山西省大同市柴油機廠子弟學校2022-2023學年高三數學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數的單調增區間是（）A.

B.C.

D.參考答案：C試題分析：函數式化簡為，求增區間只需令，所以增區間為

考點：三角函數單調性2.以下有四個命題：①一個等差數列{a}中，若存在a+1>a>O(k∈N)，則對于任意自然數n>k，都有a>0；②一個等比數列{a}中，若存在a<0，a+1<O(k∈N)，則對于任意n∈N，都有a<0；③一個等差數列{a}中，若存在a<0，a<0(k∈N)，則對于任意n∈N，都有a<O；④一個等比數列{a}中，若存在自然數k，使a·a<0，則對于任意n∈N，都有a.a<0；其中正確命題的個數是（

）A.0個

B.1個

C.2個

D.3個參考答案：D3.設集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，則A∪B＝()A．(－1,1)

B．(0,1)

C．(－1，＋∞)

D．(0，＋∞)參考答案：C4.設定義域為的函數若關于x的方程有5個不同的實數解，則=（

）A．6

B．4或6

C．6或2

D．2參考答案：A5.設雙曲線，離心率，右焦點．方程的兩個實數根分別為，則點與圓的位置關系A．在圓外 B．在圓上 C．在圓內 D．不確定參考答案：C6.已知函數f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有兩個不相等的實根，則實數k的取值范圍是（）A．（0，） B．（，1） C．（1，2） D．（2，+∞）參考答案：B【考點】51：函數的零點．【分析】畫出函數f（x）、g（x）的圖象，由題意可得函數f（x）的圖象（藍線）和函數g（x）的圖象（紅線）有兩個交點，數形結合求得k的范圍．【解答】解：由題意可得函數f（x）的圖象（藍線）和函數g（x）的圖象（紅線）有兩個交點，如圖所示：KOA=，數形結合可得＜k＜1，故選：B．7.函數的零點個數為()A．0

B．1

C．4

D．2參考答案：D略8.如圖1給出的是計算的值的一個程序框圖，其中判斷框內應填入的條件是A．

B．

C．

D．參考答案：C該程序框圖為求和運算．s=0，n=2，i=1，i10？否；s=0+，n=4，i=2，i10？否；s=0++，n=6，i=3，i10？否；…；s=0+++…+，n=22，i=11，i10？是，輸出s=.得C選項．9.執行如右圖所示的程序框圖，則輸出的的值是（

）A．

7

B．

6

C.

5

D．3參考答案：B10.已知函數的圖像在點A(1,)處切線的斜率為3，數列的前n項和為，則的值為

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設平面向量a=(1,2),b=(-2,y),若a//b，則y=_____________.參考答案：-4略12.如圖都是由邊長為1的正方體疊成的幾何體,例如第(1)個幾何體的表面積為6個平方單位，第(2)個幾何體的表面積為18個平方單位，第(3)個幾何體的表面積是36個平方單位.依此規律,則第n個幾何體的表面積是__________個平方單位.參考答案：試題分析：1.從上向下看，每層頂面的面個數為：第一層是1，第二層是2，第三層是3………第五層是5，共5個面；2.左邊和右邊還有底面的面積相等，5層時為，1+2+3+4+5=15個面3.剩下最后2個面了，這2個面的特征就是都有一個角，一個角有3個面，一共有第一層1個角，第二層2角，第三層3個角……第五層5個角，共有1+2+3+4+5=15個角,45個面；4.計算：1層時=62層時=（1+2）×3

+

（1+2）×3

=

9+9=183層時=（1+2+3）×3

+（1+2+3）×3=18+18=36第n層時為（1+2+3+……+n）×3

+

（1+2+3+……+n）×3也就是6×（1+2+3+……+n）所以當n=5是，表面積為6×15=90故第n個幾何體的表面積是個平方單位考點：本題主要考查歸納推理，等差數列的求和。點評：常見題，逐個考查，發現規律，大膽做出猜想。13.已知隨機變量的分布列如下表，又隨機變量，則的均值是

．

X－101Pa

參考答案：由已知，的均值為，∴的均值為，故答案為．

14.函數的部分圖象如圖所示,則φ=

;ω=

.參考答案：;本題考查三角函數的圖象與性質.由圖可知,解得.15.設a，b均為正實數，則的最小值是

．參考答案：416.若ai，j表示n×n階矩陣中第i行、第j列的元素，其中第1行的元素均為1，第1列的元素為1，2，3，…，n，且ai+1，j+1=ai+1，j+ai，j（i、j=1，2，…，n﹣1），則a3，n=．參考答案：

考點：數列的應用；矩陣變換的性質．專題：綜合題；等差數列與等比數列．分析：依題意，可求得a3，1=3，a3，2=5，a3，3=8，a3，4=12，…由于后一項減去前一項的差構成等差數列，利用累加法即可求得a3，n．解答：解：依題意，a3，1=3，a3，2=a3，1+a2，1=3+2=5，a3，3=a3，2+a2，2=5+3=8，a3，4=a3，3+a2，3=8+4=12，…∴a3，2﹣a3，1=5﹣3=2，（1）a3，3﹣a3，2=8﹣5=3，（2）a3，4﹣a3，3=12﹣8=4，（3）…a3，n﹣a3，n﹣1=n，（n﹣1）將這（n﹣1）個等式左右兩端分別相加得：a3，n﹣a3，1=2+3+…+（n﹣1）==n2+n﹣1，∴a3，n=n2+n﹣1+3=n2+n+2．故答案為：n2+n+2．點評：本題考查數列的通項，考查矩陣變換的性質，突出累加法求通項的考查，屬于難題．17.若不等式恒成立，則實數取值范圍是

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設的定義域為，對于任意正實數恒有且當時，.

