第六章實數知識網絡：考點一、實數的概念及分類1、實數的分類2、無理數在理解無理數時，要抓住“無限不循環”這一點，歸納起來有四類（1）開方開不盡的數，如等；（2）有特定意義的數，如圓周率π，或化簡后含有π的數，如+8等；（3）…等；（4）某些三角函數，如sin60o等（這類在初三會出現）判斷一個數是否是無理數，不能只看形式，要看運算結果，如是有理數，而不是無理數。3、有理數與無理數的區別（1）有理數指的是有限小數和無限循環小數，而無理數則是無限不循環小數；（2）所有的有理數都能寫成分數的形式（整數可以看成是分母為1的分數），而無理數則不能寫成分數形式。考點二、平方根、算術平方根、立方根1、概念、定義（1）如果一個正數x的平方等于a，即，那么這個正數x叫做a的算術平方根。（2）如果一個數的平方等于a，那么這個數就叫做a的平方根（或二次方跟）。如果，那么x叫做a的平方根。（3）如果一個數的立方等于a，那么這個數就叫做a的立方根（或a的三次方根）。如果，那么x叫做a的立方根。2、運算名稱（1）求一個正數a的平方根的運算，叫做開平方。平方與開平方互為逆運算。（2）求一個數的立方根的運算，叫做開立方。開立方和立方互為逆運算。3、運算符號（1）正數a的算術平方根，記作“”。（2）a(a≥0)的平方根的符號表達為。（3）一個數a的立方根，用表示，其中a是被開方數，3是根指數。4、運算公式4、開方規律小結（1）若a≥0，則a的平方根是，a的算術平方根；正數的平方根有兩個，它們互為相反數，其中正的那個叫它的算術平方根；0的平方根和算術平方根都是0；負數沒有平方根。

實數都有立方根，一個數的立方根有且只有一個，并且它的符號與被開方數的符號相同。正數的立方根是正數，負數的立方根是負數，0的立方根是0。（2）若a<0，則a沒有平方根和算術平方根；若a為任意實數，則a的立方根是。（3）正數的兩個平方根互為相反數，兩個互為相反數的實數的立方根也互為相反數。考點三、實數的性質有理數的一些概念，如倒數、相反數、絕對值等，在實數范圍內仍然不變。1、相反數（1）實數a的相反數是-a；實數與它的相反數是一對數（只有符號不同的兩個數叫做互為相反數，零的相反數是零）（2）從數軸上看，互為相反數的兩個數所對應的點關于原點對稱，如果a與b互為相反數，則有a+b=0，a=-b，反之亦成立。2、絕對值（1）要正確的理解絕對值的幾何意義，它表示的是數軸上的點到數軸原點的距離，數軸分為正負兩半，那么不管怎樣總有兩個數字相等的正負兩個數到原點的距離相等。|a|≥0。（2）若|a|=a，則a≥0；若|a|=-a，則a≤0，零的絕對值是它本身。（3）3、倒數（1）如果a與b互為倒數，則有ab=1，反之亦成立。實數a的倒數是1/a（a≠0）（2）倒數等于本身的數是1和-1。零沒有倒數。考點四、實數的三個非負性及性質1、在實數范圍內，正數和零統稱為非負數。2、非負數有三種形式（1）任何一個實數a的絕對值是非負數，即|a|≥0；（2）任何一個實數a的平方是非負數，即≥0；（3）任何非負數的算術平方根是非負數，即()。3、非負數具有以下性質（1）非負數有最小值零；（2）非負數之和仍是非負數；（3）幾個非負數之和等于0，則每個非負數都等于0.考點五、實數大小的比較實數的大小比較的法則跟有理數的大小比較法則相同：（1）正數大于0，0大于負數，正數大于一切負數，兩個負數比較，絕對值大的反而小；（2）實數和數軸上的點一一對應，在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大；（3）兩個數比較大小常見的方法有：求差法，求商法，倒數法，估算法，平方法。（4）對于一些帶根號的無理數，我們可以通過比較它們的平方或者立方的大小。常用有理數來估計無理數的大致范圍，要想正確估算需記熟0～20之間整數的平方和0～10之間整數的立方．考點六、實數的運算（1）在實數范圍內，可以進行加、減、乘、除、乘方及開方運算（2）有理數的運算法則和運算律在實數范圍內仍然成立（3）實數混合運算的運算順序與有理數的運算順序基本相同，先乘方、開方、再乘除，最后算加減。同級運算按從左到右順序進行，有括號先算括號里。（4）在實數的運算中，當遇到無理數時，并且需要求結果的近似值時，可以按照所要求的精確度用相應的近似有限小數去代替無理數，再進行計算。6.1平方根同步練習（1）知識點：1.算術平方根：一般地，如果一個正數的平方等于a，那么這個正數叫做a的算術平方根。