第五章線性系統(tǒng)的頻域分析法主要內(nèi)容：（1）介紹頻率特性的基本概念和開環(huán)頻率特性曲線的繪制方法。（2）研究頻率域穩(wěn)定判據(jù)、頻率性能指標的估算、頻率特性與穩(wěn)態(tài)響應及暫態(tài)響應之間的關(guān)系。第一節(jié)頻率特性一、頻率特性的基本概念系統(tǒng)對正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)響應稱為頻率響應，頻率響應與正弦輸入信號復振幅之比稱為頻率特性。 設(shè)圖5-1表示線性定常控制 系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)一般是具 有實系數(shù)的有理真分式，可 以表達為式中，為s的多項式。當正弦輸入信號 時，其拉氏變換為 （5-1）則輸出的拉氏變換為 （5-2）若所有極點互異，即沒有重根，上式展成部分分式為 （5-3）對式（5-3）取拉氏反變換，可得正弦信號的響應為 （5-4）中前兩項是中的極點所決定的穩(wěn)態(tài)分量；后面的項是中的極點所決定的暫態(tài)分量。對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，閉環(huán)極點具有負實部根，暫態(tài)分量在 時衰減為零，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為 （5-5）式中代入式（5-5）得 （5-6）由于是的實系數(shù)有理函數(shù)，所以與 是共軛的，若將 表達為 （5-7）式中 ； ，則的極坐標形式一定為 （5-8）將式（5-7）和式（5-8）代入式（5-6）得 （5-9）式中 。 由（5-9）分析可得，對于穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，在正弦輸入信號作用下，其穩(wěn)態(tài)輸出也是一個同頻率的正弦信號。如果用復振幅 和 分別表示兩個同頻率的正弦 和 ，則有 （5-10） 即G(jω)

是線性定常系統(tǒng)在穩(wěn)定條件下正弦輸出信號的復振幅與正弦輸入信號的復振幅之比，它描述了線性定常系統(tǒng)傳遞正弦信號的能力。 將傳遞函數(shù) 中的用取代求得，即 （5-11） 因為頻率特性 是在 下的傳遞函數(shù)，所以用頻率特性 描述系統(tǒng)的性能與傳遞函數(shù)具有同等效果，且有關(guān)傳遞函數(shù)的概念和運算法則對于頻率特性均適用。 頻率特性不僅能反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，而且可以用于研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性和暫態(tài)性能，這一點可以用富氏變換來說明。 在零初始條件下輸出信號與輸入信號富氏變換之比即為頻率特性，即 （5-14） 顯然，在已知頻率特性 時，其輸出信號可以通過富氏反變換獲得。即 （5-15） 式（5-15）給出了頻率特性 、輸入信號 與暫態(tài)響應的關(guān)系，說明 中包含著的信息，這也是用頻率特性描述線性系統(tǒng)時域暫態(tài)響應的數(shù)學基礎(chǔ)。式（5-10）和（5-14）是兩種頻率特性的定義：式（5-10）是在零初始條件時線性系統(tǒng)在正弦信號作用下，其輸出響應的穩(wěn)態(tài)分量與輸入信號復振幅之比；式（5-14）是在零初始條件時線性系統(tǒng)輸出的富氏變換 與輸入信號富氏變換之比。但頻率特性的求取一般采用式（5-11），即用虛數(shù)“ ”代換環(huán)節(jié)或系統(tǒng)傳遞函數(shù)中的復數(shù)“”。二、頻率特性的幾何圖示法頻率特性 是復數(shù)，它既可以用實部、虛部表示，也可以用幅值（模）和相角來表示，即 （5-16） 式中 = ——幅頻特性

——相頻特性

——實頻特性

——虛頻特性 不難看出，和是的偶函數(shù)，和 是的奇函數(shù)，這些性質(zhì)對頻率特性作圖有很大幫助。（一）幅相頻率特性圖或極坐標圖 頻率特性 的幅相頻率特性圖是當由零變化到無窮大時，在復平面上描繪出的的幅值 與相角 的關(guān)系圖，也可以說是以為參變量的的軌跡圖。（二）對數(shù)坐標圖或伯德圖 對數(shù)坐標圖是將幅頻特性和相頻特性分別用兩個圖表示。對數(shù)幅頻特性圖的縱坐標為 ，單位為分貝（db），采用線性分度；橫坐標采用對數(shù)分度表示角頻率，單位為弧度/秒（rad/s）；對數(shù)相頻特性圖的縱坐標為 ，單位為度（），采用線性分度，橫坐標同樣采用對數(shù)分度表示角頻率。（三）對數(shù)幅相圖或尼柯爾斯圖 對數(shù)幅相圖的特點是縱坐標為 ，單位為分貝（dB），橫坐標為，單位為度（），均采用線性分度，頻率為參變量。例5-1