（1）求的值；（2）求證：在上是增函數；

（3）解關于的不等式，其中參考答案：解析:(1)令 ---------------------2’(2)設,則,

即(3)由,又

--------------6’

又由(2)知,在為單調遞增函數

--------------------------------------------7’

1

此時

------------9’

2,-----10’

3當,解之得

-------------------11’綜上:當原不等式得解集為

當原不等式得解集為

當原不等式得解集為-----12’

19.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2，∠PAB=60°．（1）證明AD⊥平面PAB；（2）求異面直線PC與AD所成的角的正切值；（3）求二面角P﹣BD﹣A的正切值．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；異面直線及其所成的角；直線與平面垂直的判定．【專題】空間位置關系與距離；空間角．【分析】（Ⅰ）通過就是PA2+AD2=PD2，證明AD⊥PA．結合AD⊥AB．然后證明AD⊥平面PAB．（Ⅱ）說明∠PCB（或其補角）是異面直線PC與AD所成的角．在△PAB中，由余弦定理得PB，判斷△PBC是直角三角形，然后求解異面直線PC與AD所成的角正切函數值．（Ⅲ）過點P做PH⊥AB于H，過點H做HE⊥BD于E，連結PE，證明∠PEH是二面角P﹣BD﹣A的平面角．RT△PHE中，．【解答】（Ⅰ）證明：在△PAD中，由題設，可得PA2+AD2=PD2，于是AD⊥PA．在矩形ABCD中，AD⊥AB．又PA∩AB=A，所以AD⊥平面PAB．（Ⅱ）解：由題設，BC∥AD，所以∠PCB（或其補角）是異面直線PC與AD所成的角．在△PAB中，由余弦定理得

由（Ⅰ）知AD⊥平面PAB，PB?平面PAB，所以AD⊥PB，因而BC⊥PB，于是△PBC是直角三角形，故所以異面直線PC與AD所成的角的正切值為：．（Ⅲ）解：過點P做PH⊥AB于H，過點H做HE⊥BD于E，連結PE因為AD⊥平面PAB，PH?平面PAB，所以AD⊥PH．又AD∩AB=A，因而PH⊥平面ABCD，故HE為PE再平面ABCD內的射影．由三垂線定理可知，BD⊥PE，從而∠PEH是二面角P﹣BD﹣A的平面角．由題設可得，，，于是再RT△PHE中，．所以二面角P﹣BD﹣A的正切函數值為．【點評】本題考查二面角的平面角的求法，異面直線所成角的求法，直線與平面垂直的判斷，考查空間想象能力以及邏輯推理計算能力．20.（本小題滿分12分）

已知函數是常數，且當和時，函數取得極值（Ⅰ）求函數的解析式；（Ⅱ）若曲線與有兩個不同的交點，求實數的取值范圍參考答案：解析：（Ⅰ），

………………2分

依題意，即解得

∴

……………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲線與有兩個不同的交點，即在上有兩個不同的實數解…5分設，則，………7分由0的或當時，于是在上遞增；當時，于是在上遞減.………………9分依題意有.…11分∴實數的取值范圍是.…………………12分21.（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，側面底面，,,分別為的中點，點在線段上.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若為的中點，求證：平面；（Ⅲ）如果直線與平面所成的角和直線與平面所成的角相等，求的值.參考答案：（Ⅰ）證明：在平行四邊形中，因為，，所以.由分別為的中點，得， 所以.

………………1分因為側面底面，且，所以底面.

………………2分又因為底面，所以.

………………3分又因為，平面，平面，

所以平面.

………………4分（Ⅱ）證明：因為為的中點，分別為的中點，所以，又因為平面，平面，所以平面.

………………5分同理，得平面.又因為，平面，平面，所以平面平面.

………………7分又因為平面，所以平面.

………………9分（Ⅲ）解：因為底面，，所以兩兩垂直，故以

分別為軸、軸和軸，如圖建立空間直角坐標系，則，所以，，，

………………10分設，則，所以，，易得平面的法向量.

………………11分設平面的法向量為，由，，得令,得.

………………12分因為直線與平面所成的角和此直線與平面所成的角相等，所以，即，

………………13分所以，解得，或（舍）.

………………14分

22.（本小題滿分12分）已知等比數列的前n項和為(1)求的值，并求出數列的通項公式；(2)將函數向左平移個單位得到的圖像，求在上的最大值。參考答案：（1）λ=2

an=；（2）4【知識點】函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換；等比數列的性質．C3D3解析：(Ⅰ)∵Sn=，∴a1=S1=λ-1，a2=S2-S1=2λ-1-(λ-1)=λ，a3=S3-S2=4λ-1-(2λ-1)=2λ，……2分∵{an}是等比數列，∴a22=a1a3，即λ2=2λ(λ-1)，解得λ=0(不