山東省青島市泰光中學2022-2023學年高三數學理下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.當正整數集合A滿足：“若x∈A，則10﹣x∈A”．則集合A中元素個數至多有（）A．7 B．8 C．9 D．10參考答案：C【考點】15：集合的表示法．【分析】由x∈A，則10﹣x∈A可得：x＞0，10﹣x＞0，解得：0＜x＜10，x∈N*．若1∈A，則9∈A．同理可得：2，3，4，5，6，7，8，都屬于集合A．即可得出．【解答】解：由x∈A，則10﹣x∈A可得：x＞0，10﹣x＞0，解得：0＜x＜10，x∈N*．若1∈A，則9∈A．同理可得：2，3，4，5，6，7，8，都屬于集合A．因此集合A中元素個數至多有9個．故選：C．2.如果實數滿足不等式組，目標函數的最大值為6，最小值為0，則實數的值為（

）A.1

B.2

C.3

D.4參考答案：B試題分析：不等式組表示的可行域如圖，∵目標函數的最小值為0，∴目標函數的最小值可能在或時取得；∴①若在上取得，則，則，此時，在點有最大值，，成立；②若在上取得，則，則，此時，，在點取得的應是最大值，故不成立，，故答案為B.考點：線性規劃的應用.3.計算（

）A．

B．

C．

D．參考答案：【知識點】對數函數.B7【答案解析】B解析：解：由對數的運算性質可知，所以正確選項為B.【思路點撥】根據對數函數的運算法則與換底公式，可化簡對數求出結果.4.已知集合等于（

）

A．{0}

B．{0，1}

C．{-1，1}

D．{-1，0，1}參考答案：B5.函數的圖像向右平移()個單位后，與函數

的圖像重合．則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C試題分析：函數向右平移()個單位后得:,則,即,故,故當時,,選C.考點：正弦余弦函數的圖象．6.若復數z滿足（1+i）z=2+i，則復數z的共軛復數在復平面內對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：A【考點】復數代數形式的乘除運算．【分析】利用復數的運算法則、共軛復數的定義、幾何意義即可得出．【解答】解：（1+i）z=2+i，（1﹣i）（1+i）z=（2+i）（1﹣i），∴2z=3﹣i，解得z=﹣i．則復數z的共軛復數=+i在復平面內對應的點（，）位于第一象限．故答案為：A．7.過拋物線y2=4x的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，點O是坐標原點，則|AF|·|BF|的最小值是

（

）

A．2

B．

C．4

D．2參考答案：C略8.已知向量=（3，1），

=（，－3），且⊥，則實數的取值為（

）A．－3

B．3

C．－1

D．1參考答案：D由⊥，得，得，故選擇D。9.雙曲線的離心率為 A．

B．

C．2+1

D．參考答案：B10.在一組樣本數據（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1,x2,…,xn不全相等）的散點圖中，若所有樣本點（xi，yi）（i=1,2,…,n）都在直線y=x+1上，則這組樣本數據的樣本相關系數為（

）

A．－1

B．0

C．

D．1參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若將標號為1，2，3，4，5，6的6張卡片放入3個不同的信封中．如果每個信封放2張，其中標號為1，2的卡片放入同一信封，則不同的方法共有

參考答案：1812.已知，則____________.參考答案：

【知識點】向量的運算;向量的模F2解析：設,則,解得,所以,故答案為.【思路點撥】設,然后利用解得,最后利用向量的模的公式解之.13.已知向量，，．若為實數，，則________________.參考答案：略14.如圖，在△ABC中，AB=AC，BC=2，，，若，則=．參考答案：考點：向量在幾何中的應用．專題：計算題；平面向量及應用．分析：以BC的中點O為原點，建立如圖所示直角坐標系，可得B（﹣1，0），C（1，0）．設A（0，m），從而算出向量的坐標關于m的式子，由建立關于m的方程，解出m=2．由此算出的坐標，從而可得的值．解答：解：以BC的中點O為原點，BC所在直線為x軸建立直角坐標系，如圖所示．則B（﹣1，0），C（1，0），設A（0，m），由題意得D（，），E（，），∴=（，），=（1，﹣m），∵，∴×1+×（﹣m）=﹣，解之得m=2（負值舍去）由此可得E（，），=（﹣，），=（﹣1，﹣2）∴=﹣×（﹣1）+×（﹣2）=﹣．故答案為：﹣點評：本題給出等腰三角形的底面長，在已知兩個向量的數量積的情況下求另外向量的數量積．著重考查了等腰三角形的性質、向量的數量積公式和向量的坐標運算等知識，屬于中檔題．15.若關于的不等式的解集非空，則實數的取值范圍是

。參考答案：16.設平面上的動點P（1，y）的縱坐標y等可能地取用ξ表示點P到坐標原點的距離，則隨機變量ξ的數學期望Eξ=

.參考答案：由題意,隨機變量ξ的的值分別為3,2,1,則隨機變量ξ的分布列為:

ξ123P

所以隨機變量ξ的數學期望Eξ=.點睛：數學期望是離散型隨機變量中重要的數學概念，反映隨機變量取值的平均水平.求解離散型隨機變量的分布列、數學期望時，首先要分清事件的構成與性質，確定離散型隨機變量的所有取值，然后根據概率類型選擇公式，計算每個變量取每個值的概率，列出對應的分布列，最后求出數學期望.

