第五章不等式第1講不等式的概念與性質考綱要求考綱研讀1.了解現實世界和日常生活中的不等關系．2．了解不等式(組)的實際背景.對于不等式的每條性質，不僅要記住其結論，還要明確其成立的前提，忽略某些性質成立的條件往往會造成解題失誤.1．比較原理(兩實數之間有且只有以下三個大小關系之一)a＞b?a－b＞0；a＜b?a－b＜0；a＝b?a－b＝0.2．不等式的性質(1)對稱性：a＞b?b＜a；a＜b?b＞a.(2)傳遞性：a＞b，b＞c?______.a＞c(3)可加性：a＞b?______________.移項法則：a＋b＞c?a＞c－b.a＋c＞b＋d推論：同向不等式可加．a＞b，c＞d?_______________.(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?________.推論1：同向(正)可乘：a＞b＞0，c＞d＞0?________.推論2：可乘方(正)：a＞b＞0?________(n∈N*，n≥2)．(5)可開方(正)：a＞b＞0?________(n∈N*，n≥2)．ac＜bcac＞bd

a＋c＞b＋can＞bn1．“a＋c＞b＋d”是“a＞b且c＞d”的()A

A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．a，b∈R，若a－|b|＞0，則下列不等式中正確的是()DA．b－a＞0C．a2－b2＜0B．a3＋b3＜0 D．b＋a＞03．已知a，b∈R，且a>b，則下列不等式中恒成立的是()B4．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪(?RB)＝R，)C則實數a的取值范圍是( A．a≤2 C．a≥2

B．a<1D．a>2(－π，0)

考點1不等式的基本性質例1：①(2011年陜西)設0<a<b，則下列不等式中正確的是()答案：B②(2011年全國)下面四個條件中，使a>b成立的充分而不必)要的條件是( A．a>b＋1 C．a2>b2B．a>b－1 D．a3>b3A解析：對A項，若a>b＋1，則a－b>1，則a>b；若a>b，不能得到a>b＋1.對B項，若a>b－1，不能得到a>b；對C項，若a2>b2，可得(a＋b)(a－b)>0，不能得到a>b；對D項，若a3>b3，則a>b，反之，若a>b，則a3>b3，a3>b3是a>b成立的充分必要條件．

(1)判斷一個關于不等式的命題的真假時，先把要判斷的命題與不等式性質聯系起來考慮，找到與命題相近的性質，并應用性質判斷命題的真假．(2)特殊值法是判斷命題真假時常用到的一個方法，說明一個命題為假命題時，可以用特殊值法，但不能用特殊值法肯定一個命題，只能用所學知識嚴密證明．【互動探究】

1．如果a，b，c滿足c<b<a，且ac<0，那么下列選項中不一)定成立的是( A．ab>ac

C．cb2<ab2

B．c(b－a)>0 D．ac(a－c)<0C考點2利用作差比較大小．例2：在等比數列{an}和等差數列{bn}中，a1＝b1>0，a3＝b3>0，且a1≠a3，試比較下列各組數的大小．(1)a2

與b2；(2)a5

與b5.解析：設{an}的公比為q，{bn}公差為d，∴a3＝a1q2，b3＝b1＋2d＝a1＋2d，∵a3＝b3，∴a1q2＝a1＋2d.即2d＝a1(q2－1)．又∵a1≠a3＝a1q2，∴q≠±1.

作差比較法證明不等式的步驟是：作差、變形、判斷差的符號．作差是依據，變形是手段，判斷差的符號才是目的．常用的變形方法有：配方法、通分法、因式分解法等．有時把差變形為常數，有時變形為常數與幾個數平方和的形式，有時變形為幾個因式積的形式等．總之，變形到能判斷出差的符號即可．【互動探究】

2．若a＞0，b＞0，m＞0，且a＜b，則下列不等式中恒成立的是()ADA．0B．1C．2D．33．已知下列不等式：①x2＋3>2x；②a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R＋)；③a2＋b2≥2(a－b－1)，其中正確的個數為()解析：∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，∴x2＋3>2x.∵a3＋b3－a2b－ab2＝(a－b)(a2－b2)＝(a＋b)(a－b)2≥0，∴a3＋b3≥a2b＋ab2.∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)．考點3利用作商比較大小．

(1)求數列{an}的通項公式； (2)數列{an}是否存在最大項？若存在最大項，求出該項和相應的項數；若不存在，說明理由．作商法：若B＞0，欲證A≥B，只需證—≥1.步AB驟：作商式；商式變形；判斷商值與1的大小關系．指數不等式常用作商法證明．有時要用到指數函數的性質．如若a＞1，且x＞0，則ax＞1等．【互動探究】

4．比較1816

與1618

的大小．

易錯、易混、易漏

8．忽略考慮等號能否同時成立

例題：設

f(x)＝ax2＋bx,1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范圍．正解：方法一：設f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n為待定系數)，則4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)．即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10.∴5≤f(－2)≤10.∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10.∴5≤f(－2)≤10.

【失誤與防范】本題主要考查多個不等式等號能否成立的問題，可以考慮待定系數法、換元法和線性規劃法，要特別注意1≤a－b≤2,2≤a＋b≤4中的a，b不是獨立的，而是相互制約的，因此無論用哪種方法都必須將a－b，a＋b當作一個整體來看待．圖5－1－1

1．準確把握不等式的性質：對于不等式的性質，關鍵是理解和運用，要弄清每一個性質的條件和結論，注意條件(特別是符號的限制條件)改變后，結論是否發生變化．不等式的性質包括“單向性”和“雙向性”兩種情況．“單向性”主要用于證明不等式；“雙向性”主要用