《非線性系統理論》參考書：非線性系統理論及應用曹建福編著2001

非線性系統理論方勇純編著2005

非線性系統理論康惠駿編著2010教材：非線性系統（第三版）HassanK.Khalil著2011北京科技大學機械工程學院授課教師：郜志英機械工程研究生學科前沿課程——課程考核：平時作業（40分）+考試成績（60分）“認識非線性”Xt+1=f(Xt)X:系統狀態t:離散時間f:函數關系式Xt+1=rXtXt+1=rXt

(1-Xt)“認識非線性”Xt+1=rXtX0=100Xt+1=1.0Xt穩態(steady-state)行為周期(periodic)行為Xt+1=-1.0Xt“認識非線性”Xt+1=rXtXt+1=0.9XtXt+1=1.1Xt衰減(decay)行為成長(growth)行為X0=100“認識非線性”Xt+1=rXt

(1-Xt)穩態(steady-state)行為“認識非線性”Xt+1=rXt

(1-Xt)穩態(steady-state)行為“認識非線性”Xt+1=rXt

(1-Xt)周期(periodic)行為Xt+1=3.2Xt

(1-Xt)Xt+1=3.5Xt

(1-Xt)P=2P=4TwopointsattractorFourpointsattractor“認識非線性”Xt+1=rXt

(1-Xt)非周期(non-periodic)行為Xt+1=3.99Xt(1-Xt)混沌（chaos）“認識非線性”Xt+1=rXt

(1-Xt)分岔（bifurcation）“認識非線性”Xt+1=rXt

(1-Xt)初值敏感性差之毫厘，謬以千里

假定某種昆蟲，在不存在世代交疊的情況下（即每年夏天成蟲產卵后全部死亡，第二年春天每個蟲卵孵化成蟲），很顯然，若產卵數大于1，蟲口就會迅速增加，“蟲滿為患”。事實上，在蟲口數目增大的同時又由于爭奪有限的食物和生存空間而不斷發生咬斗事件，也可能因接觸感染而導致疾病蔓延，這樣又會使蟲口減少。綜合考慮正增長和負增長兩種因素的作用“認識非線性”蝴蝶扇動翅膀的時候誰知道會發生什么？

Lorenz：美國數學家與氣象學家“認識非線性”-蝴蝶效應電影：《蝴蝶效應》THEBUTTERFLYEFFECTChangeonething,changeeverything。“時光日記本”“認識非線性”-蝴蝶效應20世紀物理學三大理論：相對論：否定了時間和空間的絕對性；（高速運動）量子論：否定了粒子與波的絕對性；（微觀運動）混沌論：否定了可預見的絕對性；（非線性運動）決定論決定論隨機論混沌論“隨時間而發生某種變化，其變化并非隨機而貌似隨機”Lorenz《TheEssenceofChaos》

“認識非線性”-混沌論“認識非線性”-工程振動新理論新原理新模型新方法新問題新應用機械系統工程非線性振動問題“認識非線性”-工程振動材料非線性：當彈性元件的材料應力超過比例極限，應力-應變關系不再是線性關系，彈性元件的恢復力與變形不再是線性關系，彈性力是位移的非線性函數。xF硬彈簧軟彈簧線性彈簧“認識非線性”-工程振動車輛懸架的主彈簧和副彈簧

振動機械的分組彈簧xFF分段線性：彈性力是位移的分段線性函數。“認識非線性”-工程振動分段線性：彈性力是位移的分段線性函數。連接彈簧存在間隙

彈簧有預緊力

xFxF“認識非線性”-工程振動幾何非線性：材料本身仍屬于彈性范圍，由于幾何原因導致位移較大，在建立運動微分方程時必須考慮這種位移，使得恢復力與位移的關系成為非線性函數。張緊的弦

單擺

通常彈性材料：硬特性非線性超彈性材料：軟特性非線性單擺：軟特性非線性Section1非線性系統簡介

1.1線性振動回顧

1.2非線性系統模型

1.3非線性系統示例

返回首頁1.1線性振動回顧無阻尼自由動微分方程初相位角

振幅

返回首頁1.1線性振動回顧有阻尼自由振動微分方程1.1線性振動系統回顧有阻尼受迫振動微分方程

微分方程全解：齊次方程的通解+非齊次方程的特解

返回首頁1.1線性振動系統回顧線性有阻尼受迫振動：共振特性01230123451.1線性振動系統回顧

問題1——非線性(振動)系統的模型？問題2——無外激的非線性系統特性？問題3——有外激的非線性系統特性？由“線性”到“非線性”

返回首頁Section1非線性系統簡介目錄1.1線性振動回顧

1.2非線性系統模型

1.3非線性系統示例1.2非線性系統模型具有周期激勵的非線性系統：達芬（Duffing）方程1.2非線性系統模型非線性振動模型：慣性力阻尼力彈性力激勵力對于多數機械系統1.2非線性系統模型將二階常微分方程降階為一階常微分方程：任意的高維非線性振動系統可表示為：狀態方程1.2非線性系統模型狀態方程：自治系統（時不變系統）特例情況非自治系統（時變系統）平衡點：

返回首頁Section1非線性系統簡介目錄1.1線性振動系統回顧

1.2非線性系統模型

1.3非線性系統示例1.3非線性系統示例小車單擺

小車倒立擺系統1.3非線性系統示例

小車倒立擺系統單擺重心在水平和豎直方向上的牛頓定律：取對重心的力矩可得到轉矩方程：小車在水平方向上的牛頓定律：1.3非線性系統示例

小車倒立擺系統1.3非線性系統示例

帶旋轉制動的平移振蕩器簡化的動力學方程？狀態方程？Section1非線性系統簡介習題一個與無限長總線連接的同步發電機：用角位移、角速度和電壓作為狀態變量，寫出狀態方程；(b)設求出所有平衡點；(c)思考：假設時間常數比較大時的方程形式？習題

【動力系統