2022-2023學年天津市西青區高二上學期期末數學試題一、單選題1．已知向量，，若，則k的值為（

）A． B． C． D．4【答案】D【分析】根據空間向量平行的坐標表示求解.【詳解】因為，所以解得，故選:D.2．拋物線的焦點坐標是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】拋物線的方程化為標準方程為：，故，則焦點坐標為，故選：D.3．數列中，若，，則（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】,先求出,再由求,由求即可.【詳解】,，，，故選：B.4．圓與恰有三條公切線，則實數a的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據公切線的條數判斷兩圓的位置關系，進而列出等式求解.【詳解】因為兩圓恰有三條公切線，所以兩圓外切，則圓心距，解得，故選:D.5．橢圓與曲線的（

）A．焦距相等 B．離心率相等 C．焦點相同 D．曲線是雙曲線【答案】A【分析】根據橢圓的幾何性質，曲線，化簡為，即可解決.【詳解】對于橢圓可得焦點在軸上，，所以焦距為8，離心率為，焦點為，曲線，化簡為，因為，所以，且，所以曲線表示焦點在軸上橢圓，所以，焦距為8，離心率為，焦點為，故選：A6．如圖，在平行六面體中，AC與BD的交點為M.設，則下列向量中與相等的向量是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據代入計算化簡即可.【詳解】故選：B.7．已知等比數列{an}中，有a3a11＝4a7，數列{bn}是等差數列，其前n項和為Sn，且b7＝a7，則S13＝（

）A．26 B．52C．78 D．104【答案】B【解析】由等比數列的性質可得，再由等差數列的求和公式和性質，可得答案．【詳解】等比數列中，，可得，解得，等差數列中，則．故選：．【點睛】本題考查等比數列的性質以及等差數列的性質與求和公式的運用，考查方程思想和運算能力，屬于基礎題．8．若直線與圓C：相切，則①；②數列為等差數列；③圓C可能經過坐標原點；④數列的前10項和為23.以上結論正確的個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用距離公式可求，從而可判斷①②的正誤，由可判斷③的正誤，計算出后可判斷④的正誤.【詳解】因為直線與圓相切，所以圓C的圓心(2，0)到直線的距離，故，則，故①錯誤；數列是首項為公差為的等差數列，故②正確;當時，，圓C經過坐標原點，故③正確；因為，所以的前10項和為，故④正確.故選：C.9．如圖第1個圖案的總點數記為，第2個圖案的總點數記為，第3個圖案的總點數記為，…依此類推，第n個圖案的總點數記為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得時，從而可得，再利用裂項相消求和法可求得答案.【詳解】由題意，，當，時，，又當，時，，∴．故選：A10．設是雙曲線與圓在第一象限的交點，，分別是雙曲線的左，右焦點，若，則雙曲線的離心率為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】先由雙曲線定義與題中條件得到，，求出，，再由題意得到，即可根據勾股定理求出結果.【詳解】解：根據雙曲線定義：，，∴，∴，，，∴是圓的直徑，∴，在中，，得．故選．【點睛】本題主要考查求雙曲線的離心率，熟記雙曲線的簡單性質即可，屬于?？碱}型.二、填空題11．直線與直線垂直，則實數的值為__________.【答案】【分析】直接利用兩直線垂直，求出.【詳解】直線與直線垂直,所以，解得：故答案為：12．已知雙曲線C:一個焦點到其漸近線的距離為，則雙曲線C的實軸長為___________.【答案】【分析】先求出漸近線方程，再利用點到直線距離公式求出進而可求解.【詳解】由題，雙曲線的一條漸近線方程為，右焦點的距離為，解得，所以雙曲線的實軸長為，故答案為:.13．已知圓，則過點的最短弦所在的直線方程是_________.【答案】【分析】由題知，弦最短時，圓心與點的連線與直線垂直，進而求解直線方程即可.【詳解】解：根據題意：弦最短時，圓心與點的連線與直線垂直,因為圓，即，圓心為：，所以，所以，所以所求直線方程為：.故答案為：.14．在直三棱柱中，，，分別是，的中點，，則與所成角的余弦值是_____________.【答案】##【分析】已知是直三棱柱，取的中點，連接，，可得和所成角即為與所成角．求出邊長，利用余弦定理求解角的大?。驹斀狻?，分別是，的中點，取的中點，連接，，則且，所以為平行四邊形，,那么和所成角即為與所成角．設，，是直三棱柱，，，故答案為：．三、雙空題15．拋物線的焦點到準線的距離是___________；若點在拋物線上且與焦點的距離為6，則點的坐標為___________.【答案】

