孟彥如地理空間分析與建模課程內容第1章導論第2章空間分析與建模基礎第3章地形可視化分析第4章空間分析建模實例應用一、空間實體及描述空間實體（spatialentity）是指在給定的時刻具有確定的空間位置和形態特征，并具有地理意義的地理空間物體。然而，確定的形態并不意味著空間實體必須是可見的或可觸及的實體，其可以是河流、道路、城市等看得見摸得著的實體，也可以是邊界、航線等不可見的實體。其所具有的地理意義指在特定的地學應用環境中被確定為有空間分析的必要。第2章空間分析與建模基礎2.1空間實體及空間關系空間實體是對地理世界的簡化和抽象，這種簡化和抽象屬于人類認識范疇。因此，不同的研究者對于同樣的空間實體進行簡化和抽象的結果不盡相同。

典型的例子有，河流形狀會因采樣點的測量疏密程度不同而呈現出不同的線狀形態；植被的覆蓋區域范圍可能會隨著植被覆蓋閾值的差異而發生變化；城市的表達類型會依據分析尺度或者表現為小比例尺上的點狀實體，或者表現為大比例尺上的面狀實體。第2章空間分析與建模基礎2.1空間實體及空間關系實體屬性是指與空間位置無直接關系的特征變量數據，其具有屬性值的概念并且有等級區分，通常可將其分為定性和定量兩種形式。定性屬性數據用以表述空間實體性質方面的特征，包括名稱、類型和種類等，多用文字和符號表示；定量屬性數據用以表述了實體數量方面的特征，包括數量、質量和等級等，多用數字形式表示。第2章空間分析與建模基礎2.1空間實體及空間關系空間實體作為地理信息系統中不可再分的最小單元現象，一般以零維、一維、二維、三維和分數維存在，主要包括點、線、面和體等基本類型。

比如，一部分空間對象自身大小在地理研究中可以忽略，因此可以用一個點來表示，而另外一些具有不可忽略的空間延展性的空間對象，如河流、湖泊等就可以分別用線和面來表示。第2章空間分析與建模基礎2.1空間實體及空間關系實體要素是點、線、面和體等多種地理實體的復雜組合，復雜的空間對象可以包含有拓撲關聯的若干個簡單的空間實體，空間實體的組合方式可用于說明研究對象的的空間特征。

例如，被稱為世界上島嶼最多的浙江千島湖，該湖泊包含星羅棋布的1078個島嶼，包括比較出名的梅峰觀島、猴島、龍山島和黃山島等第2章空間分析與建模基礎2.1空間實體及空間關系通常，空間實體的描述主要包含以下內容：編碼、位置、空間特征、行為、屬性、元數據、空間關系、衍生信息及補充描述。編碼可用于區別不同的實體，通常包括分類碼和識別碼，分類碼標識實體所屬的類別，識別碼是對同類的每個實體依次進行唯一標識；位置通常用坐標值或其他形式給出實體的空間位置；空間特征是除位置信息以外的其他特征，包括空間維數、空間特征類型及實體類型組合等；實體的行為和功能是指在數據采集過程中不僅要重視實體的靜態描述，還要收集那些動態的變化，如島嶼的侵蝕、污染的擴散或建筑的變形等；第2章空間分析與建模基礎2.1空間實體及空間關系屬性指明地理實體對應的非空間信息，如道路寬度、汽車流量和交通規則等；元數據用于說明實體數據的來源、質量等相關信息，如一個實體有許多個名稱；空間關系說明該實體與其他實體間的關系信息；衍生信息描述空間實體的其他補充信息。第2章空間分析與建模基礎2.1空間實體及空間關系一般而言，空間實體具有三個基本特征：①空間特征用以表示現象的空間位置或現在所在的地理位置，它又稱為幾何特征或定位特征；②時間特征用以描述隨時間變化的空間實體或地理現象的時刻、時段和時序，例如，人口數的逐年變化；③屬性特征用以表示實際現象或特征，例如變量、級別、數量和名稱等特征。第2章空間分析與建模基礎2.1空間實體及空間關系二、實體的空間特征空間實體的空間特征可用空間維數、空間特征類型和空間類型組合方式來表征。1．空間維數空間實體的維數有零維、一維、二維、三維以及分數維之分，對應著不同的空間特征類型，即點、線、面和體。空間實體的維數表示可以隨著比例尺和尺度的不同而改變，比如一條河流在小比例尺上可表示成線狀實體（單線河），在大比例尺上可表示成面狀實體（雙線河）；一個城市在小比例尺上可表示成點狀實體，在大比例尺上可表示成面狀實體。第2章空間分析與建模基礎2.1空間實體及空間關系

2．空間特征類型空間實體通常根據空間特征進行分類，從而可劃分為點狀實體（零維）、線狀實體（一維）、面狀實體（二維）和體狀實體（三維）。復雜的地理實體由這些類型的實體構成。1)點狀實體點狀實體常用來表達零維度具有位置重要性的地理實體，是構成線、面或體的基本組成元素，通常作為幾何、物理、矢量圖形和其他領域的最基本的組成部分。點狀實體主要考慮位置、與其他實體的關系以及屬性特征，而不考慮長度、面積、形狀等其他空間特征，常用以描述給定空間中具有位置重要性而又比較小的地理現象，其對地理實體的表達形式依賴于空間數據的比例尺，比如在二維上具有無限小的面積，或者三維上具有無限小的體積，均可利用點狀實體進行描述。第2章空間分析與建模基礎2.1空間實體及空間關系

2)線狀實體空間線性實體常用于表達一維空間中具有長度重要性的地理實體，或用來描述空間對象之間的邊界。線狀實體是具有相同屬性的點的軌跡、線或折線，具有長度、曲率和方向等特征。長度是線狀實體從起點到終點的總長，曲率用于表示線狀實體的彎曲程度，線狀實體的節點順序表示方向性。線狀實體是組成面或體的架構要素，不具備寬度、高度、面積和體積等空間特征。空間分析中的線狀實體包括線段、弦列、鏈、弧段和網絡等形式。第2章空間分析與建模基礎2.1空間實體及空間關系3)面狀實體面狀實體常用于表示二維歐氏平面上一組閉合弧段所包圍的空間區域，常用于定義具有獨立區域的實體的分布邊界，比如自然資源區域、行政區域等特定的實體。面狀實體由閉合弧段所界定，因此又被稱為多邊形。面積、周長、中心及質心等是面狀實體的重要空間特征，面狀實體的空間部分表現為三種基本形態：全域連續分布、局域成片分布和離散分布。第2章空間分析與建模基礎2.1空間實體及空間關系4)體狀實體體狀實體常用于描述三維空間中一組或多組閉合曲面所包圍的空間對象，具有長度、寬度、高度、表周長、表面積和體積等空間特征，包括體元、標識體元、三維組合空間目標及體空間等對象。通常情況下，三維指的是立體空間，還可以是二維對象與時間維的組合，例如利用GIS對土地、沙漠、洪水等對象進行演變過程分析，獲得空間對象變化的宏觀信息，方便管理者依據空間對象變化趨勢進行宏觀決策。第2章空間分析與建模基礎2.1空間實體及空間關系3．空間類型組合方式現實世界的各種現象比較復雜，往往由上述不同的空間類型組合而成，例如：依據某些空間類型或幾種空間類型的組合將空間問題表達出來；復雜實體有可能由不同維數和類型的空間單元組合而成；某一類型的空間單元組合形成一個新的類型或一個復合實例；某一類型的空間實體轉換為另一類型；具有二重性的空間實體通過不同的維數組合而成。點-點、點-線、點-面、線-點、線-線、線-面、面-點、面-線及面-面等各種不同的空間實體類型組合情況如圖所示。第2章空間分析與建模基礎2.1空間實體及空間關系第2章空間分析與建模基礎2.1空間實體及空間關系空間實體類型組合三、實體的時間特征

