浙江省衢州一中2025年第五高考測評活動高三元月調考數學試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設命題函數在上遞增，命題在中，，下列為真命題的是（）A． B． C． D．2．已知等差數列的前項和為，若，則等差數列公差（）A．2 B． C．3 D．43．已知平面平面，且是正方形，在正方形內部有一點，滿足與平面所成的角相等，則點的軌跡長度為（）A． B．16 C． D．4．甲、乙、丙、丁四人通過抓鬮的方式選出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完鬮后，甲說：“我沒抓到.”乙說：“丙抓到了.”丙說：“丁抓到了”丁說：“我沒抓到."已知他們四人中只有一人說了真話，根據他們的說法，可以斷定值班的人是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁5．已知關于的方程在區間上有兩個根，，且，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．6．函數f(x)＝的圖象大致為()A． B．C． D．7．過直線上一點作圓的兩條切線，，，為切點，當直線，關于直線對稱時，（）A． B． C． D．8．若干年前，某教師剛退休的月退休金為6000元，月退休金各種用途占比統計圖如下面的條形圖.該教師退休后加強了體育鍛煉，目前月退休金的各種用途占比統計圖如下面的折線圖.已知目前的月就醫費比剛退休時少100元，則目前該教師的月退休金為（）.A．6500元 B．7000元 C．7500元 D．8000元9．已知底面是等腰直角三角形的三棱錐P-ABC的三視圖如圖所示，俯視圖中的兩個小三角形全等，則（）A．PA，PB，PC兩兩垂直 B．三棱錐P-ABC的體積為C． D．三棱錐P-ABC的側面積為10．若，滿足約束條件，則的取值范圍為（）A． B． C． D．11．△ABC中，AB＝3，，AC＝4，則△ABC的面積是（）A． B． C．3 D．12．函數滿足對任意都有成立，且函數的圖象關于點對稱，，則的值為（）A．0 B．2 C．4 D．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．能說明“若對于任意的都成立，則在上是減函數”為假命題的一個函數是________.14．在△ABC中，∠BAC＝，AD為∠BAC的角平分線，且，若AB＝2，則BC＝_______.15．已知為等比數列，是它的前項和.若，且與的等差中項為，則__________.16．某高校組織學生辯論賽，六位評委為選手成績打出分數的莖葉圖如圖所示，若去掉一個最高分，去掉一個最低分，則所剩數據的平均數與中位數的差為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知，分別是正方形邊，的中點，與交于點，，都垂直于平面，且，，是線段上一動點.（1）當平面，求的值；（2）當是中點時，求四面體的體積.18．（12分）已知橢圓的左、右頂點分別為、，上、下頂點分別為，，為其右焦點，，且該橢圓的離心率為；（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）過點作斜率為的直線交橢圓于軸上方的點，交直線于點，直線與橢圓的另一個交點為，直線與直線交于點．若，求取值范圍．19．（12分）橢圓：（）的離心率為，它的四個頂點構成的四邊形面積為.（1）求橢圓的方程；（2）設是直線上任意一點，過點作圓的兩條切線，切點分別為，，求證：直線恒過一個定點.20．（12分）在中，角，，的對邊分別為，，，已知．（1）若，，成等差數列，求的值；（2）是否存在滿足為直角？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．21．（12分）已知三棱錐中側面與底面都是邊長為2的等邊三角形，且面面，分別為線段的中點.為線段上的點，且.（1）證明：為線段的中點；（2）求二面角的余弦值.22．（10分）對于很多人來說，提前消費的認識首先是源于信用卡，在那個工資不高的年代，信用卡絕對是神器，稍微大件的東西都是可以選擇用信用卡來買，甚至于分期買，然后慢慢還！現在銀行貸款也是很風靡的，從房貸到車貸到一般的現金貸．信用卡“忽如一夜春風來”，遍布了各大小城市的大街小巷．為了解信用卡在市的使用情況，某調查機構借助網絡進行了問卷調查，并從參與調查的網友中隨機抽取了100人進行抽樣分析，得到如下列聯表（單位：人）經常使用信用卡偶爾或不用信用卡合計40歲及以下15355040歲以上203050合計3565100（1）根據以上數據，能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為市使用信用卡情況與年齡有關？（2）①現從所抽取的40歲及以下的網民中，按“經常使用”與“偶爾或不用”這兩種類型進行分層抽樣抽取10人，然后，再從這10人中隨機選出4人贈送積分，求選出的4人中至少有3人偶爾或不用信用卡的概率；②將頻率視為概率，從市所有參與調查的40歲以上的網民中隨機抽取3人贈送禮品，記其中經常使用信用卡的人數為，求隨機變量的分布列、數學期望和方差．參考公式：，其中．參考數據：0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

