數字信號處理

第一章離散時間信號與系統

一、離散信號（序列）的表示

（T表示抽樣間隔）表示方法：（1）數學表達式（2）圖形表示1.1離散時間信號——序列二、信號的運算1、信號的移位：x(n)→x(n-m)

2、線性卷積：上式中，若序列x(n)和h(n)的長度分別是M和L,則y(n)的長度為L+M-1。

三、幾種常用序列1、單位抽樣序列δ(n)（1）定義式（2）δ(n)的性質

例：求（1）（2）2、單位階躍序列u(n)（1）定義式3、矩形序列RN(n)（1）定義式（2）RN(n)用來截斷序列例：序列x(n)=δ(n)-3δ(n-1)+2δ(n-2),若序列y(n)=x(n-1)R3(n),求y(n)的數學表達式。4、正弦型序列要求：會判斷正弦型序列的周期性四、正弦序列的周期性的周期有三種情況：是整數，則x(n)是周期序列，周期為N；

是有理數，（其中P、Q為互質整數)，則x(n)是周期序列，周期為P；

是無理數，則x(n)不是周期序列。

例1：序列是否周期序列？若是，周期是多少？例2：信號以抽樣間隔T=0.5對x(t)進行抽樣得到離散信號x(n),（1）請問x(n)是否為周期序列？如果是，寫出x(n)的周期；（2）若欲對x(t)進行信號分析，則時域應至少取多少個抽樣點？為什么？五、用δ(n)表示任意序列例1：已知序列x(n)=δ(n)-4δ(n-1)+3δ(n-2),y(n)=x(n-1),求y(n)的數學表達式。畫圖表示x(n)和y(n).例2：已知f(n)如圖，寫出f(n)表達式

1.2線性、移不變（LSI）系統一、線性系統：若y1(n)=T[x1(n)]、y2(n)=T[x2(n)]，則a1y1(n)+a2y2(n)=T[a1x1(n)+a2x2(n)]例：判斷下列系統是否線性系統。y(n)=x(n)+1y(n)=x(n+5)y(n)=x(3n)二、移不變系統：若y(n)=T[x(n)]，則y(n-m)=T[x(n-m)]。例：判斷下列系統是否線性移不變系統。y(n)=x(n)+1y(n)=x(n+5)y(n)=x(3n)三、LSI系統的單位抽樣響應h(n)（1）定義：當輸入信號為δ(n)，系統的零狀態響應稱為單位抽樣響應，用h(n)表示。（2）h(n)只能用來描述線性移不變系統。（3）若線性移不變系統的單位抽樣響應為h(n)，當輸入信號為x(n)時，系統的輸出為：y(n)=x(n)*h(n)四、因果系統

1、因果系統的定義：因果系統是指某時刻的輸出只取決于此時或此時之前時刻的輸入的系統。例：判斷下列系統是否因果系統。

y(n)=x(n-2)，

y(n)=x(n+5)例：下列單位抽樣響應所表示的系統是否因果系統?A.h(n)=δ(n) B.h(n)=u(n)C.h(n)=R10(n) D.h(n)=e-20nu(n)2、線性移不變系統因果性的判斷：當n<0時，h(n)=0，則系統是因果系統。

1、穩定系統的定義：穩定（BIBO）系統是指當輸入有界時，輸出也有界的系統。例：判斷下列系統是否穩定系統。

y(n)=x(n-2)

y(n)=nx(n)五、穩定系統2、線性移不變系統穩定性的判斷：

若，系統是穩定系統。例：下列單位抽樣響應所表示的系統是否因果穩定系統?A.h(n)=δ(n)B.h(n)=u(n)C.h(n)=R10(n)D.h(n)=e-20nu(n)1.4連續時間信號的抽樣1、對連續信號進行時域抽樣會使信號的頻譜產生周期延拓。