時間特征指地理現象發生或地理數據采集的時刻或時段，時間特征信息對環境模擬分析非常重要，越來越受到地理信息系統學界的重視。地理實體及現象會隨時間而產生變化，其變化的周期有超短期的、短期的和長期的等等。時間屬性是指地理實體的時間變化或數據采集的時間等。嚴格來講，空間數據總是在某一特定時間或時段內采集得到或計算產生的。由于有些空間數據隨時間變化相對較慢，因而有時被忽略；有些時候，時間特征數據可以被看成是一個專題特征數據。第2章空間分析與建模基礎2.1空間實體及空間關系如果只是地理實體的屬性數據在變化，則可以將不同時間的屬性數據均記錄下來，作為該地理實體的屬性數據。例如在處理統計區域的人口數時，區域空間位置不變，只要把新的人口數及對應的時間加入到屬性數據表中即可。當地理實體的空間位置隨時間變化時，如政區界線的變化、地塊的合并與重新劃分等，這時必須把地理實體的空間特征的變化也記錄下來，如記錄實體的增加、刪除、改變、移動及合并等，同時對實體進行時間標記。第2章空間分析與建模基礎2.1空間實體及空間關系對空間實體或組合實體的時間特征的描述主要有三種方式：①作為記錄事件或屬性的基本成分；②作為沒有空間特征發生改變的實體的一個屬性；③作為觀察空間實體變化的時間參考。第2章空間分析與建模基礎2.1空間實體及空間關系四、實體的屬性特征屬性數據是描述實體的屬性特征的數據，一般包括名稱、等級、數量和代碼等多種形式。例如，道路可以數字化為柵格的一組連續像元或者矢量的線要素，而道路除了空間特征之外，同時包含了寬度、等級、建筑方法、建筑日期、交通規則、汽車流量等屬性特征。屬性數據的記錄方式主要有兩種。一種是直接錄入，當屬性數據量較大時，通常與空間數據分開存儲，將屬性數據編輯后單獨輸入數據庫存儲為屬性文件，并通過關鍵碼與幾何數據相關聯；另一種是屬性編碼，將與空間幾何數據密切有關的屬性數據進行編碼，編碼為一組有序且易于計算機識別的符號，直接記錄在柵格或矢量數據的屬性數據文件中，便于與空間數據一起存儲管理。第2章空間分析與建模基礎2.1空間實體及空間關系1．編碼內容屬性編碼一般包括三個方面的內容。(1)登記部分：用來標識屬性數據的序號，可以是簡單的連續編號，也可劃分不同層次進行順序編碼；(2)分類部分：用來標識屬性的地理特征，可采用多位代碼反映多種特征；(3)控制部分：用來通過一定的查錯算法，檢查在編碼、錄入和傳輸中的錯誤，在屬性數據量較大情況下具有重要意義。第2章空間分析與建模基礎2.1空間實體及空間關系2．編碼方法較為常用的編碼方法有層次分類編碼法與多源分類編碼法兩種基本類型。(1)層次分類編碼法：按照分類對象的從屬和層次關系為排列順序的一種編碼方案，其優點是能明確表示出分類對象的類別，代碼結構有嚴格的隸屬關系。(2)多源分類編碼法：又稱獨立分類編碼法，是指對于一個特定的分類目標，根據諸多不同的分類依據分別進行編碼，各位數字代碼之間并沒有隸屬關系。第2章空間分析與建模基礎2.1空間實體及空間關系3．編碼的一般過程(1)列出全部制圖對象清單；(2)制定對象分類、分級原則和指標，將制圖對象進行分類、分級；(3)擬定分類代碼系統；(4)設定代碼及其格式，代碼使用的字符和數字、碼位長度和碼位分配等；(5)建立代碼和編碼對象的對照表，這是編碼最終成果檔案，是數據輸入計算機進行編碼的依據。第2章空間分析與建模基礎2.1空間實體及空間關系五、實體的空間關系

空間實體并非孤立存在的，一種空間實體與其他空間實體以各種方式相聯系，空間關系的描述有定量的也有定性的，有精確的也有模糊的。空間關系的認識與空間數據模型、空間實體抽象以及人類的認知、語言及心理因素有著密切聯系。

第2章空間分析與建模基礎2.1空間實體及空間關系空間關系通常可以分為三類：度量空間關系、順序空間關系和拓撲空間關系。

度量空間關系(metricspatialrelationship)主要指空間對象之間的距離關系。

順序空間關系(orderspatialrelationship)描述空間實體之間在空間上的排序關系，此種順序總是對特定的前提而言的。

拓撲空間關系(topologicalspatialrelationship)指在拓撲變換下能夠保持不變的幾何屬性。第2章空間分析與建模基礎2.1空間實體及空間關系

拓撲空間關系指滿足拓撲幾何學原理的各空間數據間的相互關系，即用結點、弧段和多邊形所表示的實體之間的鄰接、關聯和包含等關系。由于拓撲關系本身就屬于空間范疇，因此拓撲空間關系也可以簡稱為拓撲關系。第2章空間分析與建模基礎2.1空間實體及空間關系Egenhofer等(1991，1993)以點集拓撲學理論為工具，描述了一切可能的空間物體間的拓撲關系。他們定義了空間要素模型中的9-交模型（9-IM）。如對于兩個簡單實體A和B，用B(A)、B(B)表示A和B的邊界，I(A)、I(B)表示A和B的內部，E(A)、E(B)表示A和B的余，則9-交模型的表示如表所示。第2章空間分析與建模基礎2.1空間實體及空間關系空間要素模型的9-交模型

每一個元素都有“空”和“非空”兩種取值，因此9個元素總共可以產生29=512種可能的空間拓撲關系。然而，并非這512種關系都實際存在，通常為了應用方便會將拓撲空間關系簡化，簡化后的空間拓撲關系包括相鄰、鄰接、關聯和包含等（周成虎，2011）。

拓撲相鄰(adjacent)是指存在于同類或不同類的空間對象之間相互鄰近而不接觸的關系。結點N5分別與結點Nl、N2、N3和N4相鄰，與弧段e1、e2、e3、e4、e5和e6相鄰，與多邊形P1和P2相鄰；弧段e7分別與弧段e1、e2、e3、e4、e5和e6相鄰，與多邊形P1和P2相鄰；多邊形P4分別與多邊形P1和P2相鄰。第2章空間分析與建模基礎2.1空間實體及空間關系拓撲關系示意圖

拓撲鄰接(connection)是指存在于同類的空間對象之間的鄰接關系，如結點通過弧段互相鄰接、弧段通過結點互相鄰接以及多邊形通過弧段相互鄰接等。如圖2-2所示，結點N1分別與結點N2、N3和N4鄰接；弧段e1分別與弧段e2、e3、e5和e6鄰接；多邊形P1分別與多邊形P2和P3鄰接。第2章空間分析與建模基礎2.1空間實體及空間關系拓撲關系示意圖

拓撲關聯(conjunction)是指存在于不同類空間對象之間的關聯關系，如結點與弧段相關聯、弧段與多邊形相關聯。如圖2-2所示，結點N1分別與弧段e1、e3和e6相關聯；弧段e4分別與多邊形P2和P3相關聯。第2章空間分析與建模基礎2.1空間實體及空間關系拓撲關系示意圖

拓撲包含(inclusion)是指存在于同類或不同類，但不同級別空間對象之間的包含關系，一般是指高一級別的空間對象對低一級別的空間對象的空間包含關系。如圖2-2所示，多邊形P3包含多邊形P4、弧段e7和結點N5。拓撲關系示意圖第2章空間分析與建模基礎2.1空間實體及空間關系

