復合函數的偏導數和全微1.設函數f(xy)可微，且對任意xy都有fxy)0

f(x,

0f(x1y1f(x2y2成立的一個充分條件是）（A）x1x2,y1（B）x1x2,y1（C）x1x2,y1【答案】選（D）x1x2,y1設函數

zxz【分析】此題主要考查多元復合函數求偏導【答案】

1y

1 zfexcos 2z2z 例3.設函數f(u)具有2階連續導數 f(0)0f(0)0f(uf(u)1u(e2u4

滿 excosy)e2x 例4.設函

f(x,

具有二階連續偏導數，且滿足等式

12

0xay,x 確定a，b的值，使等式在變

下化簡

【分析】利用復合函數的鏈式求導法則變形原式即可【答案a a 2或 b

題型三求隱函數的偏導例1.設有三元方程xy-zlnyexz1，根據隱函數存在定理，存在點0,1,1的一個鄰域， 只能確定一個具有連續偏導數的隱函數zzx,yxxyxzzx,y可確定兩個具有連續偏導數的隱函yyxzzzx,yxxy,x yyx,z可確定兩個具有連續偏導數的隱函 【答案】應選F(xyz)xyzlnyexz1FzFxFy，再考慮在點(0,1,10， xx xxyy （C）- （D）-【答案】應選題型四多元函數的極值與最值x例1已知函數fx,y在點00的某個鄰域x

fx,yxy1 x2y2點00fx,y的極值點點00fx,y的極大值點點00fx,y的極小值點根據所給條件無法判斷點00是否為fx,y的極值點【答案】應選一定難度.將極限表示式轉化為極限值加無窮小量，是有關極限分析過程中常用的思想。2zzxyx26