試繪制圖5-2所示RC電路的幅相頻率特性圖、對數(shù)坐標圖和對數(shù)幅相圖。 解根據(jù)電路知識可知RC電路的傳遞函數(shù)為

式中，T=RC為時間常數(shù)。在G(s) 中，令s=jω得頻率特性為w100?w￥?wjVUa)極坐標圖T01.0T1T10020020-40-045-090-0b))rad/s(w對數(shù)坐標圖20lgG(ω)(dB)Ф(ω)40040-0180-00180）（ωfc)20lgG(ω)(dB)對數(shù)幅相圖從圖中可以直觀的看出該電路傳遞不同頻率正弦信號的能力，這就是頻率特性圖的優(yōu)越性。對于復雜系統(tǒng)，這一優(yōu)越性尤其明顯。在以上三種頻率特性圖中，幅相頻率特性圖和對數(shù)坐標圖是應用最廣泛的。第二節(jié)典型環(huán)節(jié)及控制系統(tǒng)的頻率特性

一、典型環(huán)節(jié)的頻率特性（一）比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)又稱放大環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)為其頻率特性為 （5-17）由于頻率ω為任何值時， ， ，因此比例環(huán)節(jié)的幅相頻率特性為點 。對 取分貝可得比例環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性 （dB）（5-18） 這是一條平行于橫軸且縱軸為 的直線。由于 ，所以比例環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性是一條與橫軸重合的直線。（二）積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為其頻率特性為 （5-19） ， ，頻率ω增大，單調(diào)減，不變，因此積分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性是一條與負虛軸重合的直線。對 取分貝可得積分環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性 （5-20） 由上式可知ω=1， ，ω每增大10倍，下降20分貝，所以積分環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性是一條斜率為每十倍頻程 -20分貝的直線（簡稱 ），且過零分貝的ω為1。由于 ，所以積分環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性是一條與橫軸平行且縱軸為的直線。

（三）微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為其頻率特性為 （5-21） ， ，頻率ω增大，單調(diào)增，不變，因此微分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性是一條與正虛軸重合的直線。對 取分貝可得微分環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性 （5-22） 由上式可知ω=1， ，ω每增大10倍，上升20分貝，所以微分環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性是一條斜率為每十倍頻程 20分貝的直線（簡稱 ），且過零分貝的ω為1。由于 ，所以微分環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性是一條與橫軸平行且縱軸為的直線。（四）慣性環(huán)節(jié) 慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 其頻率特性為 （5-23） 以ω為參變量，分別計算出ω從0到∞時相應的幅值 與相角 的數(shù)值，可以看出 時，, ； 時， ， 。同時可以看出隨著ω的增大， 和 是單調(diào)減的，的曲線始終在幅相頻率特性圖的第Ⅳ象限。 對 取分貝而得慣性環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性 （5-24）在ω≤1/T，對數(shù)幅頻特性的漸近線是一條與0dB重合的直線。在ω≥1/T，對數(shù)幅頻特性漸近線是一條過ω=1/T斜率-20dB/dec的直線。慣性環(huán)節(jié)對數(shù)相頻特性為 。用兩條漸近線近似表示慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性與精確曲線相比將產(chǎn)生誤差，其最大誤差為誤差曲線如圖5-8所示。（五）一階微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為其頻率特性為 （5-25）ω從0到∞變化時，實部為1，虛部從0到∞，其幅相頻率特性圖是復平面上起始于實軸1且平行于正虛軸的直線。對 取分貝可得一階微分環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性 （5-26） 由于一階微分環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的頻率特性互為倒數(shù)，所以它們的對數(shù)幅頻特性曲線和相頻特性曲線對稱于橫軸。（六）振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 （ ）其中其頻率特性為 （5-27）即 ， 。 時， ， ； 時， ， ； 時， ，。下面就的單調(diào)性作討論，求 的極值，即 （5-28）可得 （5-29）求解上式得極值時的頻率及極值存在的條件 （ ） （5-30）此時的頻率稱作諧振頻率，其存在的條件是 。將代入，得到諧振峰值 （5-31）當 ，且 時，單調(diào)增； 時，單調(diào)減。而當 時，單調(diào)減。對取分貝可得振蕩環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性 （5-32）在 ，對數(shù)幅頻特性的漸近線是一條與0dB重合的直線。在 ，對數(shù)幅頻特性漸近線是一條過轉(zhuǎn)角頻率 點斜率 -40dB/dec的直線。振蕩環(huán)節(jié)對數(shù)相頻特性為 。當 ， ；時， ； 時， 。越小，在鄰域的變化率越大，同時，對數(shù)相頻特性關(guān)于 （，）點奇對稱。

