第二章矩陣的相似及應用2.1矩陣對角化2.2－矩陣和初等因子2.3標準形2.4廣義特征向量2.1矩陣對角化

2.1.1特征值與特征向量

假如是線性空間中的一個線性變換，是的一個基，如果在下的矩陣是對角形，那么應具備什么樣的性質呢？即使T滿足

(2.1.1)將式(2.1.1)寫成向量的形式，其中，基S中每一個向量在變換下滿足：定義2.1.1

是線性空間中的向量，如果對于線性變換滿足

(2.1.2)稱是的特征值，是線性變換屬于的特征向量。從幾何角度看，當且為實數時，特征向量的方向經線性變換后保持不變。當時，與保持同指向，當時，與指向相反。既然把一組線性無關的特征向量作為基表示的矩陣形式這樣簡單，是否可以找到這樣一組特征向量和如何尋找這樣一組特殊的向量就是我們下面要做的工作.（1）特征向量的求法

在中，設是的任意一個基，是中的線性變換,在下的矩陣是矩陣。如果是中的一個屬于特征值的特征向量，就有并且因為

那么

由特征向量定義，以上二式可以寫成

（2.1.3）因為是的一個基，是線性無關向量組，（2.1.3）成立可以等價于(2.1.4)其中是特征向量在基下的坐標，因為,所以是非零向量,方程組（2.1.4）有非零解的充分必要條件定義2.1.2

稱為矩陣的特征矩陣，其行列式稱為的特征多項式，稱為的特征方程，其根稱為的特征值（特征根）。下面，我們來分析中線性變換與取定基下的矩陣的特征值與特征向量的關系。

是一個關于的次多項式，如果是線性變換的特征值，那么必是矩陣的特征多項式的一個根；反之，如果是矩陣在數域中的一個特征根，即，那么，向量滿足(2.1.2)式，,表明是屬于的特征向量，所以只要求出在基下矩陣的特征值和特征向量就行了.換言之，的特征值與的特征值一致，而的特征向量在的基下的坐標與的特征向量一致。因此，線性變換的特征值與特征向量計算步驟如下：(1)取定上線性空間中的一個基，寫出線性變換在下的矩陣(2)計算的特征多項式全部根，它們也是的全部特征值；；(3)把求得的特征根逐一代入方程組(2.1.4)解出屬于每個特征值的全部線性無關的特征向量;（4）以的屬于每個特征值的特征向量為中取定基的坐標，就得到的特征向量.如果是對應的特征向量，則也是對應的的特征向量，其中，即若，就有這說明特征向量不是由唯一決定的。但是，特征值卻被特征向量唯一決定，因此每一個特征向量只屬于一個特征值。例2.1.1（2）矩陣特征值與特征向量的性質對于線性空間的線性變換的任一特征值,的屬于的全體特征向量，再添加上零向量構成的集合（2.1.5）是的一個線性子空間.

事實上，設則有

于是

說明均屬于定義2.1.3

設是線性空間的線性變換，是的一個特征值，稱的子空間是的屬于的特征子空間,

的維數是屬于的線性無關特征向量的個數。下面來分析矩陣的特征多項式.是線性空間中的線性變換,在中的一個基下的矩陣是根據行列式展開原理，的系數有性質：

定義2.1.4

稱是矩陣A的跡，在復數域內，(2.1.6)式有n個根（含重根）,即顯然定義2.1.5

是線性空間中線性變換,,;稱為的譜;稱為的譜半徑。定理2.1.1

線性變換T

的不同特征值所對應的特征向量線性無關。定理2.1.2

若是線性變換的r重特征值，則2.1.2矩陣對角化2.1.2.1矩陣的相似關系定義2.1.6令是的矩陣,是非奇異矩陣,如果他們之間存在關系則稱與矩陣是相似矩陣,記為;矩陣的相似關系，滿足以下性質:

(1)，這是因為.(2)若，則；如果，那么存在，使得令，可以得到，所以

.⑶若,則,是

n×n

矩陣這是因為存在，使得，

.令，就有

定理2.1.3

線性空間中的線性變換在不同基下的矩陣相似.定理2.1.4

若與矩陣是相似矩陣,那么它們有相同的特征多項式,從而有相同的特征值.2.1.2.2矩陣對角化

如果是矩陣,其中是對角形矩陣,即，其中可能有重根;是非奇異矩陣，并且則稱是可對角化的,如果是線性空間中線的變換在基下的矩陣,也稱是可對角化的。(2.1.12)是否每一個矩陣都可以對角化？將(2.1.12)式寫成矩陣形式

令就有(2.1.13)顯然對矩陣的每一個列向量滿足是矩陣屬于特征值的特征向量。

在例2.1.1中,是線性變換在基下對應矩陣的3個特征向量,從而是的特征向量的坐標.于是就是由基到基的過渡矩陣，即線性變換是可對角化的.定理2.1.5

如果階矩陣有個線性無關的特征向量，矩陣與對角矩陣相似。推論1

如果階矩陣有個互異的特征值，矩陣與對角矩陣相似。2.1.3分解引理2.1.1

若元復向量，的范數，則一定存在一個酉矩陣，使得是它的第1列量。

定理2.1.6

（Schur定理)設為階方陣，是的特征值，不論它們是實數還是復數，總存在相似酉矩陣，使得，其中為上三角矩陣，對角線上的元素是.

