全國高考數學考什么高考數學壓軸題全解全析全國高考數學考什么高考數學壓軸題全解全析PAGE9PAGE9全國Ⅲ卷理科數學2016-2018年高考分析及2019年高考預測2019年高考，除北京、天津、上海、江蘇、浙江等5省市自主命題外，其他26個省市區全部使用全國卷．研究發現，課標全國卷的試卷結構和題型具有一定的穩定性和連續性．每個題型考查的知識點、考查方法、考查角度、思維方法等相對固定．掌握了全國卷的各種題型，就把握住了全國卷命題的靈魂．基于此，筆者潛心研究近3年全國高考理科數學Ⅲ卷和高考數學考試說明，精心分類匯總了全國卷近3年所有題型．為了便于讀者使用，所有題目分類（共22類）列于表格之中，按年份排序．高考題的小題（填空和選擇）的答案都列在表格的第三列，便于同學們及時解答對照答案，所有解答題的答案直接列在題目之后，方便查看．一、集合與常用邏輯用語小題：1．集合小題：3年3考，每年1題，都是交并補子運算為主，多與不等式交匯，新定義運算也有較小的可能，但是難度較低；每年的送分題．年份題目答案2018年C2017年1．已知集合A{(x,y)x2y2B{(x,y)yx}，則AB中元素的個數為A．3 B．2 C．1 D．0B2016年（1）設集合Sx(x2)(x0,Tx|x0，則ST=(A)[2，3] (B)（-，2][3,+） (C)[3,+） (D)（0，2][3,+）D2．常用邏輯用語小題：3年0考．這個考點一般與其他考點交匯命題，不單獨出題．二、復數小題：3年3考，每年1題，以四則運算為主，偶爾與其他知識交匯，難度較小．一般涉及考查概念：實部、虛部、共軛復數、復數的模、對應復平面的點坐標等．年份題目答案2018年D2017年2．設復數z滿足i)z，則|zA．1 B． 2 C．2 D．22 2C2016年（2）若z=1+2i，則 zz1(B) i (D)-iC三、平面向量小題：3年31題，向量題考的比較基本，突出向量的幾何運算或代數運算，一般不側重于與其它知識交匯，難度不大（與全國其它省份比較．但2017年也作為第12題考過。年份題目答案2018年122017年中，AB2P在以點C為圓心且與BD，則的最大值為A．3 B．22 C．5 D．2A2016年1 2 31（3）已知向量BA(, ),BC( ,),則ABC=2 2 2 2600 A四、線性規劃小題：3年2考，全國3卷線性規劃題考的比較基本，一般不與其它知識結合.2018年沒有考。年份題目答案2017年xy13．若x,y滿足約束條件xy2則z3x4y的最小值為 ．y02016年xy10（13）若x，y滿足約束條件 x2y0 ，則z=x+y的最大值為 .x2y2032五、三角函數小題：3年7考．題目難度較小，主要考察公式熟練運用，平移，由圖像性質、化簡求值、解三角象與性質、三角恒等變換、解三角形各考一個．三角考大題時，一般考一個小題，年份題目答案2018年B2018年C2018年32017年6．設函數f(x)cos(x )，則下列結論錯誤的是（）3A．f(x)的一個周期為B．yf(x)的圖像關于直線x對稱3C．f(x)的一個零點為x D．f(x)在(,)單調遞減6 2D2016年（5）若tan3，則2sin464 48 16(A) 1 25 25 25A2016年（8）在△ABC中，Bπ，BC邊上的高等于1BC,則A4 3（A）310（B）10（C）10（D）31010 10 C2016年（14）函數y=sinx?3cosx的圖像可由函數y=sinx+3cosx的圖像至少向右平移 個單位長度得到。3六、立體幾何小題:3年6考，每年2題，一般考三視圖和球，主要計算體積和表面積．球體是基本的幾何體，是發展空間想象能力的很好載體，是課標全國卷的熱點．年份題目答案2018年A2018年B2017年8．已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為（）A． B．C． D．4 2 4B2017年16．a,b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形的直角邊AC所在直線與a,b都垂直，斜邊以直線AC為旋轉軸旋轉，有下列結論：①當直線與a成60角時，與b成30角；②當直線與a成60角時，與b成60角；③直線與a所成角的最小值為；④直線與a所成角的最大值為60．②③2016年(9)如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實現畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為（A）18365（B）54185（C）90（D）81B2016年VAB則V的最大值是2 3B七、推理與證明小題：3年0考，但是2014年全國1卷、2016年和2017年全國2卷考了，但也不是常規的數學考法，倒是很像一道公務員考試的邏輯推理題，但這是個信號．