2022-2023學年廣東省廣州市第二中學高一上學期期末數學試題一、單選題1．若集合，則集合中元素的個數為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】求得，由此判斷出中元素的個數.【詳解】依題意，有個元素.故選：D【點睛】本小題主要考查集合并集的概念和運算，屬于基礎題.2．與角終邊相同的最小正角是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用終邊相同的角的關系，求得與角終邊相同的最小正角.【詳解】與角終邊相同的最小正角為.故選：C【點睛】本小題主要考查終邊相同的角，屬于基礎題.3．若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由計算出的值，由此求得的值.【詳解】由由解得，所以.故選：B【點睛】本小題主要考查函數值的求法，屬于基礎題.4．已知冪函數在為單調增函數，則實數的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據為冪函數，求得的可能取值，再由在上的單調性，求得的值.【詳解】由于為冪函數，所以，當時，在上遞減，不符合題意，當時在上遞增，符合題意.故選：D【點睛】本小題主要考查根據函數為冪函數求解析式，考查冪函數的單調性，屬于基礎題.5．若的周期為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據的周期求得，由此求得的值.【詳解】依題意，所以.故選：D【點睛】本小題主要考查正切函數的周期性，考查特殊角的三角函數值，屬于基礎題.6．已知實數x，y，z滿足，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據指數、對數、三角函數的知識確定正確答案.【詳解】，，，而，所以，所以.故選：C7．已知弧長為的弧所對的圓心角為，則這條弧所在的扇形面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】先求得扇形的半徑，由此求得扇形面積.【詳解】依題意，扇形的半徑為，所以扇形面積為.故選：C【點睛】本小題主要考查扇形半徑、面積有關計算，屬于基礎題.8．已知函數是定義在R上的偶函數，對于，，且，都有成立，若實數m滿足，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】構造函數，根據的單調性和奇偶性化簡不等式，進而求得的取值范圍.【詳解】依題意，函數是定義在R上的偶函數，，構造函數，則，所以是奇函數，圖象關于原點對稱.由于，，且，都有成立，即，所以在上遞減，所以在上遞減.由，即，，即，所以，所以的取值范圍是.故選：C二、多選題9．下列各組函數中，表示同一函數的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】先判斷定義域是否相同，然后對解析式化簡后判斷對應關系可得.【詳解】對應關系和定義域顯然相同，故A正確；B選項中，因為，所以B正確；C選項中，的定義域為，的定義域為R，故C不正確；D選項中，顯然的定義域都為，又，，故D正確.故選：ABD10．下列說法正確的是（

）A．“”是“”的充分不必要條件B．“”是“”的必要不充分條件C．“對任意一個無理數，也是無理數”是真命題D．命題“，”的否定是“，”【答案】AD【分析】利用不等式的基本性質結合特殊值法以及充分條件、必要條件的定義可判斷A選項；利用特殊值法結合充分條件、必要條件的定義可判斷B選項；利用特殊值法可判斷C選項；利用存在量詞命題的否定可判斷D選項.【詳解】對于A選項，若，則，由不等式的性質可得，即“”“”，若，取，則，即“”“”，故“”是“”的充分不必要條件，A對；對于B選項，若，不妨取，，則，即“”“”，若，取，，則，即“”“”，所以，“”是“”的既不充分也不必要條件，B錯；對于C選項，取為無理數，則為有理數，C錯；對于D選項，命題“，”的否定是“，”，D對.故選：AD.11．已知函數，的最小正周期為，若m，，且，則下列結論正確的是（

）A．的值為1 B．C．是函數圖象的一個對稱中心 D．的最大值為【答案】ACD【分析】化簡的解析式，根據的最小正周期求得，再結合的最值、對稱中心對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】，由于的最小正周期為，所以，A選項正確.所以，由于，所以，當時，要使，則，B選項錯誤.，，所以是函數圖象的一個對稱中心，C選項正確.當時，，，由，解得，所以，所以的最大值為，D選項正確.故選：ACD12．已知函數，其中表示不超過x的最大整數，下列說法正確的是（

