第八章

剛體的平面運動Planemotionofarigidbody§8-1剛體平面概述Introductiontoplanemotionofarigidbody共同特點：在運動中剛體上任意一點與某固定平面始終保持相等距離。說明顯然，許多作平動或作定軸轉動的剛體也滿足剛體作平面運動的定義。它們是平面運動的特殊情況。但是，為了不造成混淆，約定：若作平面運動的剛體滿足平動或定軸轉動定義，則只稱其作平動或定軸轉動。

平面運動問題研究的簡化

平面運動的運動方程圖示平面有一平面圖形。Oyx可用一條直線O’M確定其位置。而直線O’M的位置可用O’點的位置和直線與x軸的夾角所確定。O’MO’O’MO’MO’MO’O’O’xO’=f

1(t)yO’=f

2(t)

=f

3(t)

平面運動的分解（1）=常量時，即平面圖形的運動完全由點

O’

的運動確定，平面圖形隨點O’

作平動；xO’=f

1(t)yO’=f

2(t)

=f

3(t)OyxO’M（2） 點O’固定不動時，平面圖形繞O’點作定軸轉動。可見：平面圖形的平面運動可分解為平動和轉動。對于任意的平面運動，可在平面圖形上任取一點O’，稱為基點。若把平面圖形的運動看作絕對運動，它是由圖形隨過基點的動系的牽連平動和繞基點的相對轉動的合成。OyxO’Mx’y’平面圖形的平面運動可分解為隨基點的平動和繞基點的轉動

Mx’y’MMx’y’車輪的平面運動隨基點A的平動繞基點A'的轉動=+ⅠⅡ這一運動過程可視為圖形先隨基點A作平動。同樣，這一運動過程又可視為圖形先隨基點B作平動。再繞基點B’作定軸轉動，轉過角度為Δ’

。顯然，AA’≠BB’

而Δ=Δ’上述兩種運動分解方式，得到相同的結果。而實際上平動和轉動是同時進行的。再繞基點A’作定軸轉動，轉過角度為Δ

。當Δt→0，將AA’≠BB’,Δ=Δ’

同時除以Δt并取極限

vA≠vB

A=B

與aA≠aB

A=B

平面圖形的平面運動可取任意的基點分解為平動和轉動，其中平動的速度和加速度與基點的選擇有關；而平面圖形的角速度和角加速度與基點的選擇無關,一般情況下選運動情況已知的點作為基點。曲柄連桿機構AB桿作平面運動平面運動的分解§8-2求平面圖形內各點速度的基點法O’MMM選基點O’，∵牽連運動為平動，

∴M點的牽連速度等于

基點O’的速度vO’而點M的相對速度就是相對O’點轉動的平面圖形上

M

點的速度vMO’，顯然vMO’=O’M·vO’vO’vMO’vM即vM=vO’+

vMO’

一、基點法O’vO’vO’vMO’vMO’vO’vO’vMO’vM該方法稱為基點法或叫作速度合成法

通常對于平面圖形內的任意兩點A

和B

有

vB=vA+vBA

注意：

vBA

≠vAB平面圖形內任一點的速度等于基點的速度與該點隨圖形繞基點轉動的速度的矢量和。圖示機構，已知vA

水平向左，桿長AB=l。求：vB

及AB桿的角速度

。BAxy例vAvAvBAvB解：

選A點為基點，求B點的速度，運動分析

vB=vA+vBA

vAvBvBAvAvBAvBvAvBAvB解得vB=vA

cot

vBA

=vA/sin√√√方向大小？？√故圖示機構，曲柄OA以角速度

=6rad/s

轉動，帶動直角板ABC和搖桿BD。已知OA=10cm，AC=15cm，BC=45cm，BD=40cm。圖示位置OA⊥AC，BD∥AC。求該瞬時點B、C的速度，平板的角速度ABC和BD桿的角速度BD

。例OACBD1、求B點速度

vB=vA+vBAOACBDvAvAvBAvB將上式向BD投影0=vA

－vBA

cos√√√方向大小？？OA·

故向水平軸投影

vB=vBA·sin=20(cm/s)

例8-2(續3)2、求C點速度

OACBDvAvCAyxijvCvCvC

vC=vA+vCA

？√√方向大小？OA·

AC·ABCvA例：機構如圖，三角塊以速度v向右運動，輪（輪的半徑為r

）。在塊上純滾，A、O、B在同一直線上，求圖示瞬時輪心O和B點的速度。解：

1、由于輪在三角塊上純滾動，所以接觸點A的速度30°AOBv以A點為基點，求O點的速度vAvOvOAvAvAvAvAvAvOvAvOvAvOvOA解得故輪的角速度為

ω

ω

ω

ω√√√方向大小？？2、以A點為基點，求B點的速度vA30°AOBvvA

ωvOAvBAvBvAvBAvB∴B點的速度為例8-3(續1)

？√√方向大小？例8-3(續2)也可以以O點為基點，求B點的速度。30oAOByxvOvOvBOvBvBxvByvOvBO向

x

軸投影

vBx=vO

cos30°=v/2向y

軸投影

vBy=vOsin30°+vBOvOvBOvBxvByvOvOvBOvBxvBy

vBx+vBy

=vO+vBO

√√√√方向大小？？二、速度投影法將速度vB

向線段AB投影(

vB)AB=(vA

+vBA

)AB因為(vBA

)AB=0所以(vB)AB

=(vA

)ABABvAvAvBAvB同一平面上，任意兩點的速度在這兩點的連線上的投影相等。上面的定理正好說明剛體上任意兩點間的距離保持不變。所以定理適應于剛體作其它任意的運動。在平面機構中，曲柄OA=100mm，以角速度

