第2課時排列的應用1．進一步加深對排列概念的理解．(重點)2．掌握幾種有限制條件的排列問題的處理方法，能應用排列數公式解決簡單的實際問題．(難點)[基礎·初探]教材整理排列的綜合應用閱讀教材P10“例2”“例3”“例4”部分，完成下列問題．1．解簡單的排列應用題的基本思想2．解簡單的排列應用題，首先必須認真分析題意，看能否把問題歸結為排列問題，即是否有順序．如果是的話，再進一步分析，這里n個不同的元素指的是什么，以及從n個不同的元素中任取m個元素的每一種排列對應的是什么事情，然后才能運用排列數公式求解．1．用數字1,2,3,4,5組成的無重復數字的四位偶數的個數為________．【解析】從2,4中取一個數作為個位數字，有2種取法；再從其余四個數中取出三個數排在前三位，有Aeq\o\al(3,4)種排法．由分步乘法計數原理知，這樣的四位偶數共有2×Aeq\o\al(3,4)＝48個．【答案】482．從6名志愿者中選出4人分別從事翻譯、導游、導購、保潔四項不同的活動．若其中甲、乙兩名志愿者不能從事翻譯活動，則選派方案共有________種．【解析】翻譯活動是特殊位置優先考慮，有4種選法(除甲、乙外)，其余活動共有Aeq\o\al(3,5)種選法，由分步乘法計數原理知共有4×Aeq\o\al(3,5)＝240種選派方案．【答案】240[質疑·手記]預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：[小組合作型]無限制條件的排列問題(1)有5本不同的書，從中選3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？(2)有5種不同的書，要買3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？【精彩點撥】(1)從5本不同的書中選出3本分別送給3名同學，各人得到的書不同，屬于求排列數問題；(2)給每人的書均可以從5種不同的書中任選1本，各人得到哪本書相互之間沒有聯系，要用分步乘法計數原理進行計算．【自主解答】(1)從5本不同的書中選出3本分別送給3名同學，對應于從5個不同元素中任取3個元素的一個排列，因此不同送法的種數是Aeq\o\al(3,5)＝5×4×3＝60，所以共有60種不同的送法．(2)由于有5種不同的書，送給每個同學的每本書都有5種不同的選購方法，因此送給3名同學，每人各1本書的不同方法種數是5×5×5＝125，所以共有125種不同的送法．1．沒有限制的排列問題，即對所排列的元素或所排列的位置沒有特別的限制，這一類問題相對簡單，分清元素和位置即可．2．對于不屬于排列的計數問題，注意利用計數原理求解．[再練一題]1．(1)將3張電影票分給10人中的3人，每人1張，共有________種不同的分法．(2)從班委會5名成員中選出3名，分別擔任班級學習委員，文娛委員與體育委員，不同的選法共有______種．【解析】(1)問題相當于從10張電影票中選出3張排列起來，這是一個排列問題．故不同分法的種數為Aeq\o\al(3,10)＝10×9×8＝720.(2)從班委會5名成員中選出3名，分別擔任班級學習委員，文娛委員與體育委員，應有Aeq\o\al(3,5)＝5×4×3＝60.【答案】(1)720(2)60排隊問題7名師生站成一排照相留念，其中老師1人，男學生4人，女學生2人，在下列情況下，各有多少種不同站法？(1)老師甲必須站在中間或兩端；(2)2名女生必須相鄰而站；(3)4名男生互不相鄰；(4)若4名男生身高都不等，按從高到低的順序站．【精彩點撥】解決此類問題的方法主要按“優先”原則，即優先排特殊元素或優先考慮特殊位子，若一個位子安排的元素影響另一個位子的元素個數時，應分類討論．【自主解答】(1)先考慮甲有Aeq\o\al(1,3)種站法，再考慮其余6人全排，故不同站法總數為：Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(6,6)＝2160(種)．(2)2名女生站在一起有站法Aeq\o\al(2,2)種，視為一種元素與其余5人全排，有Aeq\o\al(6,6)種排法，所以有不同站法Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(6,6)＝1440(種)．(3)先站老師和女生，有站法Aeq\o\al(3,3)種，再在老師和女生站位的間隔(含兩端)處插入男生，每空一人，則插入方法Aeq\o\al(4,4)種，所以共有不同站法Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(4,4)＝144(種)．