拓撲關系對地理信息系統的數據處理及分析有著重要的意義，其具體表現為：(1)拓撲關系有利于確定多個實體間的空間位置關系。因為拓撲關系能清楚地反映實體之間的邏輯結構關系，不隨地圖投影而變化，相比幾何數據而言具有更大的穩定性，無需利用坐標或距離，就可以確定多個空間實體間的空間位置關系。(2)利用拓撲關系有利于空間要素的查詢。例如某條鐵路通過哪些地區，某縣與哪些縣鄰接；又如某條河流能為哪些地區的居民提供水源，某湖泊周圍的土地類型有哪些等地理問題，都需要利用拓撲數據來求解。(3)拓撲關系有利于重建地理實體。例如根據弧段構建多邊形來實現道路的選取，以進行最佳路徑的計算和選擇等。第2章空間分析與建模基礎2.1空間實體及空間關系空間數據的表示與組織是空間分析和地理建模的基礎，其表示方法和結構制約著空間分析方法的應用。空間數據結構是對空間數據的合理組織，是適合于計算機系統存儲、管理和處理地學圖形的邏輯結構，是地理實體的空間排列方式和相互關系的抽象描述與表達。GIS中最常用的空間數據結構有兩種：矢量數據結構和柵格數據結構。這兩種數據結構都可用來描述地理實體的點、線、面三種基本類型。現實世界的地理實體都可以通過這兩種數據結構來表示第2章空間分析與建模基礎2.2空間數據結構柵格和矢量數據結構表達自從20世紀70年代美國學術界提出地理信息系統中的兩種空間數據結構方式以來，目前地理信息系統的軟件以矢量數據結構為主流，在涉及遙感圖象處理及數字地形模型的應用中，以柵格數據為主；在交通、公共設施、市場等領域的地理信息系統中，通常矢量數據結構占優勢；而在資源和環境管理領域中常常同時采用矢量數據結構和柵格數據結構。第2章空間分析與建模基礎2.2空間數據結構柵格數據結構是最簡單、最直觀的空間數據結構，又稱為網格結構（raster或gridcell）或像元結構(pixel)，是指將空間分割成大小規則、緊密相鄰、均勻分布的網格陣列，每個網格給出相應的屬性值來表示地理實體的一種數據表達形式。其中，每個網格單元稱為像元或像素。柵格數據結構實際上就是像元陣列，每個像元是柵格數據中最基本的信息存儲單元，其坐標位置可以用行號和列號確定，像元大小決定柵格數據點的精確程度。第2章空間分析與建模基礎2.2空間數據結構一、柵格數據結構點實體在柵格數據結構中由一個像元表示，線實體由一系列相互連接的像元串的集合組成，面實體則由聚集在一起的相鄰像元團塊表示。柵格陣列類似于數學中的矩陣，在計算機中較容易存儲、操作和顯示，因此這種數據結構算法簡單，容易實現，且易于擴充和修改特別是易于同遙感影像數據結合處理，給地理空間數據處理帶來了極大的方便。二維表示的柵格數據結構有柵格矩陣結構、游程編碼結構和四叉樹結構。柵格矩陣結構示意圖第2章空間分析與建模基礎2.2空間數據結構柵格數據的數據量與格網間距的平方成反比，較高的幾何精度的代價是數據量的極大增加。因為只使用行和列來作為空間實體的位置標識，故難以獲取空間實體的拓撲信息，難以進行網絡分析等操作。柵格數據結構不是面向實體的，各種實體往往是疊加在一起反映出來的，因而難以識別和分離。對點實體的識別需要采用匹配技術，對線實體的識別需采用邊緣檢測技術，對面實體的識別則需采用影像分類技術，這些技術不僅費時，而且不能保證完全正確。柵格數據是計算機和其他信息輸入輸出設備廣泛使用的一種數據模型，如電視機、顯示器、打印機等的空間尋址，甚至專門用于矢量圖形的輸入輸出設備，如數字化儀、矢量繪圖儀及掃描儀等，其內部結構實質上也是柵格。第2章空間分析與建模基礎2.2空間數據結構矢量數據結構是一種通過記錄坐標方式，利用歐幾里得幾何學中的點、線、面及其組合體來表示地理實體空間分布的數據表達方式。它直觀地表達地理空間，精確地表示實體的空間位置，且能夠通過拓撲關系來描述各個實體之間的空間關系，有利于GIS空間分析的實現。矢量數據結構對地圖上出現的多維實體具有較強表達力，能方便的進行比例尺變換、投影轉換以及輸出到繪圖儀和其他顯示設備上。第2章空間分析與建模基礎2.2空間數據結構二、矢量數據結構采用矢量數據結構表達空間要素，不同的空間特征具有不同的矢量維數。點對象的維數為零，且只有位置性質，由獨立的坐標對來表達。線對象是一維，有一系列坐標點構成且有長度特性，可以是平滑曲線或者是折線（相連的直線段），平滑曲線一般可用數學方程擬合，直線段可表示曲線的近似值，線要素之間可以相交或相連成為網絡。面對像是二維的且有面積和邊界性質，由首尾相連的多個線要素構成，其起止點是重合的，面要素的邊界把區域分成內部和外部，面要素可以是單獨的也可以是相連的，可以在其他面要素內形成島，也可以是互相疊置的。第2章空間分析與建模基礎2.2空間數據結構矢量數據結構作為一種基于線和邊界的編碼方法，其復雜性導致了操作和算法的復雜化，難以有效地支持影像代數運算。例如：不能有效地進行點集的集合運算（如疊加）；空間實體需要逐點、逐線、逐面地查詢；矢量與柵格數據不能直接運算（如聯合查詢和空間分析）以及聯合空間分析前必須進行數據格式轉換。第2章空間分析與建模基礎2.2空間數據結構矢量數據結構和柵格數據結構的優缺點是互補的，為了有效地實現GIS中的各項功能往往需要同時使用兩種數據結構，并在GIS中實現兩種數據結構的高效轉換。第2章空間分析與建模基礎2.2空間數據結構柵格、矢量數據的優缺點對于面狀地物，矢量數據通常采用邊界表達的方法，將其定義為多邊形的邊界和一內部點，多邊形的中間區域是空洞。而柵格數據則用元子空間充填表達的方法，將多邊形內任一點都直接與某一個或某一類地物聯系。顯然，后者是一種數據直接表達目標的理想方式。第2章空間分析與建模基礎2.2空間數據結構三、矢柵一體化數據結構如果將矢量方法表示的線狀地物也用元子空間充填表達的話，就能將矢量和柵格的概念辨證統一起來，進而發展矢量柵格一體化的數據結構。假設在對一個線狀目標數字化采集時，恰好在路徑所經過的柵格內部獲得了取樣點，這樣的取樣數據就具有矢量和柵格雙重性質。一方面，它保留了矢量的全部性質，以目標為單元直接聚集所有的位置信息，并能建立拓撲關系；另一方面，它建立了柵格與地物的關系，即路徑上的任一點都直接與目標建立了聯系。第2章空間分析與建模基礎2.2空間數據結構為了建立矢量與柵格一體化數據結構，需要對點、線、面目標數據結構的存儲要求作如下的統一約定：(1)點狀目標，因為沒有形狀和面積，在計算機內部只需要表示該點的一個位置數據及與結點關聯的弧段信息。(2)線狀目標，具有形狀但沒有面積，在計算機內部需用一組元子來填滿整個路徑，并表示該弧段相關的拓撲信息。(3)面狀目標，既有形狀又有面積，在計算機內部需表示為由元子填滿路徑的一組邊界和由邊界圍成的緊湊空間區域。第2章空間分析與建模基礎2.2空間數據結構

