3．復數的幾何意義eq\x(基)eq\x(礎)eq\x(梳)eq\x(理)1．復平面．(1)定義：建立了直角坐標系來表示復數的平面，叫做復平面．(2)實軸：x軸叫做實軸．(3)虛軸：y軸(除去原點)叫做虛軸．2．復平面內的點與復數的對應關系．(1)實軸?實數．(2)虛軸(除原點)?純虛數．(3)各象限的點?非純虛數．3．復數的兩種幾何形式(點Z的橫坐標是a，縱坐標是b)．(1)復數z＝a＋bi(a，b∈R)?點Z(a，b)．(2)復數z＝a＋bi(a，b∈R)?向量eq\o(OZ,\s\up6(→))．4．復數的模．向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做復數z＝a＋bi(a，b∈R)的模，記作|z|＝eq\r(a2＋b2)．若b＝0，那么z＝a＋bi(a，b∈R)是一個實數，它的模等于|a|．eq\x(基)eq\x(礎)eq\x(自)eq\x(測)1．復數2－3i對應的點在直線(C)A．y＝x上B．y＝－x上C．3x＋2y＝0上D．2x＋3y＝0上解析：2－3i對應的點(2，－3)，滿足方程3x＋2y＝0.故選C.2．若eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(0，－3)，則eq\o(OZ,\s\up6(→))對應的復數(C)A．等于0B．－3C．在虛軸上D．既不在實軸上，也不在虛軸上解析：eq\o(OZ,\s\up6(→))對應的復數為－3i，在虛軸上．故選C.3．在復平面內，復數1－i對應的點與原點的距離是eq\r(2)．解析：1－i對應的點為Z(1，－1)，|OZ|＝eq\r(2).eq\a\vs4\al(（一）復平面)(1)根據復數相等的定義，任何一個復數z＝a＋bi(a、b∈R)，都可以由一個有序實數對(a，b)唯一確定．因為有序實數對(a，b)與平面直角坐標系中的點集之間可以建立一一對應的關系．(2)基本概念．①復平面：建立了平面直角坐標系來表示復數的平面叫復平面．②實軸：坐標系中的x軸叫實軸．在它上面的點都表示實數．③虛軸：坐標系中的y軸叫虛軸．除去原點外，在它上面的點都表示純虛數．注：(1)習慣上，用大寫字母Z表示點，小寫字母z表示復數．(2)復數z＝a＋bi用復平面內的點Z(a，b)表示，復平面內點Z的坐標是(a，b)，而非(a，bi)．例如，復平面內的點(－2，3)表示復數－2＋3i；反之，復數－2＋3i對應復平面內的點的坐標是(－2，3)．eq\a\vs4\al(（二）復數的幾何意義)(1)復數與點對應．每一個復數，有復平面內唯一的一個點和它對應；反過來，復平面內的每一個點，有唯一的一個復數和它對應．因此，復數集C和復平面內所有的點所成的集合是一一對應的，即復數z＝a＋bieq\o(,\s\up7(一一對應))復平面內的點Z(a，b)．(2)復數與向量的應用．在平面直角坐標系中，每一個平面向量都可以用一個有序實數對來表示，而有序實數對與復數是一一對應的．設復平面內的點Z表示復數z＝a＋bi，連接OZ，向量eq\o(OZ,\s\up6(→))是由點Z唯一確定的；反過來，點Z也可以由向量eq\o(OZ,\s\up6(→))唯一確定．因此，復數集C與復平面內的向量所成的集合也是一一對應的，即復數z＝a＋bieq\o(,\s\up7(一一對應))平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→)).注：(1)復數與向量建立一一對應關系的前提是向量的起點是原點，若起點不是原點，則復數與向量就不能建立一一對應關系．(2)常把復數z＝a＋bi說成點Z(a，b)或說成向量eq\o(OZ,\s\up6(→)).(3)規定：相等向量表示同一復數．eq\a\vs4\al(（三）復數的模)(1)定義：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模r叫做復數z＝a＋bi的模，記作|z|或者|a＋bi|.(2)求法：|z|＝|eq\o(OZ,\s\up6(→))|＝eq\r(a2＋b2).(3)模的幾何意義：模的幾何意義就是復數z＝a＋bi所對應的點Z(a，b)到原點(0，0)的距離．注：(1)實數0與零向量對應，故復數0的模為0.(2)模相等的兩個復數未必相等．例如，|i|＝1＝|－i|，但顯然i≠－i.1．復數z＝a＋bi(a、b∈R)與點Z(a，b)及向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的一一對應關系如下圖所示．2．由復平面內適合某種條件的點的集合求其對應的復數時，通常是由對應關系列出方程(組)或不等式(組)，求得復數的實部、虛部的取值(范圍)來確定所求的復數．3．復數z＝a＋bi的模|z|＝eq\r(a2＋b2)，從幾何意義上理解，表示點Z(a，b)和原點間的距離，類比向量的模可進一步引申：|z1－z2|表示復數z1和z2對應的點Z1和Z2之間的距離．