山西省長治市縣蘇店鎮中學2023年高二數學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1..若命題；命題，則下列為真命題的是（

）A. B.C. D.參考答案：A【分析】通過舉特例判斷出命題p，q的真假，然后根據真值表即可找到正確選項．【詳解】對于命題p：當時，，故p為假命題；對于命題q：當x＝1時成立，∴命題q是真命題；∴p∧q為假命題，￢p為真命題，（￢p）∧q是真命題．故選：A．【點睛】本題考查真命題、假命題的概念，以及真值表的應用，關鍵是判斷出命題p，q的真假．2.一個算法的程序框圖如圖所示，該程序輸出的結果為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略3.已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1），且（2﹣3）⊥，則實數k=(

)A．﹣ B．0 C．3 D．參考答案：C【考點】平面向量數量積的運算．【專題】平面向量及應用．【分析】（2﹣3）⊥，可得（2﹣3）?=0，解出即可．【解答】解：=（2k﹣3，﹣6），∵（2﹣3）⊥，∴（2﹣3）?=2（2k﹣3）﹣6=0，解得k=3．故選：C．【點評】本題考查了向量垂直與數量積的關系，屬于基礎題．4.若實數滿足條件，則的最大值為

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C5.已知橢圓，為坐標原點.若為橢圓上一點，且在軸右側，為軸上一點，，則點橫坐標的最小值為（

）A. B. C. D.參考答案：B6.函數在區間[，+x]上的平均變化率為A. B.1+ C. D.2參考答案：D【分析】由平均變化率的運算公式，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，可得平均變化率，故選D．【點睛】本題主要考查了平均變化率的求得，其中解答熟記平均變化率的計算公式是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．7.在四棱錐P﹣ABCD中，底面是邊長為2的菱形，∠DAB=60°，對角線AC與BD相交于點O，PO⊥平面ABCD，PB與平面ABCD所成角為45°，若E是PB的中點，則異面直線DE與PA所成角的余弦值為（）A． B． C． D．參考答案： B【考點】異面直線及其所成的角．【分析】取AB的中點F，連接EF，DF，則EF∥PA．從而∠DEF為異面直線DE與PA所成角（或補角）．由此能求出異面直線DE與PA所成角的余弦值．【解答】解：取AB的中點F，連接EF，DF，∵E為PB中點，∴EF∥PA．∴∠DEF為異面直線DE與PA所成角（或補角）．又∵∠PBO=45°，BO=1，∴PO=1，PB=在Rt△AOB中，AO=AB?cos30°==OP，∴在Rt△POA中，PA=2，∴EF=1．∵四邊形ABCD為菱形，且∠DAB=60°，∴△ABD為正三角形．∴DF=，∵PB=PD=，BD=2，∴△PBD為等腰直角三角形，∴DE==，∴cos∠DEF==．即異面直線DE與PA所成角的余弦值為．故選：B．8.設△ABC的三邊長分別為a、b、c，△ABC的面積為S，內切圓半徑為r，則，類比這個結論可知：四面體S﹣ABC的四個面的面積分別為S1、S2、S3、S4，內切球半徑為R，四面體S﹣ABC的體積為V，則R=（）A． B．C． D．參考答案：C【考點】類比推理．【分析】根據平面與空間之間的類比推理，由點類比點或直線，由直線類比直線或平面，由內切圓類比內切球，由平面圖形面積類比立體圖形的體積，結合求三角形的面積的方法類比求四面體的體積即可．【解答】解：設四面體的內切球的球心為O，則球心O到四個面的距離都是R，所以四面體的體積等于以O為頂點，分別以四個面為底面的4個三棱錐體積的和．則四面體的體積為∴R=故選C．9.設球的半徑為時間t的函數R（t）．若球的體積以均勻速度c增長，則球的表面積的增長速度與球半徑．A．成正比，比例系數為C B．成正比，比例系數為2CC．成反比，比例系數為C D．成反比，比例系數為2C參考答案：D【考點】球的體積和表面積．【分析】求出球的體積的表達式，然后球的導數，推出，利用面積的導數是體積，求出球的表面積的增長速度與球半徑的比例關系．【解答】解：由題意可知球的體積為，則c=V′（t）=4πR2（t）R′（t），由此可得，而球的表面積為S（t）=4πR2（t），所以V表=S′（t）=4πR2（t）=8πR（t）R′（t），即V表=8πR（t）R′（t）=2×4πR（t）R′（t）=故選D10.已知向量，，且與互相垂直，則的值是（