無論是點狀地物、線狀地物還是面狀地物均采用面向目標的描述方法，因而它可以完全保持矢量的特性，而采用元子空間充填表達建立了位置與地物的聯系，又使之具有柵格的性質，這就是一體化數據結構的基本概念。從原理上說，這是一種以矢量的方式來組織柵格數據的數據結構。第2章空間分析與建模基礎2.2空間數據結構人類對地球形狀的認識是一個漫長的過程，由于古代的科學技術不發達，人類對生活空間的認識曾相當局限。如早在我國春秋時期就曾有“天圓地方說”，后來稱之為“天如斗笠，地如覆盤”。從“天圓地方說”到如今利用人造地球衛星進行地球橢球休的精確測定，反映了隨著科學技術的進步，人們對大地形狀的認識也在不斷前進。時至今日，人們早已接受地球是球體的結論，但是地球究竟是一個怎樣的球體卻并不是所有人都能準確回答的。第2章空間分析與建模基礎2.3地球體通過天文大地測量、地球重力測量、衛星大地測量等精密測量，都證明了這樣一個事實：地球并不是一個正球體，而是一個極半徑略短、赤道半徑略長，北極略突出、南極略扁寬而凹，近于梨形的橢球體。這里所謂的“梨形”，其實是一種形象化的夸張，因為地球南北半徑的極半徑之差僅在幾十米范圍內，即將地球南極凹進約30m，北極凸出lOm，將它增大想像，地球就成了梨狀。目前已經有證據表明，這種“梨形”不一定會長期保持下去。第2章空間分析與建模基礎2.3地球體一、地球的自然表面地球形狀示意圖

地球表面積約為5.l×108km2，分為陸地和海洋兩大部分。其中，海洋面積為3.6l×108km2，占地球表面積的70.8%；陸地面積為1.49×108km2，占地球表面積的29.2%。陸地和海洋在地區表面的分布極不均勻，陸地多集中于北半球，占北半球面積的39%；海洋多集中于南半球，占南半球面積的81%。第2章空間分析與建模基礎2.3地球體

地球的自然表面是起伏不平的，無論是陸地還是海洋底部都是如此。地球表面的的最高點在亞洲喜馬拉雅山脈的珠穆朗瑪峰，它的海拔是8844.43m；而最低點則位于太平洋西側的馬里亞納海溝，其在海面以下11034m。由此可知，地球表面的最大垂直起伏約有20km。在現代測量技術的幫助下，經計算求解出陸地的平均海拔高度為875m，海洋的平均深度為3729m，第2章空間分析與建模基礎2.3地球體地球表面海陸高度示意圖

由于地球自然表面凹凸不平，形態極為復雜，顯然不能作為測量與制圖的基準面。因此，需要尋求一種與地球自然表面非常接近的規則曲面來代替這種不規則的曲面。假想有一個靜止的海水面，向陸地延伸形成一個封閉的曲面，這個曲面稱為水準面。水準面上每一個點的鉛垂線均與該點的重力方向重合。由于海水面受潮汐影響而有漲有落，所以水準面有無數個。其中有一個是無波浪、無潮汐、無水流且無大氣壓變化，處于流體平衡狀態的平面，并穿過陸地和島嶼，最終形成了一個封閉曲面，這就是大地水準面。概括地說，大地水準面是由靜止海水面并向大陸延伸所形成的不規則的封閉曲面。第2章空間分析與建模基礎2.3地球體二、地球的物理表面但事實證明，大地水準面仍然不是一個規則的曲面。因為大地水準面是重力等位面，所以物體沿該面運動時重力不做功（如水在這個面上是不會流動的）。當海平面靜止時，海水平面必須與該面上各點的重力線方向相正交，由于地球內部物質的密度分布不均勻，造成重力場的不規則分布，因而重力線方向并非恒指向地心，導致處處與重力線方向相正交的大地水準面也不是一個規則的曲面。第2章空間分析與建模基礎2.3地球體大地水準面與橢球面示意圖一般而言，比較理想的“靜止的平均海水面”，在大陸上升高凸起，在海洋中則降低凹下；但高差都不超過60m。所有地球上的測量都在大地水準面上進行。大地水準面雖然比地球自然表面規則得多，但還不能用簡單的數學公式表達。不過從整個形狀來看，大地水準面的起伏是微小的，并極其接近于地球橢球體。由于大地水準面實際上是一個起伏不平的重力等位面。所以也稱其為地球物理表面。將由大地水準面所包圍的形體稱為大地體，其是一種逼近于地球本身形狀的形體，可以稱大地體為對地球體的一級逼近。第2章空間分析與建模基礎2.3地球體定義大地水準面的意義主要在于以下幾方面：(1)由略微不規則的大地水準面包圍的大地體，是地球形狀的很好近似。它不僅表達了大部分自然表面的形狀，且將大地水準面之上山脈（或海洋）的質量過剩（或不足）由大地水準面之下的質量不足（或過剩）來補償。(2)由于大地的水準面包圍的大地體表面存在一定的起伏波動，這對于大地測量或地球物理學均具有研究價值，可應用重力場理論來進行研究。(3)由于大地水準面是實際重力等位面，因此人們才有可能通過測量儀器，獲得相對于大地水準面的海拔高程。第2章空間分析與建模基礎2.3地球體雖然大地水準面可以作為測量實施的基礎面，但是地球表面起伏不平和地球內部質量分布不均勻，使得地面上各點的鉛垂線方向產生不規則的變化，因此大地水準面仍然是一個十分復雜和不規則的曲面，仍然不能用數學模型定義和表達。因此需要選擇一個非常接近大地水準面且能用數學模型表達的曲面代替大地水準面，這個曲面稱作旋轉橢球面，旋轉橢球面所包圍的數學形體稱作旋轉橢球體，或稱地球橢球體。地球橢球體表面是個可用數學模型定義和表達的曲面，這就是我們所稱的地球數學表面。地球橢球體表面可以稱為對地球形體的二級逼近。第2章空間分析與建模基礎2.3地球體三、地球的數學表面

地球橢球體上有長軸和短軸之分，長軸（a）即赤道半徑，短軸(b)即極半徑。f=(a-b)/a稱為地球橢球體的扁率，表示地球橢球體的扁平程度。由此可見，地球橢球體的形狀和大小取決于a、b、f。因此，又稱a、b、f為地球橢球體三要素，或稱描述地球形狀與大小的參數。第2章空間分析與建模基礎2.3地球體

a、b、f的具體測定是近代大地測量工作的一項重要內容。由于實際測量工作是在大地水準面上進行的，而大地水準面相對于地球橢球表面又有一定的起伏，并且重力又隨緯度變化而變化，因此必須對大地水準面的實際重力進行多地和多次的大地測量，再通過統計平均來消除偏差，即可求得表達大地水準面平均狀態的地球橢球體三要素值。第2章空間分析與建模基礎2.3地球體對地球形狀三要素a、b、f測定后，還需確定大地水準面與橢球體面的相對關系。這就要求必須進一步通過數學方法實現對地球形體的三級逼近。即通過地球橢球體定位，將地球橢球體擺到與大地水準面最貼近的位置上，確定與局部地區大地水準面符合最好的一個地球橢球體一地球參考橢球體。通過數學方法將地球橢球體擺到大地水準面最貼近的位置上，形成地球參考橢球體的過程稱為地球橢球體定位。第2章空間分析與建模基礎2.3地球體地球自然表面、物理表面和數學表面的關系對于這些地球橢球體的基本元素a、b、f等，由于推求所用的資料、年代、方法及測定的地區不同，其結果并不一致，故地球橢球體的描述參數有很多種。在大地測量發展的歷史過程中，世界主要國家先后推算出了許多不同的地球參考橢球體第2章空間分析與建模基礎2.3地球體國際主要的地球參考橢球體參數

地球表面的不確定性，使得地球的基準面有了不同的劃分，因此對于地球上點的高程的計算也采用不同的高程，具體來說主要有三種，分別為大地高、正高和正常高。

大地高是以參考橢球面為基準面的，某點的大地高是該點到通過該點的參考橢球的法線與參考橢球面的交點間的距離。大地高也稱為橢球高，一般用符號H表示。大地高是一個純幾何量，不具有物理意義，同一個點在不同的基準下具有不同的大地高。