八、概率小題：3年1考,難度較小，全國卷概率小題一般考查古典概型和幾何概型，但2018年全國3卷卻是考的二項分布，這是一個信號。年份題目答案2018年B九、統計小題：3年2考．2018年沒有考，2016年考了課本上沒有的一種統計圖，值得關注．年份題目答案2017年3城為解客的變規提旅服質集整了201月至016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數據，繪制了下面的折線圖．根據該折線圖，下列結論錯誤的是A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加D．各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩A2016年（4）某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中月平均最高氣溫和平均最A點表示十月的平均最高氣溫約為點表示四月的平均最低氣溫約為50C。下面敘述不正確的是(A)各月的平均最低氣溫都在00C以上(B)七月的平均溫差比一月的平均溫差大(C)三月和十一月的平均最高氣溫基本相同(D)平均氣溫高于200C的月份有5個D十、數列小題：3年3考，數列解答題和三角函數解答題每年只考一個，數列考解答題時一般不再考小題，不考解答題時，一般就考兩個小題，等差數列和等比數列考各一個。交錯考法不一定分奇數年或偶數年．年份題目答案2017年9．等差數列{an}的首項為1，公差不為0．若,,成等比數列，則{an}前6項的和為A．-24 B．-3 C．3 D．8A2017年14．設等比數列{an}滿足a23，則a4 ．-82016年01數列”{an}如下：{an}共有2mm項為項為k2m，,,中0的個數不少于1的個數.若01有（A）18個（B）16個（C）14個（D）12個C十一、框圖小題：3年2考，2018年沒有考！考含有循環體的較多，都比較簡單，一般與數列求和聯系較多．題目年份答案2017S正整數N的最小值為A．5B．4C．3D．2D2016年（7）執行下圖的程序框圖，如果輸入的a=4，b=6，那么輸出的n=B高考數學全國卷備策請見《全國高考數考么：高考數學壓軸全全析！十二、圓錐曲線小題：3年72-3側重考查圓錐曲線與直線位置關系，多數題目比較單一,一般一個容易的，一個較難的．年份題目答案2018年A2018年C2018年22017年x2 y2 55．已知雙曲線C: b0)的一條漸近線方程為y x，且與橢圓a2 b2 2x2 y2 1有公共焦點．則C的方程為（）3x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2A． 1 B． 1 C． 1 D． 18 4 5 5 4 4 3B2017年x2 y210．已知橢圓C: 1（ab0）的左、右頂點分別為A,A，且以線段AA為a2 b2 1 2 12直徑的圓與直線0相切，則C的離心率為（）A．6 B．3 C．2 D．13 3 ３ 3A2016年x2 y2O是橢圓C： b0)分別為Ca2 b2的左，右頂點.P為C上一點，且PF⊥x軸.過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E.若直線BM經過OE的中點，則C的離心率為（A）1 （B）1 （C）2 （D）33 2 3 4A2016年（16）已知直線l:mx+y+3m?3=0與圓x2+y2=12交于A，B兩點，過A，B做l的垂線與x軸交于C，D兩點，若AB=23，則CD= .4高考數學全國卷備策請見《全國高考數考么：高考數學壓軸全全析！進淘寶、京東、當、馬遜搜“全國高考學什么！十三、函數小題：3年72-3最值、單調性、奇偶性、周期性、對稱性、平移、導數、切線、零點等，分段函數是重要載體！函數已經不是值得學生“恐懼”的了吧？年份題目答案2018年D2018年B2018年32017年11．已知函數f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零點，則a（）1 1 1A． B． C． D．12 3 2C2017年xx115．設函數f(x) 則滿足f(x)f(x)1的x的取值范圍是2x, x0 2 ．(1,)42016年4 3 1（6）已知a23，b44，c253，則（A）bac（B）abc（C）bca（D）cabA2016年（15）已知f(x)為偶函數，當x<0時，fx=ln?x+3x，則曲線y=f(x)，在點。y2x1十四、排列組合、二項式定理小題：3年2考，在全國各卷中二項式定理出現較多，這一點很合理，因為排列組合可以在概率統無數，只要處理好分配問題及掌握好分類討論思想即可！二項式定理“通項問題”出現較多.年份題目答案2018年C2017年4．(xy)(2xy)5的展開式中x3y3的系數為（）A．-80 B．-40 C．40 D．