微積分疑難分析系列講座無窮級數5月25日（星期三）晚7：20地點：A203微積分(下)期末考試要點題型分析：填空題15%基本計算題55-65%證明題5-15%選擇題15%選擇題常考內容：1、多元函數連續、可微、可偏導之間的關系；2、求多元數量值函數積分：二重積分、三重積分、第一類線、面積分計算.(注意對稱性)3、冪級數的阿貝爾定理；５、一個給定級數的收斂情況．（是絕對收斂或條件收斂或發散或不定）４、傅立葉級數的狄立克萊收斂定理；務必掌握的計算：1、二階線性常系數非齊次微分方程

y’’+ay’+by=f(x)

的求解.2、求多元函數的偏導數.3、求多元函數的(無條件、條件）極值．4、求空間曲線的切線與法平面；求空間曲面的切平面與法線；尤其是抽象函數的偏導數.如:z=f(xy,x-y);方程所確定的隱函數的偏導數.如:６、用格林公式計算第二類曲線積分；用高斯公式計算第二類曲面積分．７、求冪級數的收斂域及其和函數;

將函數f(x)展開為冪級數、傅立葉級數．5、計算二重積分、三重積分、第一類曲面積分、

第二類曲面積分．或二型線積分與路徑無關.證明題?？純热荩褐饕顷P于常數項級數的收斂性證明；（僅2003,2008年沒有考）多元函數連續、可導、可微的關系函數可微函數連續偏導數連續函數可偏導例選擇題ＣB

二重積分的計算步驟1、作積分區域圖.2、根據區域的形狀及被積函數的結構選擇坐標系；

3、化二重積分為二次積分；(1)直角坐標系中，需確定是先對y后對x積分還是先對x后對y積分;(2)極坐標系中，一般是先對r后對積分.注意:(1)坐標系選擇不當,不僅會增加計算難度,而且還可能導致積不出來；

(2)直角坐標系中，積分次序選擇不當,也可能會增加計算難度,甚至積不出來；一、三重積分在直角坐標系下的計算二、三重積分在柱面坐標系下的計算三、三重積分在球面坐標系下的計算

三重積分的計算法1:“先一后二法”(投影法)法2:“先二后一法”(截面法)三重積分在直角坐標系下的計算：而容易積分時,才考慮“先二后一法”.注:

當截面Dz容易確定、容易表達；(1)“先一后二法”(投影法)(2)“先二后一法”(截面法)三重積分在柱坐標下的計算：方法：則可選用柱坐標系.若(1)被積函數為f(x2+y2)；(2)區域V的邊界面的方程含x2+y2

；（如邊界面為球面、圓柱面、圓錐面、旋轉拋物面等）實質：將直角坐標系中的“先一后二”法或“先二后一”法中的“二”在極坐標系中計算.球坐標最佳適用情況：

被積函數為f(x2+y2+z2)；區域V的邊界面為球面、圓錐面等.＊球面坐標的體積元素三重積分在球面坐標下的計算：方法三、(直接法)化為定積分。方法二、格林公式:方法一、積分與路徑無關,(注意:積分無關的區域D必須是單連通區域!)(注意:(1)積分曲線L要封閉;(2)P,Q函數要在區域D內有連續偏導.)第二類曲面積分的計算方法二：總投影法（定義法）;方法三：分別投影法.方法一：高斯公式法;(注意:曲面S要封閉!)注意：1.線、面積分的被積表達式中的(x,y,z)

滿足積分曲線或曲面的方程。利用對稱性可簡化積分的運算.(但第二類線、面積分的對稱性不僅與被積函數及積分區域有關而且還與積分區域的方向有關！)（但二重積分與三重積分沒有此特性！）故可由曲線(曲面)方程進行等值代換來化簡被積表達式化簡!!分析:證明:完謝謝大家！例1:填空題例2選擇題:四、第二類曲面積分的計算方法二：總投影法（定義法）;方法三：分別投影法.方法一：高斯公式法;(注意:曲面S要封閉!)（上側取正，下側取負！）方法二：總投影法（定義法）（右側取正，左側取負?。ㄇ皞热≌髠热∝摚。╆P鍵：確定將S向哪個坐標面投影。并正確求出法向量。方法三、分別投影法:（1）

1、在D內與積分路徑無關

2、P(x，y)dx+Q(x，y)dy是D內某一函數u(x，y)的全微分，設D為平面內的單連通區域，函數P(x，y)，Q(x，y)在D內有連續的一階偏導數，（稱u(x,y)為P(x，y)dx+Q(x，y)dy的一個原函數）平面曲線積分與路徑無關的條件例1填空題:0(2003級期末考題8分)ALOD

(積分路徑