第2章空間分析與建模基礎2.3地球體四、地球上點的高程

正高以大地水準面為基準面，某點的正高是該點到通過該點的鉛垂線與大地水準面的交點之間的距離。正高用符號Hg表示。正常高以似大地水準面為基準，某點的正常高是該點到通過該點的鉛垂線與大地水準面的交點之間的距離。正常高用Hr表示。第2章空間分析與建模基礎2.3地球體高程之間的也存在轉換關系第2章空間分析與建模基礎2.3地球體大地水準面到參考橢球面的距離，稱為大地水準面差距，記為hg。大地高與正高之間的關系可以表示為似大地水準面到參考橢球面的距離，稱為高程異常，記為ζ。大地高與正常高之間的關系可以表示為我國的高程主要有黃海高程和1985年國家高程基準。黃海高程系以青島驗潮站1950-1956年驗潮資料算得的平均海面為零的高程系統，原點設在青島市觀象山，該原點以“1956年黃海高程系”計算的高程為72.289m。由于青島驗潮站的資料系列(1950-1956年)時間較短等原因，中國測繪主管部門決定重新計算黃海平均海面，以青島驗潮站1952-1979年的潮汐觀測資料為計算依據，并用精密水準測量位于青島的中華人民共和國水準原點，得出1985年國家高程基準高程和1956年黃海高程的關系為：1985年國家高程基準高程=1956年黃海高程-0.029m。1985年國家高程基準已于1987年5月開始啟用，同時1956年黃海高程系廢止。第2章空間分析與建模基礎2.3地球體

地圖通常是繪在平面介質上的，而地球橢球體或球體表面是個不可展的曲面，其在直接展成平面時，必然發生斷裂和褶皺。如果用這種具有斷裂和褶皺的平面繪制地圖，則不可避免地會使一些地物地貌被破開或是被壓扁，難以滿足人們生活生產和科研的要求。第2章空間分析與建模基礎2.4地圖投影地球體直接展成平面示意圖為了將地球表面的全部或局部完整地、連續地表示在平面上，經過歷代地圖學家和數學家多年探索，創立了地圖投影這種數學方法，從而可以實現由地球曲面向地圖平面的科學轉換。一、地圖投影的產生和定義地圖投影就是研究將地球橢球體面上的經緯網按照一定的數學法則轉繪到平面上的方法及其變形問題。具體來說，球面上任一點的位置用地理坐標（φ，λ）示，而平面上點的位置用直角坐標(x，y)或極坐標（r，θ）表示，所以要將地球球面上的點轉移到平面上，必須采用一定的數學方法來確定地理坐標與平面坐標之間的關系。這種在球面和平面之間建立點與點之間函數關系的數學方法稱為地圖投影。第2章空間分析與建模基礎2.4地圖投影

關于地面點位的地理坐標（φ，λ）與地圖上相對應的點位的平面直角坐標(x，y)或極坐標（r，θ），可以建立一個一一對應的函數關系。投影同時可以表達為：第2章空間分析與建模基礎2.4地圖投影若能夠建立地球橢球面上點的坐標（φ，λ）與平面上對應點的坐標(x，y)之間的函數關系，那么只要知道地面點的經緯度（φ，λ），便可以在投影平面上找到相應點的平面位置(x，y)。當給定不同的具體條件時，就可以得到不同種類的投影函數，根據各自的投影函數，按照一定的制圖需要，將一系列的經緯網交點的平面直角坐標計算出來，并展繪于平面上，再將各點連接起來，即可建立經緯網的平面表象，構成新編地圖的控制骨架。由于采用的投影函數不同，可以得出不同的經緯網平面上的表象，即不同新編地圖的控制骨架。第2章空間分析與建模基礎2.4地圖投影1．投影變形

由于球面是一個不可直接展成平面的曲面，因此投影后經緯網與球面上的經緯網形狀并不完全相似，即地圖上的經緯網發生了變形，而根據地理坐標展繪在地圖上的各種地面事物也必然發生了變形。所示，在地球面上按一定間隔的經差和緯差構成經緯網格，相鄰兩條緯線間的許多網格具有相同的形狀和大小。然而，A、B和C三個區域投影到平面上后產生了明顯的差異，投影使得區域在形狀和大小上發生了變形。第2章空間分析與建模基礎2.4地圖投影二、地圖投影的變形投影變形差異變形示意圖將地圖上的經緯線網與地球儀上的經緯線網進行比較，可以發現地圖投影變形有長度變形、面積變形及角度變形。1)長度變形

地圖上的經緯線長度與地球儀上的經緯線長度特點并不完全相同，地圖上的經緯線長度并非都是按照同一比例縮小的，這表明地圖上具有長度變形。長度變形的情況因投影而異，在同一投影上，長度變形不僅隨地點而改變，在同一點上還因方向不同而不同。在地球儀上經緯線的長度具有下列特點：①緯線長度不等，其中赤道最長，緯度越高，緯線越短，極地的緯線長度為零；②在同一條緯線上，經差相同的緯線弧長相等；③所有的經線長度都相等。第2章空間分析與建模基礎2.4地圖投影2)面積變形由于地圖上經緯線網格面積與地球儀經緯線網格面積的特點不同，在地圖上經緯線網格面積不是按照同一比例縮小的，這表明地圖上具有面積變形。面積變形的情況因投影而異，在同一投影上，面積變形因地點的不同而不同。第2章空間分析與建模基礎2.4地圖投影2)面積變形

在地球儀上經緯線網格的面積具有下列特點：(1)在同一緯度帶內，經差相同的網格面積相等；(2)在同一經度帶內，緯線越高，網格面積越小。然而地圖上卻并非完全如此，如在圖(a)中，同一緯度帶內，緯差相等的網格面積相等，這些面積不是按照同一比例縮小的，緯度越高，面積比例越大。在圖(b)中，同一緯度帶內，經差相同的網格面積不等，這表明面積比例隨經度的變化而變化了。第2章空間分析與建模基礎2.4地圖投影3)角度變形

