廣東省揭陽市葵潭中學2022-2023學年高一數學理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.直線（為實常數）的傾斜角的大小是（

）.A.

B.

C.

D.參考答案：D略2.設兩向量，滿足，，，的夾角為60°，+，則在上的投影為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】9R：平面向量數量積的運算．【分析】根據平面向量投影的定義，計算?、以及||的值，代入投影公式計算即可．【解答】解：，，，的夾角為60°，∴?=2×1×cos60°=1；又+，，∴=2+5?+2=2×22+5×1+2×12=15，||====2，∴在上的投影為||cosθ===．故選：A．3.下列函數中，在區間(0，＋∞)上為增函數的是()．參考答案：A4.已知兩條直線l1：和l2：(m＞0)，l1與函數的圖像從左至右相交于點A，B，l2與函數的圖像從左至右相交于C,D.記線段AC和BD在X軸上的投影長度分別為a,b,當m變化時，的最小值為（

）A．

B.

C.16

D.8參考答案：A5.某商場出售一種商品，每天可賣1000件，每件可獲利4元．據經驗，若這種商品每件每降價0.1元，則比降價前每天可多賣出100件，為獲得最好的經濟效益每件單價應降低(

)元．A．1.5元 B．2.5元 C．1元 D．2元參考答案：A6.已知在區間上有最大值3，最小值2，則的取值范圍是A． B． C． D．參考答案：D7.如果上邊程序運行后輸出的結果是720，那么在程序WHILE后面的“條件”應為（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：D8.如圖，有一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，汽車在A點測得公路北側山頂D的仰角為30°，汽車行駛300m后到達B點測得山頂D在北偏西30°方向上，且仰角為45°，則山的高度CD為（）A. B. C. D.300m參考答案：D【分析】通過題意可知：，設山的高度，分別在中求出，最后在中，利用余弦定理，列出方程，解方程求出的值.【詳解】由題意可知：.在中，.在中，.中，由余弦定理可得：（舍去），故本題選D.【點睛】本題考查了余弦定理的應用，弄清題目中各個角的含義是解題的關鍵.9.設數列:,N*,則

被64除的余數為A.0

B.2

C.16

D.48參考答案：解析：數列

模64周期地為2，16，－2，－16，…….又2005被4除余1,故選C10.已知角的終邊經過點，則A. B. C.－3 D.參考答案：A【分析】根據三角函數的定義，求出，即可得到的值．【詳解】因為，，所以．故選：A．【點睛】本題主要考查已知角終邊上一點，利用三角函數定義求三角函數值，屬于基礎題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數f（x）=x2﹣4x+5，x∈[1，5]，則該函數值域為

．參考答案：[1，10]【考點】二次函數在閉區間上的最值．【專題】函數的性質及應用．【分析】根據函數f（x）的解析式，利用二次函數的性質求得函數的最值，從而求得函數的值域．【解答】解：由于函數f（x）=x2﹣4x+5=（x﹣2）2+1，x∈[1，5]，則當x=2時，函數取得最小值為1，當x=5時，函數取得最大值為10，故該函數值域為[1，10]，故答案為[1，10]．【點評】本題主要考查求二次函數在閉區間上的最值，二次函數的性質的應用，屬于中檔題．12.已知f（x）為奇函數，當x∈[1，4]時，f（x）=x（x+1），那么當﹣4≤x≤﹣1時，f（x）的最大值為

．參考答案：﹣2【考點】二次函數的性質；函數的最值及其幾何意義．【分析】利用函數的奇偶性以及函數的對稱性求解函數的閉區間上的最大值即可．【解答】解：當x∈[1，4]時，f（x）=x（x+1），函數的最小值為：2，f（x）為奇函數，﹣4≤x≤﹣1時，f（x）的最大值為：﹣2．故答案為：﹣2．【點評】本題考查二次函數的性質，考查的最值，函數的奇偶性的應用，考查計算能力．13.若，則=_________參考答案：∵，∴f（x）+f（1﹣x）=+=+==1，∴=500×[+]=500．故答案為：500．14.已知直線l：5x+12y=60，則直線上的點與原點的距離的最小值等于．參考答案：【考點】點到直線的距離公式．【分析】直線上的點與原點的距離的最小值為原點到直線的距離．【解答】解：直線上的點與原點的距離的最小值為原點到直線的距離d==．故答案為：．15.一質點受到平面上的三個力F1，F2，F3（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態．已知F1，F2成90°角，且F1，F2的大小分別為1和2，則F3的大小為________.參考答案：16.已知兩條不同直線、，兩個不同平面、，給出下列命題：①若垂直于內的兩條相交直線，則⊥；②若∥，則平行于內的所有直線；③若，且⊥，則⊥；

④若，，則⊥；⑤若，且∥，則∥．其中正確命題的序號是

．（把你認為正確命題的序號都填上）參考答案：①④17.已知函數，函數為一次函數，若，則__________．參考答案：由題意，函數為一次函數，由待定系數法，設，，由對應系數相等，得，．

