廣西壯族自治區(qū)貴港市桂平第一中學2021年高三數(shù)學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)若是與的等比中項，則的最小值是（

）A．4

B．6

C．8

D．9參考答案：D略2.若滿足，滿足，則等于（

）A．

B．3

C．

D．4參考答案：C

3.設(shè)，則有A.

B.

C.

D.參考答案：C略4.若a>0,b>0,且函數(shù)在x=1處有極值，則ab的最大值（）A.2

B.3

C.6

D.9參考答案：D略5.已知復數(shù)z滿足（為虛數(shù)單位），則z在復平面內(nèi)對應的點位于A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：A6.函數(shù)的定義域為，，對任意，，則的解集為(

) A.（，1） B.（，+） C.（，） D.（，+）參考答案：B7.復數(shù)是虛數(shù)單位的實部是A．

B．

C．

D．

參考答案：答案：A8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸入θ=，n=1，輸出的結(jié)果是（）A．90 B．91 C．180 D．270參考答案：B【考點】EF：程序框圖．【分析】分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是求a=cosnθ＜0時n的值，輸出即可．【解答】解：a=cos，n=2，a=cos，n=3，a=cos，n=4，…，a=cos=0，n=91，a=cos＜0，輸出n=91，故選：B．【點評】根據(jù)流程圖（或偽代碼）寫程序的運行結(jié)果，是算法這一模塊最重要的題型，其處理方法是：：①分析流程圖（或偽代碼），從流程圖（或偽代碼）中既要分析出計算的類型，又要分析出參與計算的數(shù)據(jù)（如果參與運算的數(shù)據(jù)比較多，也可使用表格對數(shù)據(jù)進行分析管理）?②建立數(shù)學模型，根據(jù)第一步分析的結(jié)果，選擇恰當?shù)臄?shù)學模型③解模．9.過點（4，4）引圓（x﹣1）2+（y﹣3）2=4的切線，則切線長是（）A．2B．C．D．參考答案：C略10.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，在同一個坐標系中，及的部分圖象如圖所示，則（

）A.當時，取得最大值 B.當時，取得最大值C.當時，取得最小值 D.當時，取得最小值參考答案：【分析】本題是綜合考察等差數(shù)列及其前項和性質(zhì)的問題，其中對邏輯推理的要求很高。首先，考生需要對于圖象中三個點具體表示的含義有做出具體詳盡的分析，三個點的含義是處理這個問題的前提和基礎(chǔ)，要分析清楚含義，考生要有有條理清晰的分析能力及較好的數(shù)列基礎(chǔ)。當分析出三個點的含義之后，對于前項和的最值問題也存在兩種做法，第一種可以直接利用題目中點的坐標完成數(shù)列通項公式的求解，第二種方法就是直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)進行處理。本題的難度較高，對學生的數(shù)學思維能力提出了挑戰(zhàn)，十分符合北京高考的命題思路和方向，熟悉的知識點，但是給出了不同于以往的題目特征。【解】A.首先分析圖象中三個點各自的含義，若橫坐標為的點表示，那么的情況分為兩種：（1），在這種情況下，根據(jù)圖象可知，必然小于，但我們可以根據(jù)圖象發(fā)現(xiàn)，，，等差數(shù)列為單調(diào)遞減的，說明數(shù)列從第一項至第七項應該都是大于的，那么前7項和，與圖象給出的信息矛盾，故不成立；（2），在這種情況下，根據(jù)圖象可以推理出前7項和，但是，，說明數(shù)列單調(diào)遞增，且從第一項至第八項均小于，那么前7項和必然大于，又產(chǎn)生矛盾。說明橫坐標為處的點表示的是數(shù)列的前8項和，此時需要分析橫坐標為處的兩個點各自的含義，若，則，說明數(shù)列單調(diào)遞減，那么可知數(shù)列在第一項至第8項均為正數(shù)，那么，與圖象信息矛盾，故，，，可以解得，可知等差數(shù)列公差為，接下來可以有兩種基本思路去處理。方法一：直接求解數(shù)列通項，根據(jù)公差，解得，那么可以解得前項和的表達式為，可知其對稱軸，距它最近的整數(shù)為，故其在時取最大值，故選A.方法二：從前項和的最值性質(zhì)可以看出，數(shù)列本身正負發(fā)生改變的地方是產(chǎn)生最值的地方，根據(jù)分析可知，，那么，，可見，數(shù)列從第一項至第四項均是正數(shù)，此時前項和越加越大，最大值在第四項取到，故選A.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在直角坐標系xOy中，已知A（-1，0），B（0，1），則滿足且在圓上的點P的個數(shù)為

▲

．參考答案：2略12.已知集合則

．

參考答案：{－1}13.在△中，,,則的長度為________.參考答案：1或2由余弦定理得,即

,解得BC=1或BC=2.14.計算定積分____________.參考答案：略15.如圖圓的直徑,P是AB的延長線上一點,過點P作圓的切線,切點為C,連接AC,若,則

.參考答案：16.設(shè)和均為定義在R上的偶函數(shù)，當時，，若在區(qū)間內(nèi)，關(guān)于的方程恰有4個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是

