數列的概念北師大版高中數學必修5第一章《數列》一、數列的概念1.定義按一定次序排列的一列數叫做數列.2.數列是特殊的函數

從函數的觀點看數列,對于定義域為正整數集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函數來說,數列就是這個函數當自變量從小到大依次取值時對應的一系列函數值,其圖象是無限個或有限個孤立的點.

注:依據此觀點可以用函數的思想方法來解決有關數列的問題.復習回顧二、數列的表示1.列舉法2.圖象法3.通項公式法

若數列的每一項

an

與項數

n

之間的函數關系可以用一個公式來表達,即

an=f(n),則

an=f(n)

叫做數列的通項公式.三、數列的分類1.按項數：有窮數列和無窮數列；2.按

an

的增減性：遞增、遞減、常數、擺動數列；

a1,a2,a3,……an,…….簡記為：{an}數列的圖象是一群孤立的點.1.據所給數列的前幾項求其通項公式時，需仔細觀察分析，

抓住以下幾方面的特征：

(1)分式中分子、分母的特征；

(2)相鄰項的變化特征；

(3)拆項后的特征；

(4)各項符號特征等，并對此進行歸納、聯想.練習1：寫出下列數列的一個通項公式：(1)3,5,9,17,33，…；(2)，2，，8，，…；(3)，2，…；(4)1,0,1,0，….問題8：如果一個數列{an}的首項a1=1，從第二項起每一項等于它的前一項的2倍再加1，即an=2an-1+1（n∈N，n>1），（※）你能寫出這個數列的前三項嗎？像上述問題中給出數列的方法叫做遞推法，其中an=2an-1+1(n>1)稱為遞推公式。遞推公式也是數列的一種表示方法。遞推公式是數列所特有的表示法，它包含兩個部分，一是遞推關系，一是初始條件，二者缺一不可．

數列的表示1.列舉法2.圖象法3.通項公式法

若數列的每一項

an

與項數

n

之間的函數關系可以用一個公式來表達,即

an=f(n),則

an=f(n)

叫做數列的通項公式.4.遞推公式法

如果已知數列的第一項(或前幾項),

且任一項與它的前一項(或前幾項)的關系可以用一個公式來表示,

這個公式就叫做數列的遞推公式.注:遞推公式有兩要素:遞推關系與初始條件.例1

設數列滿足

寫出這個數列的前五項。練習2：根據數列的通項公式，寫出它的前5項。5，8，11，14，172，4，8，16，323，6，3，-3，-61，2，5/2，29/10，941/2903.已知數列

{an}

滿足

a1=1,an=3n-1+an-1(n≥2).(1)求

a2,

a3;(2)證明:an=.3n-12(1)解:

∵a1=1,an=3n-1+an-1(n≥2),∴a2=32-1+a1=3+1=4,∴a3=33-1+a2=9+4=13.故

a2,

a3的值分別為

4,13.(2)證:

∵a1=1,an=3n-1+an-1,∴an-an-1=3n-1.∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+3+32+…+3n-1

3n-12故

an=.3n-123n-13-13-1==.分析：數列的增減性遞增數列——an

＜an+1遞減數列——an

＞an+1常數列:an=an+1擺動數列:an－1

＜an

且an

＞an+1方法：作差比較解:例4：求數列中的數值最大的項.3.已知數列{an}的通項公式為an＝n2－5n＋4.(1)數列中有多少項是負數？

(2)n為何值時，an有最小值？并求出最小值.解：(1)由n2－5n＋4＜0，解得1＜n＜4.∵n∈N*，∴n＝2,3.∴數列中有兩項a2，a3是負數.(2)∵an＝n2－5n＋4＝n(n-)2-的對稱軸方程為n＝又n∈N*，∴n＝2或n＝3時，an有最小值，其最小值為a2＝a3＝－2.5.已知數列

{an}

的通項

an=(n+1)()n(nN*),試問該數列{an}

有沒有最大項?若有,求出最大項和最大項的項數;若沒有,說明理由.1110∴當

n<9

時,an+1-an>0,即

an+1>an;當

n>9

時,an+1-an<0,即

an+1<an.∴數列

{an}

有最大項,其項數為

9

或

10,其值為解:∵

an+1-an=(n+2)(

)n+1-(n+1)(

)n

11101110=(

)n?

.1110119-n

當

n=9

時,an+1-an=0,即

a10=a9;10?(

)9.1110解法二:由

an≥an+1an≥an-1(n+1)(

)n≥n(

)n-111101110(n+1)(

)n≥(n+2)(

)n+111101110(n+1)(

)≥n

1110n+1≥(n+2)(

)11109≤n≤10.∴數列

{an}

有最大項,其項數為