角度變形是指地圖上兩條線所夾的角度不等于球面上相應的角度，如在圖(b)中和圖(c)中，只有中央經線和各緯線相交成直角，其余的經線和緯線均不呈直角相交，而在地球儀上經線和緯線處處都呈直角相交，這表明地圖上有了角度變形。角度變形的情況因投影而異，在同一投影上，角度變形因地點而變。地圖投影的變形隨地點的改變而改變，因此在一幅地圖上，就很難籠統地說它有什么變形，變形有多大。第2章空間分析與建模基礎2.4地圖投影2．變形橢圓上述長度、面積和角度等投影變形主要都是通過變形橢圓進行分析，為了更好地理解變形橢圓，可以先做這樣一個演示實驗：取一用鋼絲焊接成的半球經緯網模型，并在經緯網模型的極點及同一條經線上安置幾個等大正圓形的小圓環。然后使經緯網模型極點與投影面相切，在模型的球心處放一盞燈照射經緯網模型，如圖所示。第2章空間分析與建模基礎2.4地圖投影投影變形示意圖（右圖為左圖投影）模型上的小圓投影到平面上，除了極點處的小圓沒有變形仍為正圓外，其余的都變成了橢圓。橢圓的長短軸都比模型上的小圓直徑長。若將燈沿著與投影平面垂直的方向向后遠移，則橢圓逐漸變小，長短軸的差也逐漸縮小。當燈移至模型的另一極點處，模型上小圓的投影變成圓，其直徑都較模型上小圓的直徑長。若把燈再遠移，投影平面上的小圓又變成了橢圓。此試驗表明，無論燈光在何處，半球模型與投影平面相切處的小圓投影后均有變形，離切點越遠小圓投影的變形越大，有的方向上逐漸伸長，有的方向上逐漸縮短。第2章空間分析與建模基礎2.4地圖投影由上述演示實驗可知：取地面上的一個微分圓（微分圓的面積小到可以忽略地球曲面的影響，即可將它看作平面）將它投影后變為橢圓（除個別為正圓外，一般皆為橢圓），通過研究其在投影平面上的變化，作為地圖投影變形的幾何解釋，這樣的橢圓稱為變形橢圓。利用變形橢圓的圖解及理論能更為科學和準確地闡述地圖投影變形的概念、變形的性質及變形大小。第2章空間分析與建模基礎2.4地圖投影地圖投影的種類很多，從理論上講，由橢球面上的坐標（φ，λ）向平面坐標（x，y）轉換可以有無窮多種方式，也就是說可能有無窮多種地圖投影。國內外學者提出了許多地圖投影的分類方案，但迄今尚無一種分類方案能被一致認同。研究以何種方式將它們進行分類并要求其投影規律，是很有必要的。通常采用以下兩種分類方法：按地圖投影的變形性質分類和按地圖投影的構成方法分類。第2章空間分析與建模基礎2.4地圖投影三、投影的分類1.按投影的變形性質分類首先介紹一下變形橢圓主要使用的一些符號的含義。如圖所示，m和n表示經線長度比和緯線長度比為第2章空間分析與建模基礎2.4地圖投影a和b表示沿變形橢圓長半軸和短半軸方向的長度比，因分別具有極大值和極小值，而稱為極大和極小長度比；γ和γ’表示任意點與X和X’軸的夾角。θ為投影后的經緯線夾角。微分圓投影為微分橢圓第2章空間分析與建模基礎2.4地圖投影按投影的變形性質，可將地圖投影分為等角投影、等面積投影、等距投影和任意投影，如圖所示，引進變形橢圓來說明地圖投影的變形性質，經過投影的地圖在長度、面積和角度之中的一項不變形，而其他幾種發生變形，只能是變形值相對較小。各種不同變形性質的投影圖上變形橢圓示意第2章空間分析與建模基礎2.4地圖投影1)等角投影等角投影是指角度沒有變形的投影。橢球面上一點處任意兩個方向的夾角投影到平面上保持大小不變，即γ=γ’。若用變形橢圓解釋，保持等角條件必須是，球面上任一處的微分圓投影到平面上之后仍為正圓而不是橢圓。長度比在一點上不因方向改變而改變，永遠保持a=b，即經緯線夾角θ=90°，m=n。因此，等角投影也稱相似投影或正形投影。但應該說明一點，在不同點上長度比大小是各不相同的，即具體表現為a=b=m=n的值，在有的點上大于1，有的點上小于1，個別點上等于1。如用P表示投影的面積比，則可知P=a×b=m×n，并且可以得出可：當a=b時，P取得最大值。由此可以得出等角投影面積是變大的。由于等角投影保持角度不變，因此適用于編制風向、洋流、航海及航空等地圖和各種比例尺地形圖。第2章空間分析與建模基礎2.4地圖投影2)等積投影等積投影是指面積沒有變形的投影。投影面上的面積與橢球面上相應的面積保持一致。用變形橢圓解釋，保持等積條件必須令P=a×b=m×n=l，即變形橢圓的最大長度比與最小長度比互為倒數關系，a=l/b或m=l/n。由此看來，在不同點上變形橢圓的形狀相差很大，即長軸越長，則短軸越短。也就是說，在等積投影上以破壞圖形的相似性來保持面積上的相等。因此，等積投影的角度變形大。由于這類投影保持面積不變，利于地圖上測量面積和對比面積，故適用于編制如政區、人口密度、土地利用、森林和礦藏分布圖以及其他自然地圖和社會經濟地圖。第2章空間分析與建模基礎2.4地圖投影3)任意投影任意投影是指既不能滿足等角條件，又不能滿足等積條件，是一種長度變形、面積變形以及角度變形同時存在的投影。在任意投影中有一種成為特例的投影，其沿特定方向進行投影后沒有長度變形，稱為等距離投影。所謂等距投影，并不是這類投影不存在長度變形，而是只保持變形橢圓主方向中某一個長度比等于1，即a=l或b=l。第2章空間分析與建模基礎2.4地圖投影任意投影中長度、角度和面積三種變形都有，但其角度變形沒有等面積投影中的角度變形大，面枳變形沒有等角投影中的面積變形大，是一種變形較適中的投影。該投影既有角度變形又有面積變形，且角度變形和面積變形量值近似相等，其變形介于等角和等積投影之間。任意投影多用于對面積精度和角度精度沒有什么特殊要求的或區域較大的地圖，如教學地圖、科普地圖、世界地圖、大樣地圖等，以及要求在一方向上具有等距性質的地圖，如交通地圖和時區地圖等。第2章空間分析與建模基礎2.4地圖投影2．按地圖投影的構成方法分類1)幾何投影

幾何投影源于透視幾何學原理，并以幾何特征為依據，將地球橢球面上的經緯網投影到平面上或投影到可以展成平面的圓柱表面和圓錐表面等幾何面上，從而構成方位投影、圓柱投影和圓錐投影，如表所示。第2章空間分析與建模基礎2.4地圖投影(1)方位投影方位投影是以平面作為輔助投影面，使球體與平面相切或相割，將球體表面上的經緯網投影到平面上構成的一種投影。(2)圓柱投影圓柱投影是以圓柱表面作為輔助投影面，使球體與圓柱表面相切或相割，將球體表面上的經緯網投影到圓柱表面上，然后再將圓柱表面展成平面而構成的一種投影。(3)圓錐投影圓錐投影是以圓錐表面作為輔助投影面，使球體與圓錐表面相切或相割，將球體表面上的經緯網投影到圓錐表面上，然后再將圓錐表面展成平面而構成的一種投影。第2章空間分析與建模基礎2.4地圖投影

上述投影又可根據球面與投影面的相對部位不同，分為正軸投影、橫軸投影、斜軸投影。正軸方位投影的投影面與地軸相垂直；橫軸方位投影的投影面與地軸相平行；斜軸方位投影的投影面與地軸斜交。正軸圓柱投影和正軸圓錐投影，其圓柱軸和圓錐鈾與地軸重合；橫軸圓柱投影和橫軸圓錐投影，其圓柱軸和圓錐軸與地軸相垂直；斜軸圓柱投影和斜軸圓錐投影，其圓柱軸和圓錐軸與地軸斜交。在圓柱投影中，以正軸和橫軸常見，在圓錐投影中以正軸常見。第2章空間分析與建模基礎2.4地圖投影正軸投影的經緯線形狀比較簡單。正軸方位投影的經緯線形狀，如圖(a)所示，經線為放射狀直線，緯線為同心圓；正軸圓柱投影的經緯線形狀如圖(b)所示，經緯線均為一組平行且間隔相等的直線，緯線與經線垂直；正軸圓錐投影的經緯線形狀如圖(c)所示，經線為放射狀直線束，緯線為同心圓弧。正軸投影經緯線形狀第2章空間分析與建模基礎2.4地圖投影2)非幾何投影（條件投影）幾何投影是地圖投影的基礎，但有其局限性。通過一系列數學解析方法，由幾何投影演繹產生了非幾何投影，它們并不借助輔助投影面，而是根據制圖的某些特定要求（如考慮制圖區域形狀等特點）選用合適的投影條件，用數學解析方法求出投影公式，確定平面與球面之間點與點間的函數關系。按經緯線形狀，可將非幾何投影分為偽方位投影、偽圓柱投影、偽圓錐投影和多圓錐投影。第2章空間分析與建模基礎2.4地圖投影(1)偽方位投影