(4)7人全排列中，4名男生不考慮身高順序的站法有Aeq\o\al(4,4)種，而由高到低有從左到右和從右到左的不同，所以共有不同站法2·eq\f(A\o\al(7,7),A\o\al(4,4))＝420(種)．解決排隊問題時應注意的問題1．對于相鄰問題可以采用捆綁的方法，將相鄰的元素作為一個整體進行排列，但是要注意這個整體內部也要進行排列．2．對于不相鄰問題可以采用插空的方法，先排沒有限制條件的元素，再將不相鄰的元素以插空的方式進行排列．3．對于順序給定的元素的排列問題只需考慮其余元素的排列即可．4．“在”與“不在”的有限制條件的排列問題，既可以從元素入手，也可以從位置入手，原則是誰“特殊”誰優先．[再練一題]2．3名男生，4名女生，按照不同的要求站成一排，求不同的排隊方案有多少種．(1)甲不站中間，也不站兩端；(2)甲、乙兩人必須站兩端．【解】(1)分兩步，首先考慮兩端及中間位置，從除甲外的6人中選3人排列，有Aeq\o\al(3,6)種站法，然后再排其他位置，有Aeq\o\al(4,4)種站法，所以共有Aeq\o\al(3,6)·Aeq\o\al(4,4)＝2880種不同站法．(2)甲、乙為特殊元素，先將他們排在兩頭位置，有Aeq\o\al(2,2)種站法，其余5人全排列，有Aeq\o\al(5,5)種站法．故共有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(5,5)＝240種不同站法．[探究共研型]數字排列問題探究1偶數的個位數字有何特征？從1,2,3,4,5中任取兩個不同數字能組成多少個不同的偶數？【提示】偶數的個位數字一定能被2整除．先從2,4中任取一個數字排在個位，共2種不同的排列，再從剩余數字中任取一個數字排在十位，共4種排法，故從1,2,3,4,5中任取兩個數字，能組成2×4＝8(種)不同的偶數．探究2在一個三位數中，身居百位的數字x能是0嗎？如果在0～9這十個數字中任取不同的三個數字組成一個三位數，如何排才能使百位數字不為0?【提示】在一個三位數中，百位數字不能為0，在具體排數時，從元素0的角度出發，可先將0排在十位或個位的一個位置，其余數字可排百位、個位(或十位)位置；從“位置”角度出發可先從1～9這9個數字中任取一個數字排百位，然后再從剩余9個數字中任取兩個數字排十位與個位位置．探究3如何從26,17,31,48,19中找出大于25的數？【提示】先找出十位數字比2大的數，再找出十位數字是2，個位數字比5大的數即可．用0,1,2,3,4,5這六個數字可以組成多少個無重復數字的(1)六位奇數？(2)個位數字不是5的六位數？【精彩點撥】這是一道有限制條件的排列問題，每一問均應優先考慮限制條件，遵循特殊元素或特殊位置優先安排的原則．另外，還可以用間接法求解．【自主解答】(1)法一：從特殊位置入手(直接法)分三步完成，第一步先填個位，有Aeq\o\al(1,3)種填法，第二步再填十萬位，有Aeq\o\al(1,4)種填法，第三步填其他位，有Aeq\o\al(4,4)種填法，故共有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＝288(個)六位奇數．法二：從特殊元素入手(直接法)0不在兩端有Aeq\o\al(1,4)種排法，從1,3,5中任選一個排在個位有Aeq\o\al(1,3)種排法，其他各位上用剩下的元素做全排列有Aeq\o\al(4,4)種排法，故共有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(4,4)＝288(個)六位奇數．法三：排除法6個數字的全排列有Aeq\o\al(6,6)個，0,2,4在個位上的六位數為3Aeq\o\al(5,5)個，1,3,5在個位上，0在十萬位上的六位數有3Aeq\o\al(4,4)個，故滿足條件的六位奇數共有Aeq\o\al(6,6)－3Aeq\o\al(5,5)－3Aeq\o\al(4,4)＝288(個)．(2)法一：排除法0在十萬位的六位數或5在個位的六位數都有Aeq\o\al(5,5)個，0在十萬位且5在個位的六位數有Aeq\o\al(4,4)個．故符合題意的六位數共有Aeq\o\al(6,6)－2Aeq\o\al(5,5)＋Aeq\o\al(4,4)＝504(個)．法二：直接法十萬位數字的排法因個位上排0與不排0而有所不同．因此需分兩類：第一類：當個位排0時，符合條件的六位數有Aeq\o\al(5,5)個．第二類：當個位不排0時，符合條件的六位數有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)個．