推論1

如果是矩陣，則存在酉矩陣，使得

推論2

如果是實對稱矩陣，則存在正交矩陣，使得2.2-矩陣和初等因子

引入-矩陣其中是數域上純量的多項式。例如矩陣的特征矩陣

就是一個-矩陣2.2.1-矩陣的初等變換和

Smith

標準形定義2.2.1-矩陣中不恒等于零的子式的最高階數稱為-矩陣的秩，記為，即.例2.2.1定義2.2.2

關于-矩陣的三種初等變換：⑴兩行(列)互換位置；⑵某行(列)乘不等于零的數；⑶

用

的多項式乘某行(列)并加到另一行(列)上。三種初等變換對應三個初等矩陣，，并且，施于行變換時，相當左乘相應初等矩陣，施于列變換時，相當右乘相應初等矩陣，可以證明初等變換不改變-矩陣的秩。初等矩陣都是可逆矩陣，并且有定義2.2.3

若-矩陣經過有限次初等變換，化成-矩陣，則稱與等價。記為：等價是-矩陣的一種關系，這種關系，顯然具有下面三個性質：（1）反身性：每一個-矩陣與自己等價。（2）對稱性：若與等價，則與等價，這是因為初等變換具有可逆性。（3）傳遞性：若與等價，與等價,則與等價。

應用初等變換和初等矩陣的關系，即得矩陣與等價的充分必要條件是存在一系列初等矩陣，使

引理2.1.1

設-矩陣的左上角元素，并且中至少有一個元素不能被它除盡，則一定可以找到一個與矩陣等價的矩陣，它的左上角元素也不為零但是次數比低。

定理2.2.1

任意一個非零的的矩陣都等價于一個對角形矩陣

(2.2.3)其中，是首1的多項式，式(2.2.3)稱為的標準形.例2.2.22.2.2行列式因子和初等因子2.2.2.1行列式因子和

Smith

標準形定義矩陣的秩是,表示的k

階子式的最大公因式，稱是的k

階行列式因子.定理2.2.2

等價矩陣具有相同的秩與相同的各階行列式因子.

例（2.2.3）2.2.2.2矩陣的初等因子復數域上，可將不變因子分解成一次因子之積

在式（2.2.5）中互異(2.2.5)…因為，所以.在式(2.2.5)中所有指數大于零的因子都稱為的初等因子.要注意,在計算初等因子個數時,重復的初等因子按重數計算,全部初等因子稱為的初等因子組;其中稱為與相當的初等因子組.定理2.2.3

與是矩陣，則的充要條件是它們有相同的秩與相同的初等因子組.例2.2.4例2.2.5求矩陣的初等因子，不變因子和標準形。解：的行列式因子是

不變因子

初等因子

行列式因子

不變因子：

1，初等因子：的初等因子：的標準形是：

2.3標準形

形如：

(2.3.1)的方陣稱為塊，其中是復數，次對角線元素是

1。例2.3.1；例2.3.22.3.1形的標準形塊的特征矩陣的標準形設的標準形是：由上面的計算過程可以知道，每一個塊的特征矩陣僅有一個初等因子，這個初等因子的冪指數與塊的階數相同。根據定理2.2.2對標準形

的特征矩陣的初等因子就是每一個

塊的初等因子的總和。即是假設是矩陣，就有。例2.3.32.3.2矩陣的標準形定理2.3.1

矩陣與

n階

標準形相似的充分必要條件是

與的特征矩陣等價，即定理2.3.2

每個n階復矩陣都與一個標準形相似，這個標準形在不計其中塊的排列順序時，完全由矩陣唯一決定，即每一個矩陣都與一個標準形相似。將一個矩陣化成與相似的標準形，其步驟是：⑴寫出的特征矩陣；⑵求出的全部初等因子；⑶寫出每個初等因子對應的塊；⑷寫出標準形。例2.3.4推論1

方陣可以對角化的充分條件是矩陣的特征矩陣的初等因子的冪都是一次的。2.3.3廣義特征向量定理2.3.1已介紹了，那么當我們利用矩陣的特征矩陣的初等因子將化成標準形以后，怎樣尋找使得

的非奇異矩陣呢？先從一個簡單的例子開始，給出一般計算的方法假如就有（2.3.4）顯然,是矩陣屬于特征值的特