80C該書對近十年高考數學課標全國卷進行了深入分析：追根溯源，抽絲剝繭，揭秘命題規律；小題活做，大題精做，傳授解題策略！十五、三角函數大題：數大題側重于考解三角形，重點考查正、余弦定理．年份題目及答案2017年17．（12分）的內角B,C的對邊分別為a,b,c，已知A3Aa27,b2（1）求c；（2）設D為BC邊上一點，且，求△ABD的面積．解：（1）由已知可得A3，所以A3在中，由余弦定理得284c24c，即c203解得c6（舍，c4（2）由題設可得，所以2 61ABADsin故面積與面積的比值為2 611ACAD2又的面積為142sin23，所以的面積為32十六、數列大題：在全國卷中三角函數大題和數列大題每年只考一個類型，交錯考法不一定分奇偶數年．數列一般考求通項、求和．數列應用題已經多年不考了，總體來說數列的地位已經降低，題目難度小．年份題目及答案2018年2016年（7（小滿分2已知數列an的前n項和Sn=1+a，Sn=1+an，其中≠0（I）證明an是等比數列，并求其通項公式（II）若S=31，求5 32解Ⅰ由意得aS1a，故1，a 1 ，a0.1 1 1 1 1 1由Sn1，Sn11an1得an1an1，即an1(.由0，0得a0，所以an1 .n a 1n因此{a}是首項為 1 ，公比為 的等比數列，于是a 1 ()n1．n 1 1 n 11（Ⅱ）由（Ⅰ）得S1()n，由S31得1()531，即()51，n 1 5 1 1 32解得1．1010十七、立體幾何大題：3年3考，每年1題．第1問多為證明平行垂直問題，第2問多為計算問題，求空間角較多.年份題目及答案2018年PAGE19PAGE192017年是正三角形， D是直角三角形．，．（1）證明：平面平面；AC的平面交于點E把四面 C E體分成體積相等的兩部分．求二面角DC的余弦值．解： B（1）由題設可得，，從而又是直角三角形，所以A取AC的中點O，連結，則D又由于是正三角形，故所以為二面角DB的平面角 C E在中，AB2又，所以 OAB2， 故 BA所以平面平面O的方向為xOA|為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系O，則3,由題設知，四面體的體積為四面體 z的體積的1E到平面的距離 D21為D到平面的距離的 E為的中 C E2點，得E(0, 3,1)，故 O2 2 B y31 A,)x2 2mC設n(x,y,z)是平面的法向量，則 同理可取m3)mE0nm 7則n,m |n||m| 7所以二面角DC的余弦值為 7。72016年（9（小滿分2如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥地面ABCD，AD∥BC，為線段ADN為PC的中點.（I）證明MN∥平面（II）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.解Ⅰ由知得M2D2取P的中點T，3連接,TN，由N為中點知TN，TN12.2又，故TN平行且等于，四邊形為平行四邊形，于是.因為平面，平面，所以平面.（Ⅱ）取的中點E，連結，由得，從而，且 AB22 AB2()2 5.2以A為坐標原點，的方向為x空間直角坐標系A，由題意知，，M，C(5,2,0)，N(5，2(0,2,4)，(5，(5.2 2設n(,y,z)為平面N的法向量，則nM0，即nN02x4z0 |n| 855 ，可取n，于是|n, . xy2z0 |n| 2十八、概率統計大題：3年3考，每年1題．特點：實際生活背景在加強，閱讀量大．統計各考點都有可能考．年份題目及答案2018年18.（12分）最高氣溫0最高氣溫055005500550天數216362574X200300500P0.20.40.42017年未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：℃）有關．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶，為了確定六月份的訂購計劃，統計了前三年六月份各天的最高氣溫數據，得下面的頻數分布表：以最高氣溫位于各區間的頻率代替最高氣溫位于該區間的概率．（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；（2）設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y（單位：元）．當六月份這種酸奶一天的進貨量（單位：瓶）為多少時，Y的數學期望達到最大值？解：（1）由題意知，X所有可能取值為200,300,500，由表格數據知PX200216，PX300360.4，PX5002574.