山西省太原市五育中學2021年高二數學文上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.“”是“”的

（

）

A、充分不必要條件

B、必要不充分條件

C、充要條件

D、既不充分也不必要條件參考答案：A略2.已知等差數列{an}中，a2=2，a4=6，則前4項的和S4等于（）A．8 B．10 C．12 D．14參考答案：C【考點】等差數列的前n項和．【分析】由已知條件先求出等差數列的首項和公式，求出前4項的和S4．【解答】解：∵等差數列{an}中，a2=2，a4=6，∴，解得a1=0，d=2，∴．故選：C．3.已知θ為銳角，且sinθ=，則sin（θ+45°）=（）A．B．C．D．參考答案：A【考點】兩角和與差的正弦函數．【分析】由已知利用同角三角函數基本關系式可求cosθ，進而利用兩角和的正弦函數公式，特殊角的三角函數值即可計算得解．【解答】解：∵θ為銳角，且sinθ=，∴cosθ==，∴sin（θ+45°）=（sinθ+cosθ）=×（）=．故選：A．【點評】本題主要考查了同角三角函數基本關系式，兩角和的正弦函數公式，特殊角的三角函數值在三角函數化簡求值中的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．4.設集合A，B是兩個集合，①，，；②，，；③，，.則上述對應法則中，能構成A到B的映射的個數為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C5.程序框圖如圖21－1所示，則該程序運行后輸出的B等于()圖21－1A．7

B．15

C．31

D．63參考答案：D無6.若函數有極值點，且，若關于的方程

的不同實數根的個數是（

）

A.

3

B.

4

C.

5

D.

6參考答案：A

7.過三棱錐高的中點與底面平行的平面把這個三棱錐分為兩部分，則這上、下兩部分體積之比為(

)

1∶4

1∶7

2∶3

1∶8參考答案：B略8.設變量x，y滿足|x|+|y|≤1，則x+2y的最大值和最小值分別為(

)A．1，﹣1 B．2，﹣2 C．1，﹣2 D．2，﹣1參考答案：B【考點】簡單線性規劃．【專題】計算題．【分析】根據零點分段法，我們易得滿足|x|+|y|≤1表示的平面區域是以（﹣1，0），（0，﹣1），（1，0），（0，1）為頂點的正方形，利用角點法，將各頂點的坐標代入x+2y然后進行比較，易求出其最值．【解答】解：約束條件|x|+|y|≤1可化為：其表示的平面區域如下圖所示：由圖可知當x=0，y=1時x+2y取最大值2當x=0，y=﹣1時x+2y取最小值﹣2故選B【點評】本題考查的知識點是簡單線性規劃，畫出滿足條件的可行域及各角點的坐標是解答線性規劃類小題的關鍵．9.若命題“”為假，且“”為假，則A．“”為假

B假

C．真

D．不能判斷的真假參考答案：B10.已知經過橢圓的右焦點F2作直線AB交橢圓于A、B兩點，F1是橢圓的左焦點，則△AF1B的周長為（

）A.10

B.8

C.16

D.20

參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設復數z=，則z的共軛復數為

．參考答案：【考點】A5：復數代數形式的乘除運算．【分析】利用復數代數形式的乘除運算化簡求得z，再由共軛復數的概念得答案．【解答】解：∵z==﹣i．∴=+i．故答案為：．【點評】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的基本概念，是基礎的計算題．12.動點P與平面上兩定點連線的斜率的積為定值，則動點P的軌跡方程為_______________.參考答案：13.若過點的直線與曲線有公共點，則直線的斜率的取值范圍為________．參考答案：14.若命題“，”為假命題，則實數的取值范圍是

參考答案：15.數列{an}的前n項和為Sn，若數列{an}的各項按如下規律排列：有如下運算和結論：①a24＝；②數列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…是等比數列；③數列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…的前n項和為；④若存在正整數k，使Sk<10，Sk＋1≥10，則ak＝.其中正確的結論有________．(將你認為正確的結論序號都填上)參考答案：①③④16.五個數1，2，3，4，a的平均數是3，則a=____，這五個數的標準差是_________.參考答案：5，17.已知F1、F2是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且∠F1PF2=，則橢圓和雙曲線的離心率的平方和的最小值為__________．參考答案：解：設橢圓和雙曲線的長半軸長和十半軸長分別為，，焦半徑為，設，則有，，解得，，由余弦定理得，整理得，，當時成立等號，故結果為．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設函數f（x）=lnx﹣ax，a∈R．（1）當x=1時，函數f（x）取得極值，求a的值；（2）當a＞0時，求函數f（x）在區間[1，2]的最大值；（3）當a=﹣1時，關于x的方程2mf（x）=x2（m＞0）有唯一實數解，求實數m的值．參考答案：解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），所以f′（x）=﹣a=．