）A．

1

B．

C．

D．參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設x，y滿足約束條件，則z=x﹣2y的取值范圍為．參考答案：[﹣3，3]【考點】簡單線性規劃．【分析】作出不等式組對應的平面區域，利用目標函數的幾何意義，結合數形結合進行求解即可．【解答】解：由z=x﹣2y得y=，作出不等式組對應的平面區域如圖（陰影部分）：平移直線y=，由圖象可知當直線y=，過點A（3，0）時，直線y=的截距最小，此時z最大為z=3﹣0=3，由圖象可知當直線y=，過點B時，直線y=的截距最大，此時z最小，由，解得，即B（1，2），代入目標函數z=x﹣2y，得z=1﹣2×2=1﹣4=﹣3，故﹣3≤z≤3，故答案為：[﹣3，3]．12.已知，是曲線與圍成的區域，若向區域內隨機投一點，則點落入區域的概率為___________.參考答案：13.在半徑為r的圓周上任取兩點A，B，則|AB|≥r的概率為．參考答案：【考點】幾何概型．【專題】計算題；數形結合；轉化法；概率與統計．【分析】根據題意，畫出圖形，結合圖形，得出以A為正六邊形的一個頂點作圓的內接正六邊形，則正六邊形的邊長為半徑r，當B點落在劣弧外時，有|AB|≥r，求出對應的概率即可．【解答】解：如圖所示，選定點A后，以A為正六邊形的一個頂點作圓的內接正六邊形，則正六邊形的邊長為半徑r，當B點落在劣弧外時，有|AB|≥r，則所求概率為P==．故答案為：．【點評】本題考查了幾何概型的應用問題，也考查了數形結合的應用問題，解題的關鍵是根據題意畫出對應的示意圖形，是基礎題目．14.已知兩個正數，的等差中項為，等比中項為，且，則橢圓的離心率為

.參考答案：15.已知函數y=ax2+b在點（1，3）處的切線斜率為2，則=

．參考答案：2【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】求出函數的導數，求得切線的斜率，可得a的方程，再由切點，可得a+b=3，解得b，進而得到所求值．【解答】解：函數y=ax2+b的導數為y′=2ax，則在點（1，3）處的切線斜率為k=2a=2，即為a=1，又a+b=3，解得b=2，則=2．故答案為：2．16.已知集合，，則=

參考答案：略17.若，則的值為

．參考答案：1略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等邊三角形，已知AD=4，BD=4，AB=2CD=8．（Ⅰ）設M是PC上的一點，證明：平面MBD⊥平面PAD；（Ⅱ）當M點位于線段PC什么位置時，PA∥平面MBD？（Ⅲ）求四棱錐P﹣ABCD的體積．參考答案：考點：平面與平面垂直的判定；棱錐的結構特征；直線與平面平行的性質．專題：計算題；證明題；綜合題；轉化思想．分析：（Ⅰ）設M是PC上的一點，證明平面MBD內的直線BD垂直平面PAD，即可證明平面MBD⊥平面PAD；（Ⅱ）M點位于線段PC靠近C點的三等分點處，證明PA∥MN，MN?平面MBD，即可證明PA∥平面MBD．（Ⅲ）過P作PO⊥AD交AD于O，說明PO為四棱錐P﹣ABCD的高并求出，再求梯形ABCD的面積，然后求四棱錐P﹣ABCD的體積．解答：證明：（Ⅰ）在△ABD中，∵AD=4，，AB=8，∴AD2+BD2=AB2．∴AD⊥BD．（2分）又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD?平面ABCD，∴BD⊥平面PAD．又BD?平面MBD，∴平面MBD⊥平面PAD．（4分）