在正軸情況下，偽方位投影的緯線仍投影為同心圓，除中央經線投影成直線外，其余經線均投影成對稱于中央經線的曲線，且交于緯線的共同圓心，如圖所示。按投影性質，偽方位投影沒有等角投影和等積投影，只有任意投影，其等變形線形狀有卵形、橢圓形和三葉玫瑰形等。因等變形線近似橢圓，故又稱橢圓變形投影。用于編繪小比例尺地圖如北冰洋與大西洋地圖。偽方位投影第2章空間分析與建模基礎2.4地圖投影(2)偽圓柱投影

在正軸圓柱投影基礎上，規定緯線仍為一組平行的直線，兩極則可表現為點或線的形式，除中央經線投影成直線外，其余經線均投影成對稱于中央經線的曲線，如圖所示。因經緯線不正交，故無等角性質，只有等積和任意兩種性質的投影。它用于編制世界地圖、太洋圖和分洲圖，對揭示某種地理現象水平地帶分布規律，具有很大優越性。偽圓柱投影示意圖第2章空間分析與建模基礎2.4地圖投影（3）偽圓錐投影

在圓錐投影基礎上，保持緯線為同心圓弧而中央經線為直線，將其他經線由輻射直線束改變為對稱凹向中央經線的曲線，如圖所示。偽圓錐投影示意圖因經緯線不正交，故沒有等角性質，只有等積和任意兩種性質的投影。最常用的偽圓錐投影是等積的偽圓錐投影，適用于編制亞洲等中緯度國家或區域地圖。第2章空間分析與建模基礎2.4地圖投影(4)多圓錐投影多圓錐投影是一種假想借助多個圓錐表面與球體相切設計而成的投影。緯線為同軸圓弧，其圓心位于中央經線的延長線上，除中央經線為直線外，其余經線則投影成對稱于中央經線的曲線。多圓錐投影常用于編制中小比例尺地圖，尤其適用于編制沿經線方向伸長的國家或地區的地圖，如智利國家地圖和美國西海岸帶地圖等。第2章空間分析與建模基礎2.4地圖投影1．墨卡托投影墨卡托(Mercator)投影，是一種“等角正切圓柱投影”，荷蘭地圖學家墨卡托(GerhardusMercator，1512-1594)在1569年擬定。假設地球被圍在一個中空的圓柱里，其標準緯線與圓柱相切接觸，然后假想地球中心有一盞燈，把球面上的圖形投影到圓柱體上，再把圓柱體展開，這就是一幅選定標準緯線上的“墨卡托投影”繪制出的地圖。高斯-克呂格投影和UTM投影都屬于墨卡托投影。四、常見的地圖投影第2章空間分析與建模基礎2.4地圖投影墨卡托投影沒有角度變形，由每一點向各方向的長度比相等，它的經緯線都是平行直線，且相交成直角，經線間隔相等，緯線間隔從標準緯線向兩極逐漸增大。墨卡托投影的地圖上長度和面積變形明顯，但標準緯線無變形，從標準緯線向兩極變形逐漸增大，但因為它具有各個方向均等擴大的特性，保持了方向和相互位置關系的正確。在地圖上保持方向和角度的正確是墨卡托投影的優點，墨卡托投影地圖常用作航海圖和航空圖。如果循著墨卡托投影圖上兩點間的直線航行，方向不變可以一直到達目的地，因此它對船艦在航行中定位和確定航向都具有有利條件，給航海者帶來很大方便，如圖所示。墨卡托投影圖中的等角航線與大圓航線示意圖第2章空間分析與建模基礎2.4地圖投影等角航線在地球上是一條螺旋曲線，因此不是最短航線。最短航線是在球心投影圖上兩點間連線即為大圓航線，如圖所示。求出大圓航線與各經線的交角，轉到墨卡托投影圖上，并以圓滑曲線連接，即成墨卡托投影圖上的大圓航線。再將墨卡托投影圖上的大圓航線分成若干段，每段兩端點間用直線連接，這樣便得到了用若干等角航線連接成的近似于大圓航線的航行線路。雖然大圓航線距離最短，但導航較困難，因此通常采用長距離靠近大圓航線，而短距離走等角航線的做法來實現。球心投影圖中的等角航線與大圓航線第2章空間分析與建模基礎2.4地圖投影2．高斯-克呂格投影1)高斯投影的概念和性質高斯-克呂格(Gauss-Kruger)投影簡稱“高斯投影”，又名“等角橫切橢圓柱投影”，是地球橢球面和平面間正形投影的一種。由德國數學家、物理學家、天文學家高斯(JohannCarlFriedrichGauss，1777-1855)于19世紀20年代擬定，后經德國大地測量學家克呂格（JohannesKruger,1857-1928）于1912年對投影公式加以補充，并推導出計算公式，故命名為高斯-克呂格投影。此投影具有投影公式簡單、各帶投影相同等優點，是適用于廣大測區的一種大地測量地圖投影。第2章空間分析與建模基礎2.4地圖投影

該投影按照①投影帶中央子午線投影為直線且長度不變和②赤道投影為直線的兩個條件，確定函數的形式，從而得到高斯-克呂格投影公式。設想用一個橢圓柱橫切于橢球面上投影帶的中央子午線，按上述投影條件，將中央子午線兩側一定經差范圍內的橢球面正形投影于橢圓柱面。將橢圓柱面沿過南北極的母線剪開展平，即為高斯投影平面（如圖所示）。取中央子午線與赤道交點的投影為原點，中央子午線的投影為縱坐標x軸，赤道的投影為橫坐標y軸，構成高斯-克呂格平面直角坐標系。高斯-克呂格投影示意第2章空間分析與建模基礎2.4地圖投影高斯-克呂格投影經緯網形狀如圖所示，除中央經線和赤道投影為互相垂直的直線外，其余經線的投影為對稱凹向中央經線的曲線，緯線的投影為對稱凸向赤道的曲線，整個圖形呈東西對稱和南北對稱，經緯線均正交。高斯投影的基本條件是：(1)中央經線和赤道的投影為直線，且為投影的對稱軸；(2)投影后無角度變形，即同一地點的各方向上長度比不變；(3)中央經線投影后保持長度不變。高斯-克呂格投影示意第2章空間分析與建模基礎2.4地圖投影2)高斯投影變形分析高斯投影沒有角度變形(m=n)，面積比是長度比的平方，即P=m×n=m2；中央經線投影后無長度變形，m0=1；其余經線和全部緯線投影后均有長度變形。長度比均大于l，即均較實際略有增長。在同一經線上，緯度越低其變形越大；在同一緯線上，長度變形隨經差的增大而增大，且與經差的平方成正比，因而最大變形在投影帶的赤道兩端，在6°帶范圍內，雖赤道兩端有0.138%（約0.14%）的最大長度變形和0.27%的最大面積變形，但該投影的變形仍然是很小的。在采用這種投影的地形圖上，因這種變形而產生的誤差亦很小，甚至沒有超出繪圖和量圖作業所產生的誤差范圍，所以高斯投影常被用作大中比例尺地形圖。第2章空間分析與建模基礎2.4地圖投影由變形分布的狀況可以看出，該投影在低緯度和中緯度地區，因投影變形產生的誤差顯得大了一些，因此比較適用于緯度較高地區。為了改善整個投影變形情況，可以采取使橢圓柱體面與橢球體面相割的一種通用墨卡托投影，通過產生一個負變形區，使中央經線縮小0.04%，中央經線長度比小于1。第2章空間分析與建模基礎2.4地圖投影3)高斯投影分帶因高斯投影的最大變形在赤道上，并隨經差的增大而增大，故按一定經差將地球橢球面劃分成若干投影帶，這是高斯投影中限制長度變形的最有效方法。分帶時既要控制長度變形使其不大于測圖誤差，又要使帶數不致過多以減少換帶計算工作，據此原則將地球橢球面沿子午線劃分成經差相等的瓜瓣形地帶，以便分帶投影。通常按經差6°或3°度區分為6°分帶法或3°分帶法。第2章空間分析與建模基礎2.4地圖投影(1)6°分帶法