命題：函數在上單調遞減，即可判斷出真假．命題：在中，利用余弦函數單調性判斷出真假．【詳解】解：命題：函數，所以，當時，，即函數在上單調遞減，因此是假命題．命題：在中，在上單調遞減，所以，是真命題．則下列命題為真命題的是．故選：C．本題考查了函數的單調性、正弦定理、三角形邊角大小關系、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．2．C【解析】

根據等差數列的求和公式即可得出．【詳解】∵a1=12，S5=90，∴5×12+d=90，解得d=1．故選C．本題主要考查了等差數列的求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．3．C【解析】

根據與平面所成的角相等，判斷出，建立平面直角坐標系，求得點的軌跡方程，由此求得點的軌跡長度.【詳解】由于平面平面，且交線為，，所以平面，平面.所以和分別是直線與平面所成的角，所以，所以，即，所以.以為原點建立平面直角坐標系如下圖所示，則，，設（點在第一象限內），由得，即，化簡得，由于點在第一象限內，所以點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓在第一象限的部分.令代入原的方程，解得，故，由于，所以，所以點的軌跡長度為.故選：C本小題主要考查線面角的概念和運用，考查動點軌跡方程的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查數形結合的數學思想方法，屬于難題.4．A【解析】

可采用假設法進行討論推理，即可得到結論.【詳解】由題意，假設甲：我沒有抓到是真的，乙：丙抓到了，則丙：丁抓到了是假的，丁：我沒有抓到就是真的，與他們四人中只有一個人抓到是矛盾的；假設甲：我沒有抓到是假的，那么丁：我沒有抓到就是真的，乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，所以可以斷定值班人是甲.故選：A.本題主要考查了合情推理及其應用，其中解答中合理采用假設法進行討論推理是解答的關鍵，著重考查了推理與分析判斷能力，屬于基礎題.5．C【解析】

先利用三角恒等變換將題中的方程化簡，構造新的函數，將方程的解的問題轉化為函數圖象的交點問題，畫出函數圖象，再結合，解得的取值范圍.【詳解】由題化簡得，，作出的圖象，又由易知．故選：C.本題考查了三角恒等變換，方程的根的問題，利用數形結合法，求得范圍.屬于中檔題.6．D【解析】

根據函數為非偶函數可排除兩個選項，再根據特殊值可區分剩余兩個選項.【詳解】因為f(－x)＝≠f(x)知f(x)的圖象不關于y軸對稱，排除選項B，C.又f(2)＝＝－<0.排除A，故選D.本題主要考查了函數圖象的對稱性及特值法區分函數圖象，屬于中檔題.7．C【解析】

判斷圓心與直線的關系，確定直線，關于直線對稱的充要條件是與直線垂直，從而等于到直線的距離，由切線性質求出，得，從而得．【詳解】如圖，設圓的圓心為，半徑為，點不在直線上，要滿足直線，關于直線對稱，則必垂直于直線，∴，設，則，，∴,．故選：C．本題考查直線與圓的位置關系，考查直線的對稱性，解題關鍵是由圓的兩條切線關于直線對稱，得出與直線垂直，從而得就是圓心到直線的距離，這樣在直角三角形中可求得角．8．D【解析】

設目前該教師的退休金為x元，利用條形圖和折線圖列出方程，求出結果即可．【詳解】設目前該教師的退休金為x元，則由題意得：6000×15%﹣x×10%＝1．解得x＝2．故選D．本題考查由條形圖和折線圖等基礎知識解決實際問題，屬于基礎題．9．C【解析】

根據三視圖，可得三棱錐P-ABC的直觀圖，然后再計算可得.【詳解】解：根據三視圖，可得三棱錐P-ABC的直觀圖如圖所示，其中D為AB的中點，底面ABC.所以三棱錐P-ABC的體積為，，，，，、不可能垂直，即不可能兩兩垂直，，.三棱錐P-ABC的側面積為.故正確的為C.故選：C.本題考查三視圖還原直觀圖，以及三棱錐的表面積、體積的計算問題，屬于中檔題.10．B【解析】

根據約束條件作出可行域，找到使直線的截距取最值得點，相應坐標代入即可求得取值范圍.【詳解】畫出可行域，如圖所示：由圖可知，當直線經過點時，取得最小值－5；經過點時，取得最大值5，故.故選：B本題考查根據線性規劃求范圍，屬于基礎題.11．A【解析】