振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性不僅與有關(guān)，而且與有關(guān)，但或T的變化只引起對數(shù)頻率特性曲線的左右移動，不影響曲線的形狀；而較小時，在對數(shù)幅頻特性曲線上出現(xiàn)一個峰值，這一峰值與該環(huán)節(jié)時間響應的超調(diào)量相關(guān)。（七）二階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

（ ）其頻率特性為 （5-33）即 ，

。 時，， ； 時，， ； 時，， 。對 取分貝可得二階微分環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性 （5-34）由于二階微分環(huán)節(jié)與振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性互為倒數(shù)，所以它們的對數(shù)坐標圖也對稱于橫軸。（八）滯后環(huán)節(jié) 滯后環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

式中，T為滯后時間。其頻率特性為 （5-35） 即 ， ，可以看出其幅相頻率特性曲線是復平面上一個以坐標原點為圓心的單位圓，如圖5-13（a）所示。圖中同時繪出慣性環(huán)節(jié)的曲線。容易看出，當

的低頻范圍內(nèi)，兩者十分相似，即在低頻范圍內(nèi)可以用慣性環(huán)節(jié)近似代替滯后環(huán)節(jié)。對 取分貝可得滯后環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性 （5-36）這是一條與0分貝線重合的直線，而 與-ω成正比。二、系統(tǒng)開環(huán)頻率特性用頻率法研究控制系統(tǒng)最主要的特點是根據(jù)開環(huán)頻率特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及時域性能指標。系統(tǒng)開環(huán)頻率特性通常是若干典型環(huán)節(jié)頻率特性的乘積，即 （5-37）

寫成極坐標形式為

（5-38）即求系統(tǒng)開環(huán)頻率特性應先求出組成系統(tǒng)各個環(huán)節(jié)頻率特性的幅值與相角，然后繪制對數(shù)坐標圖和極坐標圖。（一）開環(huán)頻率特性的對數(shù)坐標圖（伯德圖）設(shè)系統(tǒng)開環(huán)頻率特性如式（5-37）所示，對其幅頻特性取分貝得

（5-39）

（5-40）當給定一系列的ω值，可以計算每一個環(huán)節(jié)的

和

，再利用式（5-39）和（5-40）計算開環(huán)系統(tǒng)的 和

，椐此繪制系統(tǒng)的對數(shù)坐標圖。例5-2

已知系統(tǒng)試開環(huán)傳遞函數(shù)為

試繪制下列的對數(shù)坐標圖。

解將此傳遞函數(shù)改寫成用時間常數(shù)表示的形式，其頻率特性為

1.各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率；放大環(huán)節(jié)和積分無轉(zhuǎn)角頻率，慣性環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)角頻率為1，一階微分環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)角頻率為2，振蕩環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)角頻率為4。如圖5-14所示。2.有一個積分環(huán)節(jié)，所以是1型系統(tǒng)，低頻段為斜率-20dB/dec的斜線，且延長線與橫軸交于10，即為該系統(tǒng)低頻漸近線。3.沿低頻漸近線開始，從左往右，在開始系統(tǒng)漸近線斜率疊加-20dB/dec，變?yōu)?40dB/dec；同理在，系統(tǒng)漸近線斜率疊加20dB/dec，變?yōu)?20dB/dec，再在，系統(tǒng)漸近線斜率疊加-40dB/dec，變?yōu)?60dB/dec。該系統(tǒng)的漸近對數(shù)幅頻特性曲線如圖5-14所示。4.給出不同的ω值，計算對應的，利用式（5-40）進行代數(shù)相加，算出系統(tǒng)的相頻特性的曲線，如圖5-14所示。°0°-90°-180°-270°-3601.001.01101002圖

5-14例5-2系統(tǒng)開環(huán)頻率特性對數(shù)坐標圖4020020-40-60-604rad/s)(wФ(w)20lgG(w)(dB)（二）開環(huán)頻率特性的極坐標圖 設(shè)開環(huán)系統(tǒng)頻率特性的一般表達式為