2、奈奎斯特抽樣定理：若信號頻率上限為fc，要想對其抽樣后由抽樣信號恢復出原信號，則抽樣率fs應滿足稱為奈奎斯特抽樣頻率，稱為乃奎斯特抽樣間隔。

3、抽樣信號的恢復：若連續信號為帶限，且對其抽樣滿足奈奎斯特條件，則只要將抽樣信號通過理想低通濾波器即可完全不失真恢復原信號。

第二章Z變換與離散時間傅里葉變換2.2z變換定義與收斂域一、z變換公式例：序列x(n)=δ(n)+2δ(n-1)-5δ(n-2).求x(n)的z變換X(z)解：掌握X(z)收斂域與序列x(n)的關系若X(z)收斂域為，則x(n)為右邊序列（因果序列），反之亦然，則x(n)為左邊序列（逆因果序列），反之亦然；若X(z)收斂域為，則x(n)為雙邊序列，反之亦然；若X(z)收斂域為，則x(n)為有限長序列，反之亦然。若X(z)收斂域為二、z變換的收斂域：使X(z)收斂的z的范圍。2.3Z反變換1、極點：

使的z的值稱為X(z)的極點。收斂域內不可能有極點。極點決定收斂域的邊界。

例：求的極點。X（z）有幾種可能的收斂域？

2、X(z)有幾種收斂域，就對應幾種x(n)。一、掌握收斂域在Z反變換中的作用。二、掌握用留數法求Z反變換的方法例：已知求X(z)的反變換x(n)。一、z變換的時移特性：若，則2.4Z變換的性質二、z變換的卷積特性：2.6序列的傅里葉變換一、序列的傅里葉變公式：

例：序列x(n)=δ(n)+2δ(n-1)-5δ(n-2).

求x(n)的頻譜X(ejω)解：

二、序列x(n)的直流分量例：若x(n)=δ(n)-3δ(n-1)+9δ(n-2),

則x(n)的直流分量X(ej0)=

。2.9傅里葉變換的一些對稱性質3、實偶序列的傅里葉變換是實偶函數。1、實序列的傅里葉變換的幅度是偶函數，相位是奇函數。4、實奇序列的傅里葉變換是虛奇函數。2、實序列的傅里葉變換的實部是偶函數，虛部是奇函數。2.10離散系統的系統函數，系統的頻率響應二、因果穩定系統的H(z)的收斂域特征：因果系統H(z)的收斂域包含∞，即穩定系統H(z)的收斂域包含單位圓因果穩定系統的H(z)的收斂域同時包含∞和單位圓，即因果穩定系統的H(z)的全部極點都在單位圓內。一、系統函數的定義及其與抽樣響應h(n)的關系例

：因果系統的收斂域是

例：若某系統為穩定系統，則其系統函數的收斂域為可能是（）

A.｜z｜>7B.｜z｜<0.3C.0.1<｜z｜<7D.1<｜z｜<7例：已知線性時不變系統的系統函數若該系統因果穩定，則（）三、系統函數與差分方程的關系1、差分方程的形式：例：y(n)+2y(n-1)+5y(n-2)=2x(n)2、由差分方程求系統函數H(z)例：一個線性移不變系統由方程y(n)-3.2y(n-1)+2.4y(n-2)=x(n)描述，

(1)求系統函數H(z)；（2）該方程可以描述幾種不同的系統？

(3)若系統是因果系統，求其單位抽樣響應。四、系統頻率響應的幾何確定法1、系統頻率響應的定義稱為系統的頻率響應。2、頻率響應曲線與H（z）零、極點的關系

靠近單位圓的零點位置對應幅頻響曲線的谷值位置，

靠近單位圓的極點位置對應幅頻響曲線的峰值位置。

例：某系統的系統函數為：畫出H(z)的零、極點分布圖；粗略畫出系統的幅頻響應曲線。第三章離散傅里葉變換DFT3.2傅里葉變換的幾種可能形式信號時域與頻域特性的對應關系時域：離散連續周期非周期頻域：周期非周期離散連續例：判斷對錯：1、x(n)是一個離散周期信號，則它的頻譜一定一個離散周期函數。2、序列的頻譜一定是周期函數。3.5離散傅里葉變換一、掌握DFT公式

例：序列x(n)=δ(n)+2δ(n-1)-5δ(n-2).