因此X的分布列為：（2）由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500，至少為200，因此只需考慮200n500當n時，若最高氣溫不低于25，則Y6n4n2n；若最高氣溫位于區間[20,25），則Y63004n12002n；若最高氣溫低于20，則Y64n因此2n0.42n)0.42n)0.2當n時，若最高氣溫不低于20，則Y6n4n2n；若最高氣溫低于20，則Y64n因此2n(0.42n)0.21601.2n所以n時，Y的數學期望達到最大值，最大值為520元。2016年（8（小滿分2下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖（I）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關系，請用相關系數加以說明（）立y于t的方程系精到01預測26我生垃無害處量。解Ⅰ由線這和附中考據得7 7 t4，tit)8，(iy)5，2 2i1 i17 7 7it(iy) iiti7429，iiir .0.552因為y與t的關數為0.9說明y與t的線相當從可用性模型合y與t的關系.7 2 tit(iy) （Ⅱ）由y 1.331及（Ⅰ）得i1 0.103，7 7 28(tt)2i1iy1.3310.1034.所以，y關于t的回歸方程為：.將2016年對應的t9代入回歸方程得：9.所以預測2016年我國生活垃圾無害化處理量將約1.82億噸.十九、解析幾何大題：3年31是對于全國3，近兩年則以拋物線為載體。拋物線計算量相對較小，靈活性較強。年份題目及答案2018年2017年20．（12分）已知拋物線C:y22xl交C于A，BM是以線段（1）證明：坐標原點O在圓M上；（2）設圓M過點P（4，），求直線l與圓M的方程．解：（1）設B(x2,y2),l:x2xmy由 可得y240，則yyy22x 12y2 y2 (yy)2又x1,x2，故xx12 41 2 2 2 12 4y2 4因此OA的斜率與的斜率之積為 1，所以x2 4故坐標原點O在圓M上（2）由（1）可得yyxxyy)42m241 2 1 2 1 2故圓心M的坐標為(m2m)，圓M的半徑r (m2+2)2m2由于圓M過點P(4,，因此0，故4)(x2(y20，即)y2y2y2)0由（1）可得y241所以2m2m10，解得m1或m2當ml的方程為xy10，圓心M的坐標為M的半徑為10M的方程為(x(y1 9 1當m 時，直線l的方程為2xy40，圓心M的坐標為(,)，圓M的半徑為2 4 285，圓M的方程為(x9)2(y1)2854 4 2 162016年（0（小滿分2已知拋物線C：y22x的焦點為x軸的兩條直線l,l分別交C于C的準線12于P，Q兩點.（I）若F在線段AB上，R是PQ的中點，證明AR∥FQ；（II）若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，求AB中點的軌跡方程.解：由題設F(1,0).設l:ya,l:yb，則0，且2 1 2a2 b2 1 1 1ab,0),B( ,b),P( ,a),Q( ,b),R( , ).2 2 2 2 2 2記過B兩點的直線為l，則l的方程為2x(ab)y0.（Ⅰ）由于F在線段上，故10.記的斜率為，的斜率為k2，則kabab1abk.1 1a2 a2ab a a 2所以∥.（Ⅱ）設l與x軸的交點為D(x1,0)，則S 1ba1bax1,S ab.2 2 1 2 21 1 ab由題可得 ba1 ，以10（舍，11.2 2 2設滿足條件的的中點為E(x,y).2 y當與x軸不垂直時，由kABkDE可得 (x.ab x1ab而 y，所以y2x1(x.2當與x軸垂直時，E與D重合.所以，所求軌跡方程為y2x1.二十、函數與導數大題：3年3考，每年1題．第1問一般考查導數的幾何意義或函數的單調性，第2問考查利用導一般說來，主要考查不分參問題．另外，函數與方程的轉化也不容忽視，如函數零點的討論．函數題設問靈活，多數考生做到此題，時間緊，若能分類整合，搶一點分就很好了．還有，靈活性問題：有些情況下函數性質是不用導數就可以“看出”的，如增函數+增函數=增函數，復合函數單調性，顯然成立的不等式，放縮法等等，總之，導數是很重要，但是有些解題環節，不要“吊死”在導數上，不要過于按部就班！還有，數形結合有時也是可以較快得到答案的，雖然應為表達不嚴謹不得滿分，但是在時間緊的情況下可以適當使用．年份題目及答案2018年20202017年21．（12分）已知函數f(x)x1ax．（1）若f(x)≥0，求a的值；（2）設m為整數，且對于任意正整數n， 1 1 1 ，求m的最小值．(1 )(1 )(1 )m2 22 2n解：（1）f(x)的定義域為①若a0，因為f(1)1a20，所以不滿足題意；2 2②若a0，由f(x)1axa知，當x(0,a)時，f(x)0；當x(a,時，x xf(x)0f(x)在a)(a,xa是f(x)在的唯一最小值點。