（5-41）

為了方便討論現(xiàn)將頻率特性分成低頻、中頻、高頻三個區(qū)段進行分析。1.低頻段 在頻率特性中，ω較小、趨于0的部分稱為低頻段。低頻段可以近似表示為

（5-42）0型系統(tǒng)（K＞0）頻率特性曲線起始于實軸上的點（K，j0），如圖5-15（a）中所示。1型系統(tǒng)（K＞0）頻率特性曲線起始于與負虛軸平行以直線為漸近線的無窮遠點，如圖5-15（a）中所示。2型系統(tǒng)（K＞0）頻率特性曲線起始于負實軸的無窮遠處，但起始的漸近線不是負實軸，如圖5-15（a）中所示。2.高頻段在頻率特性中，ω很大、趨于∞部分稱為高頻段。在高頻段，式（5-41）可近似為

（5-43）當 時，頻率特性曲線的高頻段最終趨于坐標原點。趨于原點的方向由 決定.當 時，頻率特性曲線的高頻段最終趨于實軸上的（ ）點。當 時（工程實際一般不會出現(xiàn)），頻率特性曲線的高頻段最終趨于∞。3.中頻段 在頻率特性中，介于低頻和高頻之間的廣大部分稱為中頻段。 通常可以根據(jù) 和 的單調(diào)性及變化趨勢確定大致圖形；若利用 判斷頻率特性曲線和負實軸可能有交點，則利用 計算此時的值ω，代入 中獲得和負實軸的交點，依此確定中頻段的大致位置和形狀，獲得概略極坐標圖。如果需要精確的極坐標圖，可以逐點計算繪制。例5-3

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試繪制其頻率特性的概略極坐標圖。解在

中，令 得頻率特性為

可以看出系統(tǒng)為0型，時，，；時， ，。同時可以看出隨著ω的增大，和 是單調(diào)減的， 的曲線在幅相頻率特性圖的第Ⅳ、Ⅲ象限，且和負虛軸有交點，交點處的頻率可以用下式等式兩邊取正切計算出交點時的頻率 。再代入

計算得 ，即和負虛軸的交點為（0， ）。由以上分析可得概略幅相頻率特性曲線如圖5-17所示。UjV0￥?w0?wwK圖

5-17例5-3系統(tǒng)開環(huán)頻率特性極坐標圖例5-4

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試繪制其頻率特性的概略極坐標圖。解在中，令

得頻率特性為 可以看出系統(tǒng)為1型，時，，；時，，。同時可以看出隨著ω的增大，和 是單調(diào)減的，的曲線在幅相頻率特性圖的第Ⅲ、Ⅱ象限，且與虛軸無交點；與負實軸有交點，交點處的頻率利用下式

等式兩邊取正切計算出交點時的頻率，再代入

計算得 ，即和負實軸的交點為（ ，j0）；同時對于1型系統(tǒng)，其起始漸近線為 的直線，由以上分析可以獲得概略幅相頻率特性曲線如圖5-18所示。UjV2121TTTKT+-0圖

5-18例5-4系統(tǒng)開環(huán)頻率特性極坐標圖)(21TTK+-0?w￥?ww例5-5

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試繪制其頻率特性的概略極坐標圖。解在 中，令得頻率特性為可以看出系統(tǒng)為1型，時，， ；時，，，同時隨著ω的增大，利用對數(shù)幅頻特性可知為單調(diào)減。令

等式兩邊取正切計算與負虛軸交點時的頻率 （）即當時與負虛軸有交點與負實軸無交點，此時是先增后減，再將代入，即

計算得 ，即和負虛軸的交點為（0， ），同時對于1型系統(tǒng)，其起始漸近線為的直線，由以上分析可獲得概略幅相頻率特性曲線在第Ⅳ、Ⅲ象限如圖5-19所示。令等式兩邊取正切計算與負虛軸交點時的頻率 （ ）即當時與負實軸有交點，此時是先減后增，再將代入，即

計算得 ，即與負實軸的交點為（，j0），此時其起始漸近線仍為直線，由以上分析可以獲得概略幅相頻率特性曲線在第Ⅲ、Ⅱ象限，如圖5-19所示。若，則概略幅相頻率特性曲線在第Ⅲ象限，如圖5-19所示。例5-6

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試繪制其頻率特性的概略極坐標圖。解系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為 可以看出系統(tǒng)為1型，時，，；時，，。同時隨著ω的增大，是單調(diào)減的，而從對數(shù)幅頻特性可以知道也是單調(diào)減，的曲線在幅相頻率特性圖的第Ⅲ、Ⅱ象限，且與虛軸無交點；與負實軸有交點，交點處的頻率利用下式