4

或【分析】根據拋物線幾何意義，拋物線定義即可解決.【詳解】由題知，拋物線，開口向右，，焦點為，準線為，所以焦點到準線的距離是4，因為點在拋物線上且與焦點的距離為6，所以點到準線的距離為6，所以，即，所以，解得，所以點的坐標為或故答案為：4；或16．數列的前n項和為，，數列的前n項和為，則__________；=___________.【答案】

【分析】通過，得到，求出的值，則，則求出，利用等比數列求和公式即可得到.【詳解】,時，,化為：，時,,解得.數列是等比數列,首項為1,公比為,,,,故答案為：；.四、解答題17．圓經過坐標原點和點，且圓心在軸上.(1)求圓的標準方程；(2)已知直線l：與圓相交于兩點，求弦長的值；(3)過點引圓的切線，求切線的方程.【答案】(1)(2)(3)和【分析】（1）求出圓心和半徑，寫出圓的方程；（2）求出圓心到直線距離，進而求出弦長.（3）當斜率不存在時，符合題意，當斜率存在時，設出直線方程，根據，求出斜率，寫出方程.【詳解】（1）由題意可得，圓心為，半徑為2，則圓的方程為；（2）由（1）可知：圓的半徑，設圓心到的距離為，則，所以.（3）當斜率不存在時，為過點的圓C的切線.當斜率存在時，設切線方程為，即，解得綜上所述：切線的方程為和.18．在等差數列中，已知公差，且成等比數列．(1)求數列的通項公式；(2)記，求數列的前項和．【答案】(1)an=n(2)【分析】（1）由已知條件可得（d+2）2=2d+7，從而可求出公差，進而可求得數列的通項公式，（2）由（1）得，然后利用錯位相減法求【詳解】（1）因為a1，a2+1，a3+6成等比數列，所以又a1=1，所以（d+2）2=2d+7，所以d=1或d=（舍），所以an=n；（2）因為，所以，所以，所以所以19．如圖，四棱錐中，平面，底面四邊形滿足，，是的中點.(1)求直線到平面距離；(2)求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法求出直線到平面距離.（2）求出平面與平面的法向量，利用向量法求出平面與平面夾角的余弦值.【詳解】（1）在四棱錐中，平面，，分別以為軸建立空間直角坐標系.,是的中點設平面的法向量為則取，平面平面直線到平面距離為（2）平面的法向量，，設平面的法向量則取設平面與平面夾角為則20．已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓C的離心率為，且經過點．（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在過點的直線與橢圓相交于不同的兩點，，滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）存在直線滿足條件，其方程為【分析】（1）先設橢圓的標準方程，將點代入得到一個方程，根據離心率得到一個關系式，再由可得到，，的值，進而得到橢圓的方程．（2）假設存在直線滿足條件，設直線方程為，然后與橢圓方程聯立消去得到一元二次方程，且方程一定有兩根，故應得到的范圍，進而可得到兩根之和、兩根之積的表達式，再由，可確定的值，從而得解．【詳解】（1）設橢圓的方程為，，且經過點，，解得，，，故橢圓的方程為．（2）若存在直線滿足條件，由題意直線存在斜率，設直線的方程為，由，得．因為直線與橢圓相交于不同的兩點，，設，兩點的坐標分別為，，，，所以．整理得