由于f0，所以當且僅當a1時，f(x)0故a1（2）由（1）知當x時，x1lnx01 1 1令x1 ，得) ，從而2n 2n 2n1)1)...1)11...11112 22 2n 2 22 2n 2n1 1 1故)e2 22 2n1 1 1而)2，2 22 23所以m的最小值為3PAGE26PAGE262016年1（小滿分2設數f（）=+（1（1，中0記（??的大為A.（Ⅰ求（x（Ⅱ）求A；解）f'(x)an2x(a)nx．（Ⅱ）當a1時，|f'(x)a2x(ax|a2(a2f(0)因此，A2．當0a1時，將f(x)變形為f(x)2ax(ax1．令g(t)2at2(a1，則A是|g(t)|在[1,1]上的最大值，a，21a 1a (a1)2 a26a1t 時，g(t)取得極小值，極小值為g( ) 1 ．4a 4a 1a 1 1令1 1，得a （舍，a ．4a 3 510a 時，g(t)在內無極值點，|a，|2，||，5所以A2．1 1aa1時，由0，知g( )．5 4a1a a)(17a) 1a a26a1又|g( )||| 0，所以Ag( )| ．4a 4a 23a,0a1 5a26a11綜上，A , a1． 5 3aa1（Ⅲ）由（Ⅰ）得|f'(x)2x(a1)sinx2a|a1|.1當0a 時，|f'(x)|1a24a2(22A.51 a 1 3當 a1時，A 1，所以|f'(x)1a2A.5 8 4當a1時，|f'(x)16a42A，所以|f'(x)2A.二十一、坐標系與參數方程大題：3年3考，而且是作為2個選做大題之一出現的，主要考查兩個方面：一是極坐標方程與普通方程的轉化，二是極坐標方程的簡單應用，難度較小．年份題目及答案2018年高考數學全國卷備策請見《全國高考數考么：高考數學壓軸全全析！2017年22．[選修4-4：坐標系與參數方程]（10分）x2t,在直角坐標系中，直線的參數方程為ykt （t為參數），直線l2的參數方程為x2m,ym （m為參數），設與l2的交點為P，當k變化時，P的軌跡為曲線C． k（1）寫出C的普通方程：（2）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設l3：(cossin)20，M為l3與C的交點，求M的極徑．1解（去數t得1的通方程1:yk(x)消參數mt得l2的通方程2:y (x)kyk(x2),設P(x,y)，由題設得 1 消去k得x2y2yy (x2. k所以C的普通方程為x2y2y（2）C的極坐標方程為2sin2)4(2,)2s2in2),聯立 得sinsin)sin) 201 9 1故tan ，從而cos2 ,sin23 代入2sin2)4得25，所以交點M的極徑為52016年23.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數方程x3s)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為 ，以坐標原點為極點，以x軸的1 yin正半為軸，立標系曲線C的坐方為)22.2 4（I）寫出的普通方程和C2的直角坐標方程；（II）設點P在上，點Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標.x2解Ⅰ）C的通程為 y21，C的直坐方為xy40.?5分1 3 2（Ⅱ）由題意，可設點P的直角坐標為(3cos,sin)，因為C2是直線，所以||的最小值，即為P到C2的距離d)的最小值，d)|3cossin4| 2|)2|.當且僅當2k(kZ)時，d)取2 3 6得最小值，最小值為2，此時P的直角坐標為(3,1).22二十二、不等式大題：3年3考，而且是作為2個選做大題之一出現的，主要考絕對值不等式的解法（出現頻率太為在其它小題中考一些解法之類的問題．不等式作為一種工具，解題經常用到，不單獨命小題顯然也是合理的．不等式的證明一般考在函數導數綜合題中出現．年份題目及答案2018年2017年已知函數f(x)x||x|．（1）求不等式f(x)的解集；（2）若不等式f(x)xxm的解集非空，求m的取值范圍．解：x（1）f(x)2x1xx2當x1時，f(x)1無解；當x2時，由f(x)1得，2x11，解得1x2；當x2時，由f(x)1解得x2所以f(x)1的解集為{x|x（2）由f(x)x2xm得mx1||x2|x2x，而|x1||x2|x2xx||x|x2|x|(|x|3)2552 4 43 5且當x 時，|x1||x2|x2x2 4故m的取值范圍為(,5]42016年24.（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講已知函數f(x)2xa|a（I）當a=2時，求不等式f(x)6的解集；（II）設函數g(x)2x1|,當xR時，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范圍.a2時，f(x)2x2|.解不等式|2x2|6，得x3