等式兩邊取正切計算出交點時的頻率，再代入

計算得 ，即和負實軸的交點為（ ，j0）；同時對于1型系統(tǒng)，其起始漸近線為直線，由以上分析可以獲得概略幅相頻率特性曲線如圖5-20所示。例5-7

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試繪制其頻率特性的概略極坐標圖。解系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為可以先繪制慣性環(huán)節(jié)的頻率特性，然后在每一個頻率ω上保持幅值不變，幅角再增加，即獲得該系統(tǒng)的極坐標圖，如圖5-21所示。這是一個收斂于坐標原點的螺旋線。（三）最小相位系統(tǒng)與傳遞函數(shù)頻率實驗確定在右半S平面沒有開環(huán)極、零點且沒有滯后環(huán)節(jié)的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)，否則稱為非最小相位系統(tǒng)。對于具有相同幅頻特性的系統(tǒng)，最小相位系統(tǒng)的相角范圍是最小的。例如傳遞函數(shù)為 和 的兩個系統(tǒng)，其中τ滿足 ，在右半S平面有一個零點，故為非最小相位系統(tǒng)，它們的頻率特性分別為

和

其相應的對數(shù)坐標圖如圖5-22所示。由圖可以看出，它們具有相同的對數(shù)幅頻特性，但相頻特性不同，其中具有更大的相角滯后。最小相位系統(tǒng)的重要性質(zhì)是它的幅頻特性和相頻特性之間存在著唯一的對應關(guān)系，據(jù)此對于最小相位系統(tǒng)通常可以只根據(jù)它的幅頻特性對系統(tǒng)進行分析和設(shè)計，而不再考慮它的相頻特性。檢驗系統(tǒng)是否為最小相位系統(tǒng)的方法是：當

時，若對數(shù)幅頻特性的高頻段漸近線的斜率為

；相頻特性的相角為

，則為最小相位系統(tǒng)。對于有些最小相位穩(wěn)定系統(tǒng)可以通過頻率響應實驗方法確定系統(tǒng)的數(shù)學模型。頻率響應實驗的原理如圖5-23所示。例5-8

圖5-24為由頻率響應實驗獲得的某最小相位系統(tǒng)的對數(shù)幅頻漸近特性曲線，試確定系統(tǒng)傳遞函數(shù)。解

1.確定系統(tǒng)積分或微分環(huán)節(jié)的個數(shù)。因為對數(shù)幅頻漸近特性曲線的低頻漸近線的斜率為

，而由圖5-24知低頻漸近線斜率為

，故有 ，系統(tǒng)含有2個微分環(huán)節(jié)。2.確定系統(tǒng)傳遞函數(shù)結(jié)構(gòu)形式。由于對數(shù)幅頻漸近特性曲線為分段折線，其各轉(zhuǎn)折點對應的頻率為所含一階或二階環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率，每個轉(zhuǎn)角頻率處斜率的變化取決于環(huán)節(jié)的種類。本例中共有2個轉(zhuǎn)角頻率：

處，斜率變化

，且有諧振，所以對應振蕩環(huán)節(jié)。

處，斜率變化

，對應慣性環(huán)節(jié)。因此所測系統(tǒng)具有下述傳遞函數(shù)：其中參數(shù)待定。3.由給定條件確定傳遞函數(shù)參數(shù)。低頻漸近線方程為 在ω=1時， ，所以K=1。 從圖中可以看出，從 以斜率40dB/dec上升了14dB，所以頻程為，即；從以斜率20dB/dec下降了14dB，所以頻程為5，即 ；諧振為6dB，即 ，則，故有解得 。于是所測系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為三.系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性閉環(huán)頻率特性和開環(huán)頻率特性一樣通常也是由若干典型環(huán)節(jié)頻率特性的乘積構(gòu)成，即 （5-46）和開環(huán)不同的是閉環(huán)傳遞函數(shù)一般不含有微分和積分環(huán)節(jié)，可以表達為作用在控制系統(tǒng)的信號除了控制輸入外，常伴有確定性擾動和隨機噪聲，因而閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性應該反映控制系統(tǒng)跟蹤控制輸入信號和抑制干擾信號的能力。