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數，，記。(1)判斷的奇偶性，并證明；（2）對任意，都存在，使得，.若，求實數的值；（3）若對于一切恒成立，求實數的取值范圍.參考答案：（Ⅰ）函數為奇函數。現證明如下：∵函數的定義域為，關于原點對稱。由∴函數為奇函數（Ⅱ）據題意知，當時，，∵在區間上單調遞增，∴，即又∵∴函數的對稱軸為∴函數在區間上單調遞減∴，即由，得，∴（Ⅲ）當時，即，，令，下面求函數的最大值。，∴故的取值范圍是略19.已知函數f(x)=（p，q為常數）是定義在[﹣1，1]上的奇函數，且f(1)=．（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；（Ⅱ）判斷f（x）在[﹣1，1]上的單調性，并用定義證明；（Ⅲ）解關于x的不等式f（x﹣1）+f（x）＜0．參考答案：【考點】奇偶性與單調性的綜合．【分析】（Ⅰ）根據題意，由奇函數的性質可得f（0）=0，解可得q的值，又由f（1）=，分析可得p的值，即可得函數的解析式；（Ⅱ）任取﹣1≤x1＜x2≤1，利用作差法分析可得答案；（Ⅲ）利用函數的奇偶性與單調性分析可以將原不等式變形為f（x﹣1）＜f（﹣x），進而可得，解可得x的取值范圍，即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）依題意，函數（p，q為常數）是定義在[﹣1，1]上的奇函數，則有f（0）=q=0，則f（x）=，又由f（1）=，則f（1）==，解可得p=1，所以；（Ⅱ）函數f（x）在[﹣1，1]上單調遞增，證明如下：任取﹣1≤x1＜x2≤1，則x1﹣x2＜0，﹣1≤x1x2＜1，從而f（x1）﹣f（x2）=﹣=＜0，所以f（x1）＜f（x2），所以函數f（x）在[﹣1，1]上單調遞增．（Ⅲ）原不等式可化為：f（x﹣1）＜﹣f（x），即f（x﹣1）＜f（﹣x）由（Ⅱ）可得，函數f（x）在[﹣1，1]上單調遞增，所以有，解得，即原不等式解集為．20.在區間D上，如果函數f（x）為減函數，而xf（x）為增函數，則稱f（x）為D上的弱減函數．若f（x）=（1）判斷f（x）在區間[0，+∞）上是否為弱減函數；（2）當x∈[1，3]時，不等式恒成立，求實數a的取值范圍；（3）若函數g（x）=f（x）+k|x|﹣1在[0，3]上有兩個不同的零點，求實數k的取值范圍．參考答案：【考點】函數單調性的性質．【分析】（1）利用初等函數的性質、弱減函數的定義，判斷是[0，+∞）上的弱減函數．（2）根據題意可得，再利用函數的單調性求得函數的最值，可得a的范圍．（3）根據題意，當x∈（0，3]時，方程只有一解，分離參數k，換元利用二次函數的性質，求得k的范圍．【解答】解：（1）由初等函數性質知，在[0，+∞）上單調遞減，而在[0，+∞）上單調遞增，所以是[0，+∞）上的弱減函數．（2）不等式化為在x∈[1，3]上恒成立，則，而在[1，3]單調遞增，∴的最小值為，的最大值為，∴，∴a∈[﹣1，]．（3）由題意知方程在[0，3]上有兩個不同根，①當x=0時，上式恒成立；②當x∈（0，3]時，則由題意可得方程只有一解，根據，令，則t∈（1，2]，方程化為在t∈（1，2]上只有一解，所以．21.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，點M，N分別為線段PB，PC上的點，MN⊥PB．（Ⅰ）求證：平面PBC⊥平面PAB；（Ⅱ）求證：當點M不與點P，B重合時，MN∥平面ABCD；（Ⅲ）當AB=3，PA=4時，求點A到直線MN距離的最小值．參考答案：【考點】點、線、面間的距離計算；直線與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）通過證明BC⊥平面PAB，即可證明平面PBC⊥平面PAB；（Ⅱ）在△PBC中，BC⊥PB，MN⊥PB，所以MN∥BC，利用線面平行的判定定理，證明MN∥平面ABCD；（Ⅲ）AM的長就是點A到MN的距離，A到直線MN距離的最小值就是A到線段PB的距離．【解答】證明：（Ⅰ）在正方形ABCD中，AB⊥BC．…．因為PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PA⊥BC．…．又AB∩PA=A，AB，PA?平面PAB，…．所以BC⊥平面PAB．…．因為BC?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB．…．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAB，PB?平面PAB，所以BC⊥PB．…．在△PBC中，BC⊥PB，MN⊥PB，所以MN∥BC，…．又BC?平面ABCD，MN?平面ABCD，…．所以MN∥平面ABCD．…．解：（Ⅲ）因為MN∥BC，所以MN⊥平面PAB，…．而AM?平面PAB，所以MN⊥AM，…．所以AM的長就是點A到MN的距離，…．而點M在線段PB上所以A到直線MN距離的最小值就是A到線段PB的距離，在Rt△PAB中，AB=3，PA=4，所以A到直線MN的最小值為．…．22.祖國大陸開放臺灣農民到大陸創業以來，在11個省區設立了海峽兩岸農業合作實驗區和臺灣農業創業園，臺灣農民在那里申辦個體工商戶可以享受“綠色通道”的申請、受理、審批一站式服務.某臺商到大陸創業園投資72萬美元建起一座蔬菜加工廠，第一年各種經費12萬美元，以后每年增加4萬美元，每年銷售蔬菜收入50萬元。設f（n）表示前n年的純收入（