參考答案：17.已知函數(shù)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，若不等式恒成立，則的最大值為____________。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）如圖，在多面體ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，且△ABC是的邊長為4的等邊三角形，AE=2，CD與平面ABDE所成角的余弦值為，F(xiàn)是線段CD上一點．（Ⅰ）若F是線段CD的中點，證明：平面CDE⊥面DBC；（Ⅱ）求二面角B﹣EC﹣D的平面角的正弦值．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；平面與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取AB中點O，連結(jié)OC，OD，取ED的中點為M，以O(shè)為原點，OC為x軸，OB為y軸，OM為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明平面CDE⊥平面DBC．（Ⅱ）求出平面DEC的一個法向量和平面BCE的一個法向量，利用向量法能求出二面角B﹣EC﹣D的平面角的正弦值．【解答】證明：（Ⅰ）取AB中點O，連結(jié)OC，OD，∵DB⊥平面ABC，DB?平面ABDE，∴平面ABDE⊥平面ABC，∵△ABC是等邊三角形，∴OC⊥AB，又OC?平面ABC，平面ABDE∩平面ABC=AB，∴OC⊥平面ABD，∴OD是CD在平面ABDE上的射影，∠CDO是CD與平面ABDE所成角，∵CD與平面ABDE所成角的余弦值為，∴CD與平面ABDE所成角的正弦值為，∴sin，∵OC=2，∴CD=4，BD=4，取ED的中點為M，以O(shè)為原點，OC為x軸，OB為y軸，OM為z軸，建立空間直角坐標系，則A（0，﹣2，0），B（0，2，0），C（2，0，0），D（0，2，4），E（0，﹣2，2），F(xiàn)（，1，2），∴=（），=（2，﹣2，0），=（0，0，4），∴，，∴EF⊥BC，EF⊥BD，∵DB，BC?平面DBC，且DB∩BC=B，∴∴EF⊥平面DBC，又EF?平面BDF，∴平面CDE⊥平面DBC．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當F是線段CD的中點時，得BF⊥平面DEC，又=（），則可取平面DEC的一個法向量==（），設(shè)平面BCE的一個法向量=（x，y，z），=（2，﹣2，0），=（2，2，﹣2），則，取x=1，得=（1，），則cos＜＞===，sin＜＞=，∴二面角B﹣EC﹣D的平面角的正弦值為．【點評】本題考查面面垂直的證明，考查二面角的正弦值的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查等價轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．19.已知函數(shù)f（x）=exsinx（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）當x∈時，f（x）≥kx，求實數(shù)k的取值范圍．參考答案：考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)零點的判定定理．專題：導數(shù)的綜合應用．分析：（1）f′（x）=exsinx+excosx=ex，分別解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出單調(diào)區(qū)間；（2）令g（x）=f（x）﹣kx=exsinx﹣kx，即g（x）≥0恒成立，而g′（x）=ex（sinx+cosx）﹣k，令h（x）=ex（sinx+cosx），利用導數(shù)研究函數(shù)h（x）的單調(diào)性可得：在上單調(diào)遞增，，對k分類討論，即可得出函數(shù)g（x）的單調(diào)性，進而得出k的取值范圍．解答： 解：（1）f′（x）=exsinx+excosx=ex，當時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，x∈，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．

（2）令g（x）=f（x）﹣kx=exsinx﹣kx，即g（x）≥0恒成立，而g′（x）=ex（sinx+cosx）﹣k，令h（x）=ex（sinx+cosx），h′（x）=ex（sinx+cosx）+ex（cosx﹣sinx）=2excosx．∵x∈，h′（x）≥0，∴h（x）在上單調(diào)遞增，，當k≤1時，g′（x）≥0，g（x）在上單調(diào)遞增，g（x）≥g（0）=0，符合題意；當時，g′（x）≤0，g（x）在上單調(diào)遞減，g（x）≤g（0），與題意不合；當時，g′（x）為一個單調(diào)遞增的函數(shù)，而g′（0）=1﹣k＜0，=﹣k＞0，由零點存在性定理，必存在一個零點x0，使得g′（x0）=0，當x∈．點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．20.（本小題滿分12分）等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項和為Sn，若不等式恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．參考答案：(1)解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，∵，n∈N*，∴，

∴,又，∴,∴

n∈N*．

(2)解：,∴，∴．

令，隨的增大而增大，∴

∴，．即實數(shù)的取值范圍為．

略21.已知函數(shù)f（x）=x﹣，g（x）=x2﹣2ax+4，若任意x1∈[0，1]，存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】若任意x1∈[0，1]，存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），即存在x∈[1，2]，使得g（x）=x2﹣2ax+4≤﹣1，即x2﹣2ax+5≤0，解得實數(shù)a的取值范圍．【解答】（本小題滿分12分）解：由于f′（x）=1+＞0，因此函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，所以x∈[0，1]時，f（x）min=f（0）=﹣1．根據(jù)題意可知存在x∈[1，2]，使得g（x）=x2﹣2ax+4≤﹣1，即x2﹣2ax+5≤0，即a≥+能成立，令h（x）=+，則要使a≥h（x）在x∈[1，2]能成立，只需使a≥h（x）min，又函數(shù)h（x）=+在x∈[1，2]上單調(diào)遞減，所以h（x）min=h（2）=，故只需a≥．2