在閉環(huán)頻率特性分析和設(shè)計系統(tǒng)時，常用的閉環(huán)頻率性能指標有：1.零頻率幅值M(0)即ω=0時閉環(huán)頻率特性值。它反映了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度，M(0)越接近于1，系統(tǒng)精度越高。2.諧振頻率，系統(tǒng)出現(xiàn)最大閉環(huán)頻率特性值時的頻率。3.諧振峰值，系統(tǒng)出現(xiàn)的最大閉環(huán)頻率特性值。較大意味著系統(tǒng)的平穩(wěn)性較差，系統(tǒng)的階躍響應將有較大的超調(diào)量。4.帶寬頻率，是指閉環(huán)頻率特性值降到時的頻率。大的頻帶寬度相應于系統(tǒng)較快的上升時間。因此在作圖時為了反映這些閉環(huán)頻率性能指標，需要注意的是：在對數(shù)幅頻特性圖上，有諧振時要用誤差曲線修正對數(shù)漸近曲線，以獲得諧振頻率和諧振峰值；同時在以下3分貝處畫一條橫線以確定帶寬頻率和頻帶寬度。圖5-25為某3階系統(tǒng)的閉環(huán)對數(shù)頻率特性圖。第三節(jié)控制系統(tǒng)頻率域穩(wěn)定判據(jù)一、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的數(shù)學基礎(chǔ)設(shè)有復變函數(shù) （5-47）F(s)從S平面到F平面的映射，如圖5-26所示。幅角定理

設(shè)復變函數(shù)F(s)有個P極點和Z個零點被S平面上某一封閉曲線C所包圍，且曲線C不通過任一極點或零點，F(xiàn)(s)在C內(nèi)除了有限個極點外處處解析，則當復數(shù)S沿封閉曲線C正方向環(huán)繞一周時，映射到F平面上的曲線正向包圍原點的次數(shù)為 （5-48）假設(shè)在S平面上的封閉曲線C上任意非奇點S，在F平面上封閉曲線有一點F(s)與之對應，該點的模值與幅角可利用式（5-47）求得

（5-49）

（5-50）二、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)控制系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 （5-51）由式（5-51）可知，F(xiàn)(s)具有以下特點：1.F(s)的零點是閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點，F(xiàn)(s)的極點是開環(huán)傳遞函數(shù)的極點；2.因為開環(huán)傳遞函數(shù)分母多項式的階次一般大于或等于分子多項式的階次，故F(s)的零點和極點數(shù)相同；3.F(s)和G(s)H(s)只相差常數(shù)1，曲線和曲線形狀一樣，關(guān)于原點包圍的圈數(shù)可以用關(guān)于的包圍圈數(shù)獲得。系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是閉環(huán)特征根即F(s)的零點都應位于左半s平面。為了檢驗F(s)是否有右半s平面的零點，可選擇一條包圍整個右半s平面的順時針方向的封閉曲線C，稱之為奈奎斯特圍線。分兩種情況選擇奈奎斯特圍線：1.當s平面的原點或虛軸上沒有F(s)的極點時，所選的奈奎斯特圍線由兩部分組成，一是半徑為∞的右半圓（ ， ）；二是s平面的整個虛軸，即圖5-29（a）。2.當s平面的原點或虛軸上有F(s)的極點時，用無窮小半徑的半圓避開虛軸上的開環(huán)極點，即圖5-29（b）所示的C曲線。要注意的是F(s)在右半s平面的極點數(shù)不包括這些虛軸上的極點個數(shù)。上述兩種情況的奈奎斯特圍線都包圍了整個右半s平面，因此也必然包圍了F(s)在右半s平面內(nèi)的所有極零點。根據(jù)幅角定理，由于系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是F(s)在右半s平面無零點，即Z=0，因此系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)為：如果s在s平面順正方向沿奈奎斯特圍線C環(huán)繞一周時，在F平面上的映射曲線正向包圍原點N=-P周，或者說逆時針方向包圍原點P周，則系統(tǒng)穩(wěn)定。一般情況下，開環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即P=0，則映射曲線不包圍其坐標原點系統(tǒng)才穩(wěn)定。根據(jù)F(s)具有的特點3，N也可以用G(s)H(s)在GH平面上的關(guān)于 的包圍圈數(shù)獲得。下面研究奈奎斯特圍線C通過G(s)H(s)映射到GH平面上曲線的情況。如果系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)的一般形式為 （5-53）則當s沿半徑∞順時針移動時，即（α從90°變化到―90°），在G(s)H(s)平面上的映射為

（5-54）分析知，修正圍線起始于，終止于，并順時針旋轉(zhuǎn)。

奎斯特穩(wěn)定判據(jù)可敘述如下：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是當ω從-∞變到∞時，系統(tǒng)開環(huán)極坐標圖按逆時針方向包圍點P周，P為開環(huán)傳遞函數(shù)位于右半s平面的極點數(shù)。如果開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，P

=0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)開環(huán)極坐標圖不包圍點。通常為了簡單，只繪制曲線的正半部分，即ω從變到∞，此時判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性應將式（5-52）改為