因為當x=1時，函數f（x）取得極值，所以f′（1）=1﹣a=0，所以a=1．經檢驗，a=1符合題意．（不檢驗不扣分）

（2）f′（x）=﹣a=，x＞0．令f′（x）=0得x=．因為x∈（0，）時，f′（x）＞0，x∈（，+∞）時，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）遞增，在（，+∞）遞減，①當0＜≤1，即a≥1時，f（x）在（1，2）上遞減，所以x=1時，f（x）取最大值f（1）=﹣a；②當1＜＜2，即＜a＜1時，f（x）在（1，）上遞增，在（，2）上遞減，所以x=時，f（x）取最大值f（）=﹣lna﹣1；③當≥2，即0＜a≤時，f（x）在（1，2）上遞增，所以x=2時，f（x）取最大值f（2）=ln2﹣2a．綜上，①當0＜a≤時，f（x）最大值為ln2﹣2a；②當＜a＜1時，f（x）最大值為﹣lna﹣1；③當a≥1時，f（x）最大值為﹣a．

（3）因為方程2mf（x）=x2有唯一實數解，所以x2﹣2mlnx﹣2mx=0有唯一實數解，設g（x）=x2﹣2mlnx﹣2mx，則g′（x）=，令g′（x）=0，x2﹣mx﹣m=0．因為m＞0，x＞0，所以x1=＜0（舍去），x2=，當x∈（0，x2）時，g′（x）＜0，g（x）在（0，x2）上單調遞減，當x∈（x2，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）單調遞增，當x=x2時，g（x）取最小值g（x2）．

則即所以2mlnx2+mx2﹣m=0，因為m＞0，所以2lnx2+x2﹣1=0（*），設函數h（x）=2lnx+x﹣1，因為當x＞0時，h（x）是增函數，所以h（x）=0至多有一解．因為h（1）=0，所以方程（*）的解為x2=1，即=1，解得m=．

略19..已知復數.（1）若z是純虛數，求a；（2）若，求.參考答案：（1）若是純虛數，則，所以.（2）因為，所以，所以或.當時，，.當時，，.20.(本小題滿分12分)設函數，求使的的取值范圍.參考答案：略21.如圖，平面直角坐標系中，射線y=x（x≥0）和y=0（x≥0）上分別依次有點A1、A2，…，An，…，和點B1，B2，…，Bn…，其中，，．且，（n=2，3，4…）．（1）用n表示|OAn|及點An的坐標；（2）用n表示|BnBn+1|及點Bn的坐標；（3）寫出四邊形AnAn+1Bn+1Bn的面積關于n的表達式S（n），并求S（n）的最大值．參考答案：【考點】數列與解析幾何的綜合；數列遞推式．【分析】（1）由，能求出．（2）由，知，由此能用n表示|BnBn+1|及點Bn的坐標．（3）由，寫出四邊形AnAn+1Bn+1Bn的面積關于n的表達式S（n），并求出S（n）的最大值．【解答】解：（1）∵…∴…（2）…，∴…（3），∴…∵，∴n≥4時，S（n）單調遞減．又，．∴n=2或3時，S（n）取得最大值…22.如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2．將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D﹣ABC，如圖2所示．（Ⅰ）求證：BC⊥平面ACD；（Ⅱ）求幾何體D﹣ABC的體積．參考答案：見解析【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直的判定．【專題】計算題．【分析】（Ⅰ）解法一：由題中數量關系和勾股定理，得出AC⊥BC，再證BC垂直與平面ACD中的一條直線即可，△ADC是等腰Rt△，底邊上的中線OD垂直底邊，由面面垂直的性質得OD⊥平面ABC，所以OD⊥BC，從而證得BC⊥平面ACD；解法二：證得AC⊥BC后，由面面垂直，得線面垂直，即證．（Ⅱ），由高和底面積，求得三棱錐B﹣ACD的體積即是幾何體D﹣ABC的體積．【解答】解：（Ⅰ）【解法一】：在圖1中，由題意知，，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC取AC中點O，連接DO，則DO⊥AC，又平面ADC⊥平面ABC，且平面ADC∩平面ABC=AC，DO?平面ACD，從而OD⊥平面ABC，∴OD⊥BC又AC⊥BC，AC∩OD=O，∴BC⊥平面ACD【解法二