A叫做被開方數。平方根：如果一個數的平方等于a，那么這個數叫做a的平方根平方根的性質：正數有兩個平方根，互為相反數0的平方根是0負數沒有平方根一、基礎訓練1．9的算術平方根是（）A．-3B．3C．±3D．812．下列計算不正確的是（）A．=±2B．=9C．=0.4D．=-63．下列說法中不正確的是（）A．9的算術平方根是3B．的平方根是±2C．27的立方根是±3D．立方根等于-1的實數是-14．的平方根是（）A．±8B．±4C．±2D．±5．-的平方的立方根是（）A．4B．C．-D．6．的平方根是_______；9的立方根是_______．二、能力訓練7．一個自然數的算術平方根是x，則它后面一個數的算術平方根是（）A．x+1B．x2+1C．+1D．8．若2m-4與3m-1是同一個數的平方根，則m的值是（）A．-3B．1C．-3或1D．-19．已知x，y是實數，且+（y-3）2=0，則xy的值是（）A．4B．-4C．D．-10．若一個偶數的立方根比2大，算術平方根比4小，則這個數是_______．三、綜合訓練11．利用平方根、立方根來解下列方程．（1）（2x-1）2-169=0；（2）4（3x+1）2-1=0；（3）x3-2=0；（4）（x+3）3=4．平方根第2課時要點感知1一般地,如果一個數的平方等于a,那么這個數叫做a的__________或__________,這就是說,如果x2=a,那么x叫做a的__________.預習練習1-1(2014·梅州)4的平方根是__________.1-236的平方根是__________，-4是__________的一個平方根.要點感知2求一個數a的平方根的運算，叫做開平方，平方與開平方互為逆運算.正數有__________個平方根,它們__________；0的平方根是__________；負數__________.預習練習2-1下列各數：0，(-2)2，-22，-(-5)中,沒有平方根的是__________.2-2下列各數是否有平方根？若有，求出它的平方根；若沒有，請說明為什么？(1)(-3)2；(2)-42；(3)-（a2+1）.要點感知3正數a的算術平方根可以用表示；正數a的負的平方根可以用表示__________,正數a的平方根可以用表示__________,讀作“__________”.預習練習3-1計算：±=__________，-=__________，=__________.知識點1平方根1.6的平方根是()A.4B.±4C.8D.±82.下面說法中不正確的是()A.6是36的平方根B.-6是36的平方根C.36的平方根是±6D.36的平方根是63.下列說法正確的是()A.任何非負數都有兩個平方根B.一個正數的平方根仍然是正數C.只有正數才有平方根D.負數沒有平方根4.填表：a2-2a2812255.求下列各數的平方根：(1)100；(2)0.0081；(3).知識點2平方根與算術平方根的關系6.下列說法不正確的是()A.21的平方根是±B.的平方根是7.若正方形的邊長為a,面積為S,則()A.S的平方根是aB.a是S的算術平方根C.a=±D.S=8.已知25x2-144=0，且x是正數，求2的值.9.下列說法正確的是()A.因為3的平方等于9，所以9的平方根為3B.因為-3的平方等于9，所以9的平方根為-3C.因為(-3)2中有-3，所以(-3)2沒有平方根D.因為-9是負數，所以-9沒有平方根10.|-9|的平方根是()A.81B.±3C.3D.-311.計算：=__________,-=__________,±=__________.12.若8是m的一個平方根，則m的另一個平方根為__________.13.(1)一個非負數的平方根是2a-1和a-5，這個非負數是多少？(2)已知a-1和5-2a是m的平方根，求a與m的值.挑戰自我14.已知2a-1的平方根是±3,3a+b-1的平方根是±4,求a+2b的平方根.6.2立方根要點感知1一般地,如果一個數的立方等于a,那么這個數叫做a的__________,即如果x3=a,那么__________叫做__________的立方根.預習練習1-1-8的立方根是()A.-2B.±2C.2D.-1-2-64的立方根是__________,-是__________的立方根.要點感知2求一個數的立方根的運算，叫做開立方，開立方與立方互為逆運算.正數的立方根是__________；負數的立方根是__________；0的立方根是__________.