6°分帶法投影是從本初子午線起，由西向東，每6°為一帶，全球共分60帶，用阿拉伯數字1，2，…，60標記，凡是6°的整倍數的經線皆為分帶子午線，如圖所示。

東半球劃分30個投影帶，從0°到180°，用1，2，…，30標記。各投影帶的中央經線度數L0和帶號n用下式求出：高斯-克呂格投影分帶其中L為某地點的東經經度數；[]表示取整。第2章空間分析與建模基礎2.4地圖投影

西半球亦劃分30個投影帶。從18°到0°，用31，32，…，60標記；各投影帶的中央經線度數LOW和帶號nw，用下式求出：Lw為某地點的西經經度。

我國領土位于東經72°至136°之間，共含11個投影帶，即13-23帶。第2章空間分析與建模基礎2.4地圖投影(2)3°分帶法3°分帶投影是從東經1°30'起，每3°為一帶，將全球劃分為120帶，用阿拉伯數字1，2，…，120標記。東經1°30'至4°30'為第1帶、4°30’至7°30’為第2帶、……、東經178°30’至西經178°30'為第60帶、……、西經1°30’至東經1。30’為第120帶。各投影帶的中央經線度數L0'和帶號n’，用下式求出：其中，L為某地點的經度數。3°帶中L0'和L度數范圍為0°到360°。這樣分帶的目的在于使6°帶的中央經線全部成為3°帶的中央經線，即3°帶中有半數的中央經線同6°帶的中央經線相重合，以便在由3°帶轉換成6°帶時，不需任何復雜計算，即可直接轉用。第2章空間分析與建模基礎2.4地圖投影3．UTM投影1)UTM的基本概念通用橫軸墨卡托(universaltransversemercator，UTM)投影，是一種“等角橫軸割圓柱投影”，橢圓柱割地球于南緯80°、北緯84°兩條等高圈，投影后兩條相割的經線上沒有變形，而中央經線上長度比0.9996。UTM投影是為了全球戰爭需要創建的，美國于1948年完成這種通用投影系統的計算。與高斯-克呂格投影相似，該投影角度沒有變形，中央經線為直線，且為投影的對稱軸，中央經線的比例因子取0.9996，是為了保證離中央經線左右約330km處有兩條不失真的標準經線。UTM投影分帶方法與高斯-克呂格投影相似，是自西經180°起每隔經差6°自西向東分帶，將地球劃分為60個投影帶。第2章空間分析與建模基礎2.4地圖投影2)高斯-克呂格投影與UTM投影異同高斯-克呂格投影與UTM投影都是橫軸墨卡托投影的變種，目前一些國外的軟件或國外進口儀器的配套軟件往往不支持高斯-克呂格投影，但支持UTM投影，因此常有把UTM投影當作高斯-克呂格投影的現象。從投影幾何方式看，高斯-克呂格投影是“等角橫切圓柱投影”，投影后中央經線保持長度不變，即比例系數為l；UTM投影是“等角橫軸割圓柱投影”，圓柱割地球于南緯80°、北緯84°兩條等高圈，投影后兩條割線上沒有變形，中央經線上長度比0.9996。第2章空間分析與建模基礎2.4地圖投影從分帶方式看，兩者的分帶起點不同，高斯-克呂格投影自0°子午線起每隔經差6°自西向東分帶，第1帶的中央經度為3°；UTM投影自西經180°起每隔經差6°自西向東分帶，第1帶的中央經度為-177°，因此高斯-克呂格投影的第1帶是UTM的第31帶，可以用表2-5表示。高斯-克呂格投影帶號換算為UTM投影帶號方法為：高斯-克呂格投影帶號+30（限東半球）；高斯-克呂格投影帶號-30（限西半球）。高斯-克呂格投影與UTM投影分帶第2章空間分析與建模基礎2.4地圖投影4．地圖投影的選擇地圖投影選擇的一般原則：①經緯網形狀簡單、制圖區域內變形較小，且分布均勻；②選擇合適的投影中心、中央經線和標準緯線。而影響投影選擇的基本因素主要有：地圖內容及其用途；制圖區形狀、地理位置和大小；地圖比例尺、出版方式以及資料情況等其他因素。第2章空間分析與建模基礎2.4地圖投影依據地理位置不同：一般極地附近選擇方位投影；中緯度地區選擇圓錐投影；赤道附近選擇圓柱投影。依據制圖區形狀不同，在中緯度地區：沿緯線方向東西延伸的長形區域常選擇正軸圓錐投影；沿經線方向南北延伸的長形區域常選擇橫軸圓柱投影；圓形區域常選擇斜軸方位投影。在低緯赤道地區：沿東西方向延伸的長條形區域常采用正軸圓柱投影；圓形區域常采用橫軸方位投影。依據制圖比例尺不同，我國大比例尺地形圖常采用高斯-克呂格投影、中小比例尺用蘭伯特投影。依據制圖內容及用途不同：航海圖和航空圖采用等角投影；自然和社會經濟地圖中的分布圖、類型圖、區劃圖等常采用等積投影；世界時區圖用經線投影成直線的正軸圓柱投影；海洋圖采用墨卡托（等角圓柱投影）；地形圖選擇用等角橫切（割）圓柱投影。第2章空間分析與建模基礎2.4地圖投影

世界地圖的投影通常采用等差分緯線多圓錐投影、正切差分緯線多圓錐投影、任意偽圓柱投影、正軸等角割圓柱投影。半球地圖的常用投影選擇為：東半球圖常采用橫軸等面積方位投影和橫軸等角方位投影；西半球圖常采用橫軸等面積方位投影和橫軸等角方位投影；南北半球地圖常采用正軸等角方位投影、正軸等面積方位投影和正軸等距離方位投影。第2章空間分析與建模基礎2.4地圖投影各大洲地圖常用投影為：亞洲和北美洲地圖投影通常采用斜軸等面積方位投影和彭納投影；歐洲和澳洲地圖投影常采用斜軸等面積方位投影和正軸等角圓錐投影；南美洲地圖投影常采用斜軸等面積方位投影和桑遜投影；拉丁美洲地圖投影常采用斜軸等面積方位投影。第2章空間分析與建模基礎2.4地圖投影我國編制地圖常用的地圖投影，具體如下：中國全圖采用的是斜軸等面積方位投影和斜軸等角方位投影；中國分省（區）地圖（海南省除外）采用的是正軸等角割圓錐投影、正軸等面積和等距離割圓錐投影；中國分省（區）地圖（海南省）采用的是正軸等角圓柱投影；國家基本比例尺地形圖系列1：100萬采用的是正軸等角割圓錐投影；國家基本比例尺地形圖系列1：5萬至1：50萬采用的是高斯．克呂格投影（6°分帶）：國家基本比例尺地形圖系列1：5000至1:2.5萬采用的是高斯-克呂格投影（3°分帶）；城市圖系列1:500至1:5000采用的是城市平面局域投影或城市局部坐標的高斯投影。第2章空間分析與建模基礎2.5坐標系統和時間系統由物理學可知，要定量描述質點的位置和時間的變化，必須選定一個參照系，并在參照系上建立一個坐標系統，統一的地理坐標系統是建立GIS的基礎。根據不同的測量方法、應用目標和計算方法，坐標系統可以分為很多類型，常用的大地坐標系有150多個，不同的國家采用的坐標系統往往不同。另外，坐標系統的建立和發展具有一定的歷史特性，即使在同一個國家，不同的歷史時期由于習慣的改變或經濟的發展變化，也會采用不同的坐標系統。時間系統也是在獲取質點的位置數據和處理觀測數據不可或缺的內容，時空分析是GIS的重要內容。第2章空間分析與建模基礎2.5坐標系統和時間系統在宇宙中，地球有兩種不同的運轉