高二數學（理）（2023、11）選擇題

題號12345678答案CBCCBDCA填空題9．若一個四邊形不是平行四邊形(，則這個四邊形兩組對邊不相等(10)1 (11)m或m∥ (12)eq\f(1,2) (13)(5,13，－3)解答題14（本小題滿分12分）如圖：棱長為的正方體中，點分別是棱的中點，（I）過作一平面，使其與平面平行（只寫作法，不需證明）;（II）求直線與平面所成角的正弦值.解：(I)連結AC、MC，平面AMC是所求平面--------------------------3分CDD1CCDD1C1ABA1B1MNEOxyz則A(0,0,0)，M(eq\f(1,2)a,0,a)，B(a,0,0)，D(0,a,0)，N(0,eq\f(1,2)a,a)------------------------5分（不全對，但對2個以上給1分）eq\o(BM,\s\up7(→))=(eq\f(1,2)a,0,a)，eq\o(BD,\s\up7(→))=(a,a,0)，eq\o(AM,\s\up7(→))=(eq\f(1,2)a,0,a)-------7分（不全對，但對2個給1分）設平面得法向量n=(x,y,z)

則eq\b\lc\{(\a\al(eq\o(BM,\s\up7(→))·n=0,eq\o(BD,\s\up7(→))·n=0))n=(2,2,1)-------------------------9分

cos<eq\o(AM,\s\up7(→)),n>=eq\f(eq\o(AM,\s\up7(→))·n,|eq\o(AM,\s\up7(→))||n|)=eq\f(4\r(5),15)-----------------11分

設直線與平面所成角為

則，sin=|cos<eq\o(AM,\s\up7(→)),n>|=eq\f(4\r(5),15)直線與平面所成角的正弦值為eq\f(4\r(5),15)-----------------12分

15（本小題滿分12分）如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝eq\r(2)，AB＝1，AD＝2，E為BC的中點，點M為棱AA1的中點．（I）證明：DE⊥平面A1AE；（II）證明：BM∥平面A1ED.證明：方法一：（I）在△AED中，AE＝DE＝eq\r(2)，AD＝2，∴AE⊥分∵A1A⊥平面ABCD，∴A1A⊥DE，,平面A1AE.,平面A1AE.∴DE⊥平面分（II）設AD的中點為N，連結MN、BN.在△A1AD中，AM＝MA1，AN＝ND，∴MN∥A1D，------------8分∵BE∥ND且BE＝ND，∴四邊形BEDN是平行四邊形，∴BN∥ED，------------------------------------------------------------10分∴平面BMN∥平面A1ED，∴BM∥平面分方法二：建系如圖所示（I）A(0，0，0),B(1，0，0),C(1，2，0),D(0，2，0)A1(0,0,),B1(1,0,),C1(1,2,),D1(0,2,)E(1,1,0),-,，------------------2分設平面A1AE的法向量為則即則一個------4分故所以DE⊥平面分（II）,-----------------8分設平面A1ED的法向量為則即則一個----10分0故BM∥平面分16（本小題滿分12分）如圖，正三棱柱的所有棱長都為2，為中點，試用空間向量知識解下列問題：（1）求證：平面面；（2）求二面角的正弦值。解：取BC中點O，連AO，∵為正三角形，∴，∵在正三棱柱中，平面ABC平面,∴平面，取中點為,以O為原點，,,的方向為，軸的正方向，建立空間直角坐標系，則.∴,∵,。∴，,∴面。…………5分面所以平面面------------------------------6分（2）設平面的法向量為,。，∴，∴，，令，得為平面的一個法向量，-------------8分由（1）知面，∴為平面的法向量，，------------------11分),∴二面角的正弦值為=eq\f(\r(10),4)。…………12分17（本小題滿分12分）三棱錐中．已知，，為中點．（I）求證：平面；（II）求異面直線與所成角的余弦值．證明：（Ⅰ）因為，的中點，連接，易得：，……………2分,.……………4分.……………5分又平面…………7分注意：該步驟要求學生的表達嚴謹規范，對于幾個垂直的證明，如果沒有過程，相應步驟得分為0分，而利用結論的后續證明只要正確，可以相應步驟得分（Ⅱ）分別取中點,連接,則,,故，為異面直線與所成角（或補角）-