（5-56）圖5-30給出了一些分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的例子。當開環(huán)極坐標圖 穿過點，表明F(s)存在的零點，即系統(tǒng)閉環(huán)特征方程存在共軛純虛根，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。a— ；b— ；c— ；d— ；e— ；f— ；g— ；h— ；i— 。例5-9

已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)極坐標曲線（ ）如圖5-31所示，試確定系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時K值范圍。解

如圖所示，開環(huán)幅相曲線與負實軸有三個交點，，設(shè)交點處的頻率分別為 ，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)頻率特性可以描述為其中只含比例和積分環(huán)節(jié)，即。當K=30時 ， ，若，則對應的K值為 ；；對應地可以取，，，時，開環(huán)極坐標圖分別如圖5-32（a）、（b）、（c）、（d）所示。根據(jù)奈奎斯特判據(jù)可以看出，（a）、（c）圖穩(wěn)定，（b）、（d）圖不穩(wěn)定，即系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時K值范圍為（0，15）和（20，60）。例5-10

已知滯后系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

試根據(jù)奈奎斯特判據(jù)確定系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時，延遲時間值的范圍。解由圖5-21可知，該滯后系統(tǒng)開環(huán)極坐標曲線為螺旋線，即模值和相位都是單調(diào)減的。同時，P=0，所以極坐標曲線不包圍點穩(wěn)定。通過以上分析，系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是： 或。可以得到解得，代入，得系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的條件是。三、對數(shù)頻率特性圖上的奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)如果在極坐標圖上的極坐標曲線順時針包圍點一周，則必然從下而上穿越一次實軸的線段。因為這種穿越與規(guī)定的正方向（順時針方向）一致，故稱正穿越（）。反之，從上而下（逆時針方向）穿越實軸的線段稱為負穿越（）。則，奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)可以表述為 （5-57）由于極坐標圖上的與對數(shù)坐標圖上的0dB線及線對應，所以在開環(huán)極坐標圖上的正負穿越對應在開環(huán)對數(shù)坐標圖上為在的頻率范圍內(nèi)，相頻特性曲線由上而下或由下而上穿越線仍稱作正或負穿越。對數(shù)坐標圖上的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)為設(shè)系統(tǒng)在右半s平面內(nèi)的閉環(huán)極點為Z，開環(huán)極點為P，則在開環(huán)對數(shù)頻率特性圖上的的頻率段內(nèi)，相頻特性 正負穿越線的次數(shù)為 （5-58）閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是Z=0，則 （5-59）這里應注意極坐標圖上半徑無窮大的那段弧，該圓弧在對數(shù)坐標圖上可表示為相頻特性曲線上的一條從相角到的垂線。另外，在的頻率段內(nèi)，當從線起始向下或向上延伸時，算作半次正或負穿越。四、相對穩(wěn)定性頻域的相對穩(wěn)定性（穩(wěn)定裕度）常用相角裕度和幅值裕 度 度量。（一）相角裕度設(shè)為系統(tǒng)截止頻率 （5-60）定義相角裕度為

（5-61）相角裕度的含義是，對于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，如果系統(tǒng)開環(huán)相頻特性再滯后度，則系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。（二）幅值裕度設(shè)為系統(tǒng)穿越頻率 （5-62）定義幅值裕度為

（5-63）幅值裕度的含義是，對于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，如果系統(tǒng)開環(huán)幅頻特性再放大倍，則系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。極坐標圖中和的表示如圖5-33（a）所示。在對數(shù)坐標圖上，幅值裕度定義為 （dB）（5-64）對數(shù)坐標圖中和的表示如圖5-33（b）所示。例5-11

已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

試分別計算K為1和4時，系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。解系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為按的定義可以求得。當K=1時 ，，，當K=4時