（Ⅱ）當M點位于線段PC靠近C點的三等分點處時，PA∥平面MBD．（5分）證明如下：連接AC，交BD于點N，連接MN．∵AB∥DC，所以四邊形ABCD是梯形．∵AB=2CD，∴CN：NA=1：2．又∵CM：MP=1：2，∴CN：NA=CM：MP，∴PA∥MN．（7分）∵MN?平面MBD，∴PA∥平面MBD．（9分）

（Ⅲ）過P作PO⊥AD交AD于O，∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD．即PO為四棱錐P﹣ABCD的高．（11分）又∵△PAD是邊長為4的等邊三角形，∴．（12分）在Rt△ADB中，斜邊AB邊上的高為，此即為梯形ABCD的高．∴梯形ABCD的面積．（14分）故．（15分）點評：本題考查棱柱的結構特征，平面與平面垂直的判定，考查學生邏輯思維能力，空間想象能力，以及計算能力，是中檔題．19.如圖，在圓錐PO中，已知，⊙O的直徑AB=2，點C在底面圓周上，且，D為AC的中點．（Ⅰ）證明：OD∥平面PBC；（Ⅱ）證明：平面PAC⊥平面POD；（Ⅲ）求二面角A-PC-O的正弦值.參考答案：證明：（Ⅰ）∵D為AC的中點，O為⊙O的圓心,則∥,

…………2分∵平面，平面，…………4分∴∥平面。…………5分證明：（Ⅱ）∵，是的中點，∴.又底面⊙底面⊙，∴，…………7分∵,平面，∴平面,

…………9分∵平面,∴平面平面；…………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，平面平面，在平面中，過作于，則平面。過作,垂足為,連結，則由三垂線定理得,∴是二面角的平面角.…………12分在中，,在△中,可求得,∴在△中,,∴.即二面角的正弦值為．…………15分

（其他解法，如或建空間直角坐標系，用空間向量解題，按步酌情給分.）20.河上有拋物線型拱橋，當水面距拱頂5米時，水面寬度為8米，一小船寬4米，高2米，載貨后船露出水面的部分高0.75米，問水面上漲到與拋物線拱頂距多少時，小船開始不能通行？參考答案：【考點】拋物線的應用．【專題】計算題．【分析】建立平面直角坐標系，設拱橋型拋物線方程為x2=﹣2py（p＞0）．將B（4，﹣5）代入得p=1.6，所以x2=﹣3.2y，當船兩側與拋物線接觸時不能通過，由此能求出結果．【解答】解：建立平面直角坐標系，設拱橋型拋物線方程為x2=﹣2py（p＞0）．…將B（4，﹣5）代入得p=1.6，∴x2=﹣3.2y，…當船兩側與拋物線接觸時不能通過，設點A（2，yA），由22=﹣3.2yA，得yA=﹣1.25，…因為船露出水面的部分高0.75米，…所以h=|yA|+0.75=2米．…（14分）答：水面上漲到與拋物線拱頂距2米時，小船開始不能通行．…（16分）【點評】本題考查拋物線的應用，是中檔題．解題時要認真審題，恰當地建立坐標系，合理地進行等價轉化．21.已知數列中中，其前項和為，滿足。（1）試求數列的通項公式；（2）令，是數列的前項和，證明：。參考答案：略22.（1）若命題“?x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”為假命題，求實數a的取值范圍；（2）設p：|4x﹣3|≤1，命題q：x2﹣（2m+1）x+m（m+1）≤0．若￢p是￢q的必要而不充分條件，求實數a的取值范圍．參考答案：【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】轉化思想；轉化法；簡易邏輯．【分析】（1）根據特稱命題為假命題，轉化為命題的否定為真命題，利用判別式△進行求解即可．（2）根據絕對值的性質和十字相乘法分別求出命題p和q，再根據￢p是￢q的必要而不充分條件，可以推出p?q，再根據子集的性質進行求解；【解答】解：（1）若命題“?x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”為假命題，即命題“?x∈R，2x2﹣3ax+9≥0”為真命題，