4．復數的模表示復數在復平面內對應的點到原點的距離．計算復數的模時，應先找出復數的實部和虛部，然后再利用復數模的計算公式進行計算．由于復數的模是一個實數，所以復數的模可以比較大小．1．復數z＝eq\f(3－4i,5)(i為虛數單位)在復平面內對應的點所在的象限為(D)A第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．復數z＝eq\r(2)－i2對應的點在復平面的(B)A．第一象限內B．實軸上C．虛軸上D．第四象限上3．(2023·重慶卷)已知復數z＝1＋2i(i是虛數單位)，則|z|＝eq\r(5)．4．a取何值時，z＝(a2－2a－8)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2－a－2,a＋1)))i(a∈R)對應的點Z：(1)在復平面的x軸的下方？(2)在直線x＋y＋8＝0上？解析：(1)點Z在復平面的x軸的下方，則eq\f(a2－a－2,a＋1)＜0?a＜2，且a≠1.∴a＜2，且a≠－1時，點Z在復平面的x軸的下方．(2)點Z在直線x＋y＋8＝0上，則a2－2a－8＋eq\f(a2－a－2,a＋1)＋8＝0?a3－3a－2＝0?a2－a－2＝0(a≠－1)?a＝2.∴a＝2時，點Z在直線x＋y＋8＝0上．1．復平面中下列哪個點對應的復數是純虛數(D)A．(1，2)B．(－3，0)C．(0，0)D．(0，－2)2．已知復數z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，則實數m的值為(A)A．1或3B．1C．3D．23．設復數z＝a＋bi(a，b∈R)對應的點在虛軸的右側，則(D)A．a＞，b＞0B．a＞0，b＜0C．b＞0，a∈RD．a＞0，b∈R4．兩個不相等的復數z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，若z1與z2在復平面內的對應點關于虛軸對稱，則a，b，c，d之間的關系為(A)A．a＝－c，b＝dB．a＝－c，b＝－dC．a＝c，b＝－dD．a≠c，b≠d解析：設z1＝a＋bi(a，b∈R)的對應點為P(a，b)，z2＝c＋di(c，d∈R)的對應點為Q(c，d)．∵P與Q關于y軸對稱，∴a＝－c，b＝d.5．已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，下列選項中正確的是(D)A．z1＞z2B．z1＜z2C．|z1|＞|z2|D．|z1|＜|z2|解析：|z1|＝|5＋3i|＝eq\r(52＋32)＝eq\r(34)，|z2|＝|5＋4i|＝eq\r(52＋42)＝eq\r(41)，∵eq\r(34)＜eq\r(41)，∴|z1|＜|z2|.6．已知0＜a＜2，復數z的實部為a，虛部為1，則|z|的取值范圍是(C)A．(1，5)B．(1，3)C．(1，eq\r(5))D．(1，eq\r(3))解析：|z|＝eq\r(a2＋1)，∵0<a<2，∴1<a2＋1<5，∴1<|z|<eq\r(5).故選C.7．若復數z＝1－i(i為虛數單位)，則|z|＝eq\r(2)．8．若復數z對應的點在直線y＝2x上，且|z|＝eq\r(5)，則復數z＝________．解析：依題意可設復數z＝a＋2ai(a∈R)，由|z|＝eq\r(5)得eq\r(a3＋4a2)＝eq\r(5)，解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i答案：1＋2i或－1－2i9．已知復數z＝x－2＋yi的模為2eq\r(2)，則點(x，y)的軌跡方程為________．解析：依題意得eq\r(（x－2）2＋y2)＝2eq\r(2)，∴(x－2)2＋y2＝8.答案：(x－2)2＋y2＝810．設復數z＝2m＋(4－m2)i，當實數m取何值時，復數z對應的點：(1)位于虛軸上？(2)位于一、三象限上？(3)位于以原點為圓心，以4為半徑的圓上？解析：(1)復數z對應的點位于虛軸上，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m＝0，,4－m2≠0))?m＝0.∴m＝0時，復數z對應的點位于虛軸上．(2)復數z對應的點位于一、三象限，則2m·(4－m2)＞0?m(m－2)(m＋2)＜0?m＜－2或0＜m＜2.∴m＜－2或0＜m＜2時，復數z對應的點位于一、三象限．(3)|z|＝eq\r(（2m）2＋（4－m2）2)＝4?m＝0或m＝±2.∴m＝0或m＝±2時，復數z對應的點位于以原點為圓心，以4為半徑的圓上．?品味高考1．(2023·重慶高考)實部為－2，虛部為1的復數所對應的點位于復平面的(B)A．第一