）A．函數為偶函數B．的值域為C．為周期函數，且最小正周期D．與的圖像恰有一個公共點【答案】BCD【分析】利用特殊值排除錯誤選項，證明可能正確的選項正確.【詳解】對于A，由于，所以，所以不是偶函數，故A錯；對于B，由于為整數，的值有三種情況，所以的值域為故B正確；對于C，由于，所以，故C正確；對于D，由B得，令，得或，而不是公共點的橫坐標.令，得或，而，所以是兩個函數圖像的一個公共點.令，得或，而，所以不是兩個函數圖像的一個公共點.綜上所述，兩個函數圖像有一個公共點，故D正確.故選：BCD三、填空題13．已知，則關于x的不等式的解集是______.【答案】【分析】將不等式的左邊進行因式分解，然后比較和的大小，再利用一元二次不等式的解法即可求解.【詳解】因為關于x的不等式可化為：，又因為，所以，所以不等式的解集為，則關于x的不等式的解集是，故答案為：.14．的值為______.【答案】【分析】根據三角恒等變換的知識進行化簡，從而求得正確答案.【詳解】.故答案為：15．將函數的圖像向左平移個單位后得到的圖像關于y軸對稱，則m的最小值是______.【答案】##【分析】求得平移后的函數解析式，然后根據對稱性求得的取值范圍，進而求得的最小值.【詳解】函數的圖像向左平移個單位后，得到，其圖像關于軸對稱，所以，由于，所以的最小值為.故答案為：16．已知函數，，當時，關于x的方程解的個數為______.【答案】4【分析】令，得到，由的圖象得到根t的分布，再由的圖象，得到的根的個數即可.【詳解】解：令，則，化為，的圖象如圖所示：因為，所以有三個不同的根，其中，函數的圖象如圖所示：由圖象知：有2個不同的根，有1個根，有1個根，所以當時，關于x的方程解的個數為4，故答案為：4四、解答題17．已知集合，．(1)當時，求；(2)若，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）解一元二次不等式求得集合，由補集和并集的定義可運算求得結果；（2）分別在和兩種情況下，根據交集為空集可構造不等式求得結果.【詳解】（1）由題意得，或，，.（2），當時，，符合題意，當時，由，得，故a的取值范圍為．18．已知，(1)求和的值(2)若，，求的大小．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）結合二倍角公式，商數關系即可化簡求得，以及求值；（2）條件等式由誘導公式可得，即可由和差公式求得，結合范圍即可.【詳解】（1），；（2），，∵，∴.19．已知函數.(1)求函數的單調遞減區間；(2)求函數在區間上的最大值與最小值.【答案】(1)(2)最大值為，最小值為【分析】（1）由三角恒等變換化簡函數為，由整體法求單調遞減區間即可；（2）由整體法求得函數值域，即可得最值.【詳解】（1），令，解得，故的單調遞減區間為.（2），則，故.故函數在區間上的最大值為，最小值為.20．已知函數為定義在上的奇函數.(1)求實數a的值；(2)設，當（）時，函數的最小值為，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由求得的值.（2）求得的表達式，利用換元法，結合三角函數、函數的單調性、最值等知識求得的取值范圍.【詳解】（1）由于函數是定義在上的奇函數，所以，經檢驗符合題意.（2），，令，，則，所以是奇函數，且在上單調遞增，當時，，要使的最小值為，則，所以，所以.21．生產A產品需要投入年固定成本5萬元，每年生產萬件，需要另外投入流動成本萬元，且，每件產品售價為10元，且生產的產品當年能全部售完.(1)寫出利潤（萬元）關于年產量（萬件）的函數解析式；（年利潤=年銷售收入-固定成本-流動成本）(2)年產量為多少萬件時，該產品的年利潤最大？最大年利潤是多少？【答案】(1)(2)當年產量為萬件時，年利潤最大，最大年利潤為萬元.【分析】（1）根據“年利潤=年銷售收入-固定成本-流動成本”求得.（2）結合二次函數的性質以及基本不等式求得正確答案.【詳解】（1）依題意，.（2）由（1）得，當，所以的最大值為；當時，，當且僅當時等號成立.由于，所以當年產量為萬件時，年利潤最大，最大年利潤為萬元.22．已知函數，.(1)若在區間上不單調，求的取值范圍；(2)已知關于x的方程在區間內有兩個不相等的實數解，求實數的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）結合二次函數的對稱軸及其性質即可求解；（2）令，方程在區間內有兩個不相等的實數解，等價于函數在上存在兩個零點，結合二次函數的實根分布討論即可求解.【詳解】（1）函數的對稱軸為，由在區間上不單調，所以，解得，