學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精PAGE16學必求其心得，業必貴于專精PAGE第2課時圓與圓的位置關系學習目標1。理解圓與圓的位置關系的種類。2。掌握圓與圓的位置關系的代數判定方法與幾何判定方法，能夠利用上述方法判定兩圓的位置關系.3.體會根據圓的對稱性靈活處理問題的方法和它的優越性．知識點兩圓位置關系的判定思考圓與圓的位置關系有幾種？如何判斷圓與圓的位置關系？梳理兩圓位置關系的判定已知兩圓C1：（x－x1)2＋(y－y1）2＝req\o\al(2，1），C2：(x－x2)2＋（y－y2)2＝req\o\al（2，2），則圓心距d＝|C1C2|＝________________________________.兩圓C1,C2有以下位置關系：位置關系公共點個數圓心距與半徑的關系圖示兩圓相離____個d〉r1＋r2兩圓內含d<｜r1－r2|兩圓相交____個｜r1－r2｜〈d〈r1＋r2兩圓內切____個d＝｜r1－r2｜兩圓外切d＝r1＋r2特別提醒：（1)僅從圓與圓的交點個數判定是不科學的,如有1個交點,就不能判定是內切不是外切，應再結合圖像判定．（2)判定圓與圓位置的方法有幾何法和代數法，代數法要注意相切時的判定．（3）一般情況下，我們盡量選擇利用幾何法進行判斷，以減少運算量，提高解題的速度．類型一兩圓的位置關系eq\x（命題角度1兩圓位置關系的判斷）例1已知圓M:x2＋y2－2ay＝0（a＞0）截直線x＋y＝0所得線段的長度是2eq\r（2），則圓M與圓N：（x－1）2＋（y－1）2＝1的位置關系是（)A．內切 B．相交C．外切 D．相離反思與感悟判斷圓與圓的位置關系的一般步驟（1）將兩圓的方程化為標準方程（若圓方程已是標準形式,此步驟不需要）．（2)分別求出兩圓的圓心坐標和半徑長r1,r2.（3）求兩圓的圓心距d。(4）比較d與|r1－r2|，r1＋r2的大小關系．（5)根據大小關系確定位置關系．跟蹤訓練1已知圓C1:x2＋y2－2x＋4y＋4＝0和圓C2：4x2＋4y2－16x＋8y＋19＝0，則這兩個圓的公切線的條數為（）A．1或3B．4C．0D．2eq\x（命題角度2已知兩圓的位置關系求參數）例2當a為何值時,兩圓C1:x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2:x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0：(1)外切；（2）相交;（3）相離．反思與感悟(1）判斷兩圓的位置關系或利用兩圓的位置關系求參數的取值范圍有以下幾個步驟①將圓的方程化成標準形式,寫出圓心和半徑．②計算兩圓圓心的距離d。③通過d,r1＋r2，｜r1－r2|的關系來判斷兩圓的位置關系或求參數的范圍，必要時可借助于圖形，數形結合．（2)應用幾何法判定兩圓的位置關系或求參數的范圍是非常簡單清晰的，要理清圓心距與兩圓半徑的關系．跟蹤訓練2若圓C1：x2＋y2＝16與圓C2：（x－a)2＋y2＝1相切，則a的值為（)A．±3 B．±5C．3或5 D．±3或±5類型二兩圓的公共弦問題例3已知兩圓x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0。(1)判斷兩圓的位置關系;(2)求公共弦所在的直線方程；（3）求公共弦的長度．反思與感悟（1）當兩圓相交時,公共弦所在的直線方程的求法若圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則兩圓公共弦所在的直線方程為(D1－D2)x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0.(2)公共弦長的求法①代數法：將兩圓的方程聯立,解出交點坐標，利用兩點間的距離公式求出弦長．②幾何法:求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構成的直角三角形,根據勾股定理求解．跟蹤訓練3(1）兩圓相交于兩點A(1,3）和B（m，－1)，兩圓圓心都在直線x－y＋c＝0上,則m＋c的值為____________．(2)求圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在的直線被圓C3：(x－1)2＋（y－1)2＝eq\f(25,4）截得的弦長．類型三圓系方程及應用例4求圓心在直線x－y－4＝0上,且過兩圓x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交點的圓的方程．反思與感悟當經過兩圓的交點時，圓的方程可設為（x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0，然后用待定系數法求出λ即可．跟蹤訓練4求與圓x2＋y2－2x＝0外切且與直線x＋eq\r(3）y＝0相切于點M(3，－eq\r(3))的圓的方程．1．兩圓x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置關系是（）A．內切 B．相交C．外切 D．相離2．圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋（y－3)2＝1的內公切線有且僅有(）A．1條 B．2條C．3條 D．4條3．圓x2＋y2－4x＋6y＝0和圓x2＋y2－6x＝0交于A,B兩點，則AB的垂直平分線的方程是(）A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝04．已知以C(4,－3)為圓心的圓與圓O：x2＋y2＝1相切，則圓C的方程是________________________________________________________________________．5．若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦長為2eq\r（3)，則a＝________.1．判斷兩圓的位置關系的方法（1）由兩圓的方程組成的方程組有幾個實數解確定,這種方法計算量比較大,一般不用．