預習練習2-1下列說法正確的是()A.如果一個數的立方根是這個數本身，那么這個數一定是0B.一個數的立方根不是正數就是負數C.負數沒有立方根D.一個不為零的數的立方根和這個數同號，0的立方根是0要點感知3一個數a的立方根可以用表示,讀作“__________”,其中__________是被開方數,__________是根指數.預習練習3-1計算：=__________.知識點1立方根1.的立方根是()A.-1B.0C.1D.±12.若一個數的立方根是-3,則該數為()A.-B.-27C.±D.±273.下列判斷：①一個數的立方根有兩個，它們互為相反數；②若x3=(-2)3，則x=-2；③15的立方根是；④任何有理數都有立方根，它不是正數就是負數.其中正確的有()A.1個B.2個C.3個D.4個4.立方根等于本身的數為__________.5.的平方根是__________.6.若x-1是125的立方根，則x-7的立方根是__________.7.求下列各數的立方根：(1)0.216；(2)0；(3)-2；(4)-5.8.求下列各式的值：(1)；(2)；(3)-.9.下列說法正確的是()A.一個數的立方根有兩個，它們互為相反數B.一個數的立方根比這個數平方根小C.如果一個數有立方根，那么它一定有平方根D.與互為相反數10.計算的正確結果是()A.7B.-7C.±7D.無意義11.正方體A的體積是正方體B的體積的27倍，那么正方體A的棱長是正方體B的棱長的()A.2倍B.3倍C.4倍D.5倍12.-27的立方根與的平方根之和是__________.13.計算：-=__________，=__________.14.已知2x+1的平方根是±5，則5x+4的立方根是__________.15.若與(b-27)2互為相反數，求-的立方根.挑戰自我16.請先觀察下列等式：=2，=3，=4，…(1)請再舉兩個類似的例子；(2)經過觀察,寫出滿足上述各式規則的一般公式.6.3實數第1課時實數要點感知1無限__________小數叫做無理數,__________和__________統稱為實數.預習練習1-1下列說法：①有理數都是有限小數；②有限小數都是有理數；③無理數都是無限小數；④無限小數都是無理數，正確的是()A.①②B.①③C.②③D.③④1-2實數-2，0.3，17，2，-π中，無理數的個數是()A.2B.3C.4D.5要點感知2實數可以按照定義和正負性兩個標準分類如下：預習練習2-1給出四個數-1，0，0.5，，其中為無理數的是()A.-1B.0C.0.5D.要點感知3__________和數軸上的點是一一對應的，反過來，數軸上的每一個點必定表示一個__________.預習練習3-1和數軸上的點一一對應的是()A.整數B.有理數C.無理數D.實數3-2如圖，在數軸上點A表示的數可能是(）A.1.5B.-1.5C.-2.6D.2.6知識點1實數的有關概念1.下列各數中是無理數的是()A.B.-2C.0D.2.(2013·安順)下列各數中，3.14159，-，0.131131113…，-π，，-，無理數的個數有()A.1個B.2個C.3個D.4個3.寫出一個比-2大的負無理數__________.知識點2實數的分類4.下列說法正確的是()A.實數包括有理數、無理數和零B.有理數包括正有理數和負有理數C.無限不循環小數和無限循環小數都是無理數D.無論是有理數還是無理數都是實數5.實數可分為正實數，零和__________.正實數又可分為__________和__________，負實數又可分為__________和__________.6.把下列各數填在相應的表示集合的大括號內.-6，π，-，-|-3|，，-0.4，1.6，，0，1.1010010001…整數：{,…}，負分數：{,…}，無理數：{,…}.知識點3實數與數軸上的點一一對應7.下列結論正確的是()A.數軸上任一點都表示唯一的有理數B.數軸上任一點都表示唯一的無理數C.兩個無理數之和一定是無理數D.數軸上任意兩點之間還有無數個點8.若將三個數-，，表示在數軸上，其中能被如圖所示的墨跡覆蓋的數是__________.9.如圖,直徑為1個單位長度的圓從原點沿數軸向右滾動一周(不滑動),圓上的一點由原點到達點O′,點O′所對應的數值是__________.10.下列實數是無理數的是()A.-2B.C.D.11.下列各數：，