17.曲線在點（1，-1）處的切線方程為

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某電視臺組織部分記者，用“10分制”隨機調查某社區居民的幸福指數，現從調查人群中隨機抽取16名，如圖所示的莖葉圖記錄了他們的幸福指數的得分（以小數點前的一位數字為莖，小數點后的一位數字為葉）：（1）指出這組數據的眾數和中位數；（2）若幸福指數不低于9.5分，則稱該人的幸福指數為“極幸福”，求從這16人中隨機選取2人，至多有1人是“極幸福”的概率．參考答案：解：（1）由莖葉圖知：眾數為8.6；中位數為=8.75；（2）設A表示“2個人中至多有一個人‘很幸福’”這一事件由莖葉圖知：幸福度不低于9.5分的有4人，∴從16人中隨機抽取2人，所有可能的結果有=120個，其中事件A中的可能性有=114個，∴概率P（A）==．略19.（本小題滿分16分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分）定義數列，如果存在常數，使對任意正整數，總有成立，那么我們稱數列為“擺動數列”．（1）設，，，判斷、是否為“擺動數列”，并說明理由；（2）設數列為“擺動數列”，，求證：對任意正整數，總有成立；（3）設數列的前項和為，且，試問：數列是否為“擺動數列”，若是，求出的取值范圍；若不是，說明理由.參考答案：解：（1）假設數列是“擺動數列”，即存在常數，總有對任意成立，不妨取時，則，取時，則，顯然常數不存在，所以數列不是“擺動數列”；…………2分而數列是“擺動數列”，.由，于是對任意成立，所以數列是“擺動數列”.…4分（2）由數列為“擺動數列”，，即存在常數，使對任意正整數，總有成立.即有成立.則，…6分所以，……7分同理，………………8分所以.………………9分因此對任意的，都有成立.………………10分（3）當時，，當時，，綜上，…………12分即存在，使對任意正整數，總有成立，所以數列是“擺動數列”；………………14分當為奇數時遞減，所以，只要即可，當為偶數時遞增，，只要即可.………………15分綜上.所以數列是“擺動數列”，的取值范圍是.………16分

略20.如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC為正三角形，AA1=AB=6，D為AC的中點．（1）求證：直線AB1∥平面BC1D；（2）求證：平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）求三棱錐C﹣BC1D的體積．參考答案：【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；平面與平面垂直的判定．【專題】綜合題；空間位置關系與距離．【分析】（1）連接B1C交BC1于點O，連接OD，則點O為B1C的中點．可得DO為△AB1C中位線，A1B∥OD，結合線面平行的判定定理，得A1B∥平面BC1D；（2）由AA1⊥底面ABC，得AA1⊥BD．正三角形ABC中，中線BD⊥AC，結合線面垂直的判定定理，得BD⊥平面ACC1A1，最后由面面垂直的判定定理，證出平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）利用等體積轉換，即可求三棱錐C﹣BC1D的體積．【解答】（1）證明：連接B1C交BC1于點O，連接OD，則點O為B1C的中點．∵D為AC中點，得DO為△AB1C中位線，∴A1B∥OD．∵OD?平面AB1C，A1B?平面BC1D，∴直線AB1∥平面BC1D；（2）證明：∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BD，∵底面ABC正三角形，D是AC的中點∴BD⊥AC∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1，∵BD?平面BC1D，∴平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）解：由（2）知，△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3，∴S△BCD==，∴VC﹣BC1D=VC1﹣BCD=??6=9．【點評】本題給出直三棱柱，求證線面平行、面面垂直并探索三棱錐的體積，著重考查了空間線面平行、線面垂直的判定與性質，考查了錐體體積公式的應用，屬于中檔題．21.某市疾控中心流感監測結果顯示，自2019年1月起，該市流感活動一度d現上升趨勢，尤其是3月以來，呈現快速增長態勢，截止目前流感病毒活動度仍處于較高水平，為了預防感冒快速擴散，某校醫務室采取積極方式，對感染者進行短暫隔離直到康復。假設某班級已知6位同學中有1位同學被感染，需要通過化驗血液來確定感染的同學，血液化驗結果呈陽性即為感染，呈陰性即未被感染。下面是兩種化驗方法：方案甲：逐個化驗，直到能確定感染同學為止；方案乙：先任取3個同學，將它們的血液混在一起化驗，若結果呈陽性則表明感染同學為這3位中的1位，后再逐個化驗，直到能確定感染同學為止；若結果呈陰性則在另外3位同學中逐個檢測；(1)求依方案甲所需化驗次數等于方案乙所需化驗次數的概率；(2)表示依方案甲所需化驗次數，表示依方案乙所需化驗次數，假設每次化驗的費用都相同，請從經濟角度考慮那種化驗方案最佳。參考答案：（1）；（2）方案乙更佳分析：（1）分別求出時的值，及時的值，進而可求出方案甲所需化驗次數等于依方案乙所需化驗次數的概率；（2）確定的可能取值及相應的數學期望，比較二者大小可知方案乙更佳.詳解：（1）設分別表示依方案甲需化驗為第次；表示依方案乙需化驗為第次；表示方案甲所需化驗次數等于依方案乙所需化驗次數．，（2）的可能取值為．的可能取值為．（次），∴（次），∴故方案乙更佳．點睛：求解離散型隨機變量數學期望的一般步驟