(2)依據圓心距與兩圓半徑的和或兩圓半徑的差的絕對值的大小關系．2．當兩圓相交時,把兩圓的方程作差消去x2和y2就得到兩圓的公共弦所在的直線方程．3．求弦長時，常利用圓心到弦所在的直線的距離求弦心距，再結合勾股定理求弦長．答案精析問題導學知識點思考圓與圓的位置關系有五種，分別為：相離、外切、相交、內切、內含．可根據兩圓連心線的長與兩圓半徑的和差關系判定．梳理eq\r（x1－x22＋y1－y22）021題型探究例1B[由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x2＋y2－2ay＝0，,x＋y＝0,）)得兩交點分別為(0,0），（－a，a）．∵圓M截直線所得線段的長度為2eq\r(2），∴eq\r（a2＋－a2)＝2eq\r（2），又a＞0，∴a＝2.∴圓M的方程為x2＋y2－4y＝0，即x2＋（y－2)2＝4，圓心為M(0,2）,半徑為r1＝2.又圓N：（x－1）2＋（y－1）2＝1,圓心為N(1,1)，半徑為r2＝1，∴｜MN｜＝eq\r（0－12＋2－12）＝eq\r（2）?！遰1－r2＝1，r1＋r2＝3,1＜｜MN|＜3，∴兩圓相交．］跟蹤訓練1D例2解將兩圓方程寫成標準方程，則C1：（x－a)2＋（y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4.∴兩圓的圓心和半徑分別為C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1,a），r2＝2。設兩圓的圓心距為d，則d2＝(a＋1)2＋（－2－a)2＝2a2＋6a＋5。（1)當d＝5,即2a2＋6a＋5＝25時，兩圓外切，此時a＝－5或a＝2。（2)當1＜d＜5，即1＜2a2＋6a＋5＜25時，兩圓相交,此時－5＜a＜－2或－1＜a＜2.（3）當d＞5，即2a2＋6a＋5＞25時，兩圓相離，此時a＞2或a＜－5.跟蹤訓練2D例3解（1)將兩圓方程配方化為標準方程，則C1:（x－1)2＋(y＋5）2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，∴圓C1的圓心坐標為(1，－5)，半徑為r1＝5eq\r（2），圓C2的圓心坐標為（－1,－1)，半徑為r2＝eq\r(10）.又∵｜C1C2|＝2eq\r（5），r1＋r2＝5eq\r（2)＋eq\r（10)，|r1－r2｜＝｜5eq\r(2）－eq\r(10)｜,∴|r1－r2|〈|C1C2|〈r1＋r2，∴兩圓相交．(2)將兩圓方程相減,得公共弦所在的直線方程為x－2y＋4＝0.（3)由(2）知圓C1的圓心（1，－5）到直線x－2y＋4＝0的距離為d＝eq\f（|1－2×－5＋4｜，\r（1＋－22））＝3eq\r(5),∴公共弦長為l＝2eq\r(r\o\al(2，1)－d2)＝2eq\r（50－45)＝2eq\r(5)。方法二設兩圓相交于點A，B，則A，B兩點滿足方程組eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，）)解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－4，，y＝0））或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝0，，y＝2，）)∴|AB｜＝eq\r(－4－02＋0－22)＝2eq\r(5)。即公共弦長為2eq\r(5）.跟蹤訓練3（1)3(2)解由題意將兩圓的方程相減，可得圓C1和圓C2公共弦所在的直線l的方程為x＋y－1＝0。又圓C3的圓心坐標為（1，1)，其到直線l的距離為d＝eq\f(|1＋1－1｜，\r(12＋12）)＝eq\f（\r（2)，2)，由條件知，r2－d2＝eq\f(25，4）－eq\f（1,2）＝eq\f（23，4）,所以弦長為2×eq\f(\r（23),2）＝eq\r（23).例4解方法一設經過兩圓交點的圓系方程為x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6）＝0(λ≠－1)，即x2＋y2－eq\f(4,1＋λ）x－eq\f(4λ,1＋λ)y－6＝0，所以圓心坐標為(eq\f(2，1＋λ)，eq\f(2λ，1＋λ）)．又圓心在直線x－y－4＝0上，所以eq\f（2，1＋λ)－eq\f(2λ,1＋λ）－4＝0，即λ＝－eq\f（1，3)。所以所求圓的方程為x2＋y2－6x＋2y－6＝0.方法二由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4x－6＝0，,x2＋y2－4y－6＝0，）)得兩圓公共弦所在直線的方程為y＝x.由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝x，，x2＋y2－4y－6＝0，））解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x1＝－1，,y1＝－1，）)eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x2＝3，，y2＝3。）)所以兩圓x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交點坐標分別為A（－1，－1），B（3,3），線段AB的垂直平分線所在的直線方程為y－1＝－（x－1)．由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（y－1＝－x－1，,x－y－4＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3,，y＝－1，)）即所求圓的圓心為(3,－1)，半徑為eq\r（3－32＋[3－－1］2)＝4.所以所求圓的方程為（x－3)2＋（y＋1)2＝16。跟蹤訓練4解設所求圓的方程為（x－a)2＋（y－b）2＝r2（r〉0），由題知所求圓與圓x2＋y2－2x＝0外切，則eq\r（a－12＋b2)＝r＋1。①又所求圓過點M的切線為x＋eq\r(3)y＝0,故eq\f（b＋\r（3），a－3）＝eq\