由余弦定理求出角，再由三角形面積公式計算即可.【詳解】由余弦定理得：，又，所以得，故△ABC的面積.故選：A本題主要考查了余弦定理的應用，三角形的面積公式，考查了學生的運算求解能力.12．C【解析】

根據函數的圖象關于點對稱可得為奇函數，結合可得是周期為4的周期函數，利用及可得所求的值.【詳解】因為函數的圖象關于點對稱，所以的圖象關于原點對稱，所以為上的奇函數.由可得，故，故是周期為4的周期函數.因為，所以.因為，故，所以.故選：C.本題考查函數的奇偶性和周期性，一般地，如果上的函數滿足，那么是周期為的周期函數，本題屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．答案不唯一，如【解析】

根據對基本函數的理解可得到滿足條件的函數.【詳解】由題意，不妨設，則在都成立，但是在是單調遞增的，在是單調遞減的，說明原命題是假命題.所以本題答案為，答案不唯一，符合條件即可.本題考查對基本初等函數的圖像和性質的理解，關鍵是假設出一個在上不是單調遞減的函數，再檢驗是否滿足命題中的條件，屬基礎題.14．【解析】

由，求出長度關系，利用角平分線以及面積關系，求出邊，再由余弦定理，即可求解.【詳解】,，，，.故答案為:.本題考查共線向量的應用、面積公式、余弦定理解三角形，考查計算求解能力，屬于中檔題.15．【解析】

設等比數列的公比為，根據題意求出和的值，進而可求得和的值，利用等比數列求和公式可求得的值.【詳解】由等比數列的性質可得，，由于與的等差中項為，則，則，，，，，因此，.故答案為：.本題考查等比數列求和，解答的關鍵就是等比數列的公比，考查計算能力，屬于基礎題.16．【解析】

先根據莖葉圖求出平均數和中位數，然后可得結果.【詳解】剩下的四個數為83，85，87，95，且這四個數的平均數，這四個數的中位數為，則所剩數據的平均數與中位數的差為.本題主要考查莖葉圖的識別和統計量的計算，側重考查數據分析和數學運算的核心素養.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）.（2）【解析】

（1）利用線面垂直的性質得出，進而得出，利用相似三角形的性質，得出，從而得出的值；（2）利用線面垂直的判定定理得出平面，進而得出四面體的體積，計算出，，即可得出四面體的體積.【詳解】（1）因為平面，平面，所以又因為，都垂直于平面，所以又，分別是正方形邊，的中點，且，所以.（2）因為，分別是正方形邊，的中點，所以又因為，都垂直于平面，平面，所以因為平面，所以平面所以，四面體的體積，所以.本題主要考查了線面垂直的性質定理的應用，以及求棱錐的體積，屬于中檔題.18．（Ⅰ）；（Ⅱ），．【解析】

（Ⅰ）由題意可得，的坐標，結合橢圓離心率，及隱含條件列式求得，的值，則橢圓方程可求；（Ⅱ）設直線，求得的坐標，再設直線，求出點的坐標，寫出的方程，聯立與，可求出的坐標，由，可得關于的函數式，由單調性可得取值范圍．【詳解】（Ⅰ），，，，，由，得，又，，解得：，，．橢圓的標準方程為；（Ⅱ）設直線，則與直線的交點，又，設直線，聯立，消可得．解得，，聯立，得，，直線，聯立，解得，，，，，，，，函數在上單調遞增，，．本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關系的應用，考查運算求解能力，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理計算能力．19．（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1）根據橢圓的基本性質列出方程組，即可得出橢圓方程；（2）設點，，，由，，結合斜率公式化簡得出，，即，滿足，由的任意性，得出直線恒過一個定點.【詳解】（1）依題意得，解得即橢圓：；（2）設點，，其中，由，得，即，注意到，于是，因此，滿足由的任意性知，，，即直線恒過一個定點.本題主要考查了求橢圓的方程，直線過定點問題，屬于中檔題.20．見解析【解析】

（1）因為，，成等差數列，所以，由余弦定理可得，因為，所以，即，所以．（2）若B為直角，則，，由及正弦定理可得，所以，即，上式兩邊同時平方，可得，所以（*）．又，所以，，所以，與（*）矛盾，所以不存在滿足為直角．21．（1）見解析；（2）【解析】

（1）設為中點，連結，先證明，可證得，假設不為線段的中點，可得平面，這與矛盾，即得證；（2）以為原點，以分別為軸建立空間直角坐標系，分別求解平面，平面的法向量的法向量，利用二面角的向量公式，即得解.【詳解】（1）設為中點，連結.∴，，又平面，平面，∴.又分別為中點，，又，∴.假設不為線段的中點