故共有符合題意的六位數Aeq\o\al(5,5)＋Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＝504(個)．解排數字問題常見的解題方法1．“兩優先排法”：特殊元素優先排列，特殊位置優先填充．如“0”不排“首位2．“分類討論法”：按照某一標準將排列分成幾類，然后按照分類加法計數原理進行，要注意以下兩點：一是分類標準必須恰當；二是分類過程要做到不重不漏．3．“排除法”：全排列數減去不符合條件的排列數．4．“位置分析法”：按位置逐步討論，把要求數字的每個數位排好．[再練一題]3．用0,1,2,3,4,5這六個數取不同的數字組數．(1)能組成多少個無重復數字且為5的倍數的五位數？(2)能組成多少個無重復數字且比1325大的四位數？(3)若所有的六位數按從小到大的順序組成一個數列{an}，則240135是第幾項．【解】(1)符合要求的五位數可分為兩類：第一類，個位上的數字是0的五位數，有Aeq\o\al(4,5)個；第二類，個位上的數字是5的五位數，有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,4)個．故滿足條件的五位數的個數共有Aeq\o\al(4,5)＋Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,4)＝216(個)．(2)符合要求的比1325大的四位數可分為三類：第一類，形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,5)個；第二類，形如14□□，15□□，共有Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,4)個；第三類，形如134□，135□，共有Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(1,3)個．由分類加法計數原理知，無重復數字且比1325大的四位數共有：Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,5)＋Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(1,3)＝270(個)．(3)由于是六位數，首位數字不能為0，首位數字為1有Aeq\o\al(5,5)個數，首位數字為2，萬位上為0,1,3中的一個有3Aeq\o\al(4,4)個數，∴240135的項數是Aeq\o\al(5,5)＋3Aeq\o\al(4,4)＋1＝193，即240135是數列的第193項．[構建·體系]1．6名學生排成兩排，每排3人，則不同的排法種數為()A．36 B．120C．720 D．240【解析】由于6人排兩排，沒有什么特殊要求的元素，故排法種數為Aeq\o\al(6,6)＝720.【答案】C2．要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有()A．1440種 B．960種C．720種 D．480種【解析】從5名志愿者中選2人排在兩端有Aeq\o\al(2,5)種排法，2位老人的排法有Aeq\o\al(2,2)種，其余3人和老人排有Aeq\o\al(4,4)種排法，共有Aeq\o\al(2,5)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)＝960種不同的排法．【答案】B3．用1,2,3,4,5,6,7這7個數字排列組成一個七位數，要求在其偶數位上必須是偶數，奇數位上必須是奇數，則這樣的七位數有________個.【導學號：62690010】【解析】先排奇數位有Aeq\o\al(4,4)種，再排偶數位有Aeq\o\al(3,3)種，故共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(3,3)＝144個．【答案】1444．兩家夫婦各帶一個小孩一起去公園游玩，購票后排隊依次入園．為安全起見，首尾一定要排兩位爸爸，另外，兩個小孩一定要排在一起，則這6人的入園順序排法種數為________．【解析】分3步進行分析，①先安排兩位爸爸，必須一首一尾，有Aeq\o\al(2,2)＝2種排法，②兩個小孩一定要排在一起，將其看成一個元素，考慮其順序有Aeq\o\al(2,2)＝2種排法，③將兩個小孩看作一個元素與兩位媽媽進行全排列，有Aeq\o\al(3,3)＝6種排法．則共有2×2×6＝24種排法．【答案】245．從6名短跑運動員中選出4人參加4×100m接力賽，甲不能跑第一棒和第四棒