=2rad/s

轉動。連桿AB帶動搖桿CD，并拖動輪E沿水平面滾動。已知CD=3CB，圖示瞬時A、B、E三點恰在一條水平線上，且CD⊥ED。試求此瞬時點E的速度。例60°EDBACO例8-5(續1)解:畫出A、B、D

和E

點速度。60°EDBACO由速度投影定理，vE

cos30°=vD

；vB

cos30°=vA可得：vEvDvBvA由

vA

=OA·=200（mm/s)可得：vE

=0.8m/s

vDvBvAvDvBvAvEvE§8-3求平面圖形內各點速度的瞬心法一、速度瞬心概念

一般情況下，在每一個瞬時，平面圖形上都唯一地存在一個速度為零的點。證明：設有一個平面圖形。取A點為基點。在垂直vA

的直線上一定存在一點C，其上的vCA=vvAA即vC=vA－

vCA=0vAvCACvAvCACvAvCACvAvA這一速度為零的點稱為速度瞬心。若取速度瞬心C

為基點，則圖形內任意一點M的速度

vM=vMC=CM·可見，平面圖形歸結為繞瞬心的瞬時轉動問題。CMM’vMvM’注意：瞬心可以在圖形內，也可以在圖形外，其位置不固定，隨時間變化。不同瞬時具有不同的瞬心。剛體上任意點的速度總是垂直于該點至瞬心的連線。CMM’vMCMM’vM二、幾種速度瞬心的確定方法（1）在某瞬時，已知圖形上A、B兩點的速度方向，但速度方向不與AB連線垂直。速度瞬心即在垂直于vA的直線上，又在垂直于vB的直線上。表明速度瞬心C在無窮遠點，此時AABBvBvAvAvBC點為速度瞬心C該瞬時剛體作瞬時平動AABBvBvAvAvBCCC(2)在某瞬時，已知圖形上A、B兩點的速度大小，而速度方向與AB連線垂直。AAABBBCC瞬時平動vAvAvAvBvBvBAAABBBvAvAvAvBvBvBvA

=vBCCCCCC(3)平面圖形沿固定曲線作無滑動的滾動。因為沒有相對滑動，接觸點C的速度等于零，C為速度瞬心。CCCC圖示機構，曲柄OA以角速度=6rad/s

轉動，帶動直角板ABC和搖桿BD。已知OA=10cm，AE=15cm，BE=45cm，BD=40cm。圖示位置OA⊥AE，BD∥AE。用速度瞬心法求該瞬時點B、E的速度。平板的角速度A和BD桿的角速度BD

。例OAEBD例8-6(續1)解：找三角板的速度瞬心。OAEBD三角板的角速度

A=vA/AC=4/3(rad/s)vB=BC·A

=20(cm/s)vE=EC·A

=AE=15cm;EB=45cmvBvACvBvACCvBvACvA

=OA·=60cm/svEvEvE機構如圖，三角塊以速度v向右運動，輪在塊上純滾，A、O、B在同一直線上，試用速度瞬心法求圖示瞬時輪心和B點的速度。例v30°AOB解：確定速度瞬心。CvAvBvOE由瞬心C和B點可畫出速度vB

的方向并求出其大小。CvAvBvOCvAvBvO例：下列四個平面圖形的速度分布情況是否可能？為什么？45°（1）不可能（2）可能（3）不可能（由速度投影定理便知）（4）不可能（正確應該是紅線所畫）CCCCCC1歡迎繼續學習本章

第2部分

導出速度瞬心法稱為平面圖形的角速度。

稱為平面圖形的角加速度。所謂繞基點的轉動，實際上是指相對于一個坐標原點鉸接于基點的平動參考系的轉動，故

和

是相對角速度和相對角加速度。當注意到動參考系作平動時，可見和

又是絕對角速度和絕對角加速度。這正是把

和

分別稱為平面圖形的角速度和平面圖形的角加速度的原因。

一點注意速度、加速度對點而言，角速度、角加速度對圖形或剛體而言。長為l的曲柄OA以勻角速度繞O軸轉動，求圖示瞬時擺桿O1B的角速度1

。例OO1AEBbOO1AEBb例8-4(續1)解：以桿EA為研究對象1、以A點為基點，

求E點的速度。

vE=vA+vEA

(1)

vE

—大小、方向

皆未知

vEA

—大小未知vAvEAvAvEA由于三個未知量，E點的速度光由式（1）還無法確定，需借助其它方程。(見后續）vAvAvEAvAvEAvAOO1AEBbvEAvA例8-4(續2)2、選滑塊E為動點，動系與擺桿O1B固結。

v

a=ve+vr(2)

vA

cos

=ve

即ve

=l

cos

vrvevrvevrvevrxve因為：vE=v

a

所以

vA+vEA=ve

+v

r將上式向x軸投影例8-4(續3)若OO1AEBb你能計算出：嗎？怎么計算？套筒O以角速度O

繞固定軸轉動，直桿AB穿在套筒內，其A端保持沿水平直線運動，問（1）AB作什么運動？（2）AB桿瞬心在哪里？（3）AB

為何值？

例CABOO’（1）AB作平面運動（2）當選套筒的E點為動點，（3）由幾何關系知

=’OACCEEE動系與AB桿固結，可知瞬心在OE延長線上。瞬心如圖。

例8-8討論例8-8告訴我們，若平面圖形上的線段與某條直線之間的夾角隨時間的變化規律（運動方程）在整個運動過程中可知，則將對時間t求導便可求得平面圖形的角速度和角加速度。這是因為前面已經論述過：因為剛體平面運動中，隨基點運動的動參考系作平動，所以，和