，,

，由計算可得K=1，系統(tǒng)穩(wěn)定，，；K=4，系統(tǒng)不穩(wěn)定， ， 。例5-12

已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

試分別計算K為5和20時，系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。解系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為按的定義可以求得。當K=5時 ，可以判斷出截止頻率在（1，10）之間，所以在（1，10）頻段幅頻漸近特性曲線可以表述為令模值為1，得，當K=20時 ，此時也可以判斷出截止頻率仍在（1，10）之間，利用上面的模值計算可得，，應該指出，對于開環(huán)不穩(wěn)定的非最小相位系統(tǒng)，用相角裕度和幅值裕度描述系統(tǒng)相對穩(wěn)定性是不合適的。而對于最小相位系統(tǒng)，僅用相角裕度或幅值裕度也不能全面描述系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，通常需要同時利用兩個量衡量系統(tǒng)性能。為了保證系統(tǒng)有較滿意的暫態(tài)響應特性，常取相角裕度，幅值裕度（即）或。根據(jù)伯德第二定理幅相對應關(guān)系可知，對于最小相位系統(tǒng)其對數(shù)幅頻特性曲線在截止頻率處的斜率若為-20dB/dec，則系統(tǒng)穩(wěn)定且有較大的相角裕度。斜率若為-40dB/dec，系統(tǒng)可能穩(wěn)定，也可能不穩(wěn)定，即使穩(wěn)定相角裕度也很小。斜率若小于-40dB/dec，則系統(tǒng)必不穩(wěn)定。因此，常將開環(huán)幅頻特性曲線在截止頻率處的斜率設(shè)計為-20dB/dec，并且這段特性的寬度大于5倍頻程作為控制系統(tǒng)的頻域設(shè)計基本原則。第四節(jié)頻率特性與時域響應的關(guān)系一、頻率特性與時間響應的一般關(guān)系根據(jù)頻率特性的定義式（5-14），當輸入為單位階躍函數(shù)時，則應該將寫成頻域形式，才能求出相應的輸出。而單位階躍函數(shù)不是絕對可積的，故利用極限概念將其寫成（≥0）其相應的富氏變換為

對上式進行富氏反變換并推導計算 （5-65）式（5-65）表明，單位階躍函數(shù)可以展為無窮多連續(xù)諧振分量 和一個恒值分量1/2之和。這樣就將單位階躍函數(shù)分解 為全部頻帶中所有頻率的正弦函數(shù)的疊加。如果線性系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性為 （5-66）上式中。則系統(tǒng)單位階躍響應由每一個輸入分量響應之和組成。即 （5-67）式（5-67）給出了閉（開）環(huán)頻率特性與暫態(tài)響應的一般關(guān)系。它說明閉（開）環(huán)頻率特性與暫態(tài)響應有著一一對應的關(guān)系。應該指出，僅就整個頻率特性函數(shù)而言，頻率特性函數(shù)與暫態(tài)響應函數(shù)有著一一對應的關(guān)系。性能指標一般只反映函數(shù)的部分特征，不反映函數(shù)的全貌。兩個不同的甚至差異很大的頻率特性函數(shù)可以具有相同或接近的時域性能指標，但它們的時域響應函數(shù)是不同的。為了分析閉環(huán)頻率特性的帶寬與時間響應之間的關(guān)系，設(shè)兩個閉環(huán)頻率特性曲線形狀完全相同，但帶寬不同的兩個系統(tǒng)，其閉環(huán)頻率特性分別其對數(shù)頻率如圖5-34（a）所示。則其單位階躍響應分別為

即對于頻帶寬度不同但頻率特性曲線形狀相同的兩個系統(tǒng)，頻帶寬度較寬的系統(tǒng)有著更快的暫態(tài)響應過程，若頻帶寬k倍，暫態(tài)響應將快k倍，如圖5-34（b）所示。即頻域的擴展相當于時域的壓縮，時域的擴展相當于頻域的壓縮。這一結(jié)論也適用于開環(huán)頻率特性。二、開環(huán)頻率特性與穩(wěn)態(tài)響應的關(guān)系系統(tǒng)開環(huán)頻率特性一般可以表示為 （5-68）對于0型系統(tǒng)，式（5-68）可寫為 （5-69）當時，有及。即開環(huán)對數(shù)幅頻特性漸近曲線的低頻段總是一條幅值為的水平直線，如圖5-35所示。因此根據(jù)開環(huán)對數(shù)幅頻特性漸近曲線的低頻段即可確定穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)。

圖5-35對于1型系統(tǒng)，式（5-68）可寫為 （5-70）當時，有及，當 時，有。即開環(huán)對數(shù)幅頻特性漸近曲線的低頻段總是一條斜率為-20dB/dec的直線，且低頻段的漸近曲線[圖5-36（a）或其延長線圖5-36（b）]與0dB線相交于 點。因此根據(jù)開環(huán)對數(shù)幅頻特性低頻段漸近曲線或其延長線與0dB線相交的頻率，即可以確定穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)。圖5-36對于2型系統(tǒng)，式（5-68）可寫為 （5-71）當時，有及，當時，有。即開環(huán)對數(shù)幅頻特性漸近曲線的低頻段總是一條斜率為-40dB/dec的直線，且低頻段的漸近曲線[圖5-37（a）或其延長線圖5-37（b）]與0dB線相交于 點。因此根據(jù)開環(huán)對數(shù)幅頻特性低頻