求x(n)的DFT解：

二、DFT的物理含義3.6DFT的性質一、序列的補零以及補零序列的DFT二、序列的圓周移位表示y(n)是x(n)的圓周移位，掌握圓周移位的過程。例：序列x(n)=2δ(n)+3δ(n-1)-4δ(n-2),若序列y(n)=x（(n-1)）3R3(n),試分別畫圖表示x(n)和y(n)。三、序列的圓周卷積與線性卷積的關系3.8利用DFT計算模擬信號的傅立葉變換對1、頻譜混疊：是指信號頻譜周期延拓時發生混疊的現象。產生原因：時域抽樣不滿足抽樣定理。改善方法：減小抽樣間隔。一、利用DFT計算連續時間信號的傅立葉變換可能出現的三個主要問題：2、頻譜泄露：是指信號頻譜分布加寬，高頻含量增加的現象。產生原因：時域信號截斷。改善方法：增加時域信號長度或采用更平滑的截斷方式。3、柵欄效應：是指對連續時間信號的連續頻譜進行頻譜分析時，其中部分頻譜未被抽樣、未能觀察到的現象。

產生原因：是由于采用DFT對連續信號進行離散傅里葉變換，對頻譜進行了抽樣。

改善方法：通過時域補零，可以增加頻域抽樣點，改善“柵欄效應”。

二、譜分析主要參數的計算若譜分析處理器要求最高頻率為fc,頻率分辨率為Fo,請確定以下參數：（1）最小記錄長度（2）最大抽樣間隔（3）一個記錄中的最少抽樣點數,N通常取2的整數次冪。

例：已知某FFT譜分析處理器要求最高頻率≤1kHz,頻率分辨率≤2Hz,

請確定以下參數：（1）最小記錄長度；（2）最大抽樣間隔；（3）一個記錄中的最少抽樣點數。解：（1）最小記錄長度（2）最大抽樣間隔（3）一個記錄中的最少抽樣點數N取1024。一、FFT的基本運算單元是碟形運算二、用基2時間抽取FFT計算N點DFT所需的復數乘法次數與成正比4.3按時間抽取的基2FFT算法第四章快速傅里葉變換FFT4.2直接計算DFT的問題及改善途徑一、FFT是DFT的快速算法二、直接計算N點DFT所需的復數乘法次數與N2成正比用FFT實現線性卷積的步驟設序列x(n)和h(n)的長度分別為M和L，則用FFT實現線性卷積的步驟是（令N=L+M-1）：

（1）對x(n)計算N點FFT：X(k)=DFT[x(n)]；（2）對h(n)計算N點FFT：H(k)=DFT[h(n)]；（3）計算Y(k)=X(k)H(k)；（4）對Y(k)計算N點IFFT：y(n)=DFT[Y(k)]。4.10線性卷積的FFT算法例：已知系統的h(n)長度為11，現采用h(n)對一個33點輸入序列x(n)濾波，請寫出用FFT實現該濾波過程的步驟。解：令N=11+33-1=43

（1）對x(n)計算N點FFT：X(k)=DFT[x(n)]；（2）對h(n)計算N點FFT：H(k)=DFT[h(n)]；（3）計算Y(k)=X(k)H(k)；（4）對Y(k)計算N點IFFT：y(n)=DFT[Y(k)]。

第五章數字濾波器結構一、掌握IIR濾波器的幾個特點二、掌握IIR濾波器的典范性、級聯型結構。

5.2IIR濾波器的基本結構例：已知系統函數（1）該系統函數可以描述幾種不同的系統？（2）求出因果系統的單位抽樣響應;（3）

畫出H（z）的典范型結構。5.3FIR濾波器的基本結構一、掌握FIR濾波器的幾個特點二、掌握FIR濾波器的快速卷積結構第六章IIR濾波器設計方法6.2最小與最大相位延遲系統掌握最小相位延遲系統的零、極點特點6.3全通系統一、掌握全通系統的零、極點特點二、掌握全通系統的應用利用模擬濾波器設計IIR數字濾波器時，由S平面到Z平面的映射變換應遵循的兩個基本原則：

1、s左半平面映射到z平面單位圓內；

2、s平面的虛軸映射到z平面單位圓上。6.4利用模擬濾波器設計IIR數字濾波器6.5沖激響應不變法一、沖激響應不變法主要的優缺點優點：（1）數字時域特性可以很好地模仿模擬時域特性；（2）數字角頻率與模擬角頻率是線性關系，因此不會產生頻率幅度及相位特性的畸變。缺點：s與z平面不是一一對應關系，存在頻譜混疊。二、沖激不變法設計中模擬濾波器與數字濾波器的對應關系：

（1）h(n)與ha(t)的關系：

（2）z與s的關系：（3）模擬角頻率Ω與數字角頻率ω的關系：

（4）H(z)與Ha(s)的關系：若則例：已知模擬低通濾波器的系統函數為采用沖激響應不變法將其變換為數字濾波器，寫出數字濾波器的系統函數H(z)的表達式（抽樣間隔T=1）。解：6.7雙線性變換法一、雙線性變換法主要的優缺點優點：s與z平面一一對應，不存在頻譜混疊。缺點：數字角頻率與模擬角頻率是非線性關系，因此會產生頻率幅度及相位特性的畸變。應用：雙線性變換只能用來設計頻率特性為分段常數的IIR濾波器二、雙線性法中模擬濾波器與數字濾波器的對應關系：

（3）H(z)與Ha(s)的關系（數字化方法）：（2）模擬角頻率Ω與數字角頻率ω的關系：三、掌握雙線性法中的指標預畸

（1）z與s的關系：（在設計低通濾波器時，c=2/T）例：沖激響應不變法和雙線性變換法都是將一個模擬濾波器的系統函數H(s)變換成一個數字濾波器的系統函數H(z)的映射方法，請回答下列問題：（1）最小相位模擬系統的特點是：所有極點和零點均在左半s平面上。如果要把一個最小相位模擬濾波器變換成一個最小相位數字濾波器，請問上述兩種映射方法能否滿足要求？給出理由。（2）全通模擬系統的特點是：所有極點均在左半s平面sk處，而全部零點都在右半s平面-sk處。如果要把一個全通模擬濾波器變換成一個全通數字濾波器，請問上述兩種映射方法能否滿足要求？給出理由。6.8常用模擬低通濾波器特性掌握巴特沃斯低通濾波器的設計方法6.10IIR數字濾波器設計掌握巴特沃斯低通數字濾波器的設計步驟和具體過程指標變換——模擬濾波器設計——變換為數字濾波器第七章FIR濾波器設計方法FIR濾波器與IIR濾波器的比較（單位抽樣響應h(n)、H(z)極點分布以及運算結構三個方面）：

1、IIR濾波器的h(n)長度無限，因此不可能是線性相位，而

FIR濾波器h(n)長度有限，可以做到線性相位。2、IIR濾波器H(z)在有限z平面內（即z≠0且z≠∞）一定有極點存在，所以可能不是因果穩定；而FIR濾波器的全部極點都分布在z=0處，所以一定因果穩定。3、IIR濾波器一定要采用遞歸結構實現，而FIR濾波器可以采用非遞歸運算結構實現。7.1引言例：下列特征不屬于FIR濾波器的是A.h(n)有限長B.可能不穩定C.非遞歸結構D.可能線性相位一、線性相位FIR系統(0≤n≤N-1)的單位抽樣響應應滿足的條件是h(n)=±h(N-1-n)7.2線性相位FIR濾波器特點二、線性相位FIR濾波器的相位特點三、線性相位FIR濾波器的幅度特點：四種類型線性相位FIR濾波器四、線性相位FIR濾波器的零點特點例3：某濾波器的單位抽樣響應h(n)=Sa[100π(n-5)]R11(n)（1）它是何種數字濾波器？（2）它是因果穩定系統嗎？為什么？（3）它是線性相位的嗎？為什么？7.3窗函數設計法一、窗函數的特點：（1）窗函數的長度只與濾波器的過渡帶寬度有關，與濾波器阻帶最小衰減無關；（2）窗函數的形狀與濾波器的過渡帶寬度和濾波器阻帶最小衰減都有關系；（，N為窗函數長度）

二、用窗函數法設計FIR數字濾波器的步驟（一）根據指標寫出理想低通濾波器hd（n）表達式：首先根據指標計算濾波器通帶截止頻率

理想低通濾波器hd（n）表