數值分析

NumericalAnalysis任課教師：任國彪rengb@QQ:13366483DepartmentofMathematicsofZhengzhouUniversity（鄭州大學數學與統計學院）23/jzyusername:yan2015password:yan2015鄭州大學碩士研究生課程（2014-2015學年第一學期）

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NumericalAnalysis計算的目的不在于數據，而在于洞察事物。

－－理查德·哈明Thepurposeofcomputingisinsight，notnumbers.

－－Richard

Wesley

Hamming理查德·哈明美國工程院院士,1968年圖靈獎得主。3/76

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NumericalAnalysis課程主題

討論如何構造高效適用的計算機數值算法，來解科學與工程中的數值計算問題。課程內容

各類數值算法的構造、理論評價及程序實現。

各應用學科的共性問題4/76

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NumericalAnalysis算法和誤差分析；數據代數插值；數據擬合；數值微分和數值積分；解線性代數方程組的直接法和迭代法；非線性方程和非線性方程組解法；常微分方程初值問題的數值解法；計算工具C/Matlab和Mathematica；課程主要內容5/76

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NumericalAnalysis微積分和常微分方程；線性代數；數值計算程序設計

（C/Matlab和Mathematica）

預備知識6/76

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NumericalAnalysis參考教材教材李慶揚,王能超,易大義.數值分析(第五版).北京:清華大學出版社,2008李清善，宋士倉.

數值方法.鄭州：鄭州大學出版社，2007.參考資料1.關治，陳景良.數值計算方法.北京：清華大學出版社，1990.2.周鐵，徐樹方等.計算方法.北京：清華大學出版社，2006.3.徐翠微，孫繩武.計算方法引論.北京：高等教育出版社，2005.4.JohnH.Mathews,KurtisD.Fink.數值方法(MATLAB版).

北京：電子

工業出版社，2005.5.徐士良.數值分析與算法.北京：機械工業出版社，2007.6.葛哲學.精通Matlab.北京：電子工業出版社，2008.7.任玉杰.數值分析及其MATLAB實現.北京：高等教育出版社,2007.7/76

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NumericalAnalysis課程教學活動和計劃

周次課次課時教學內容備注2周二3課時第一章基礎知識3周二3課時第二章代數插值[1]4周二

3課時第二章代數插值[2]5周二3課時第三章數據擬合的最小二乘法[1]6周二3課時第三章數據擬合的最小二乘法[2]7周二3課時第四章數值微分與數值積分[1]8周二3課時第四章數值微分與數值積分[2]9周二3課時習題課10周二3課時第五章解線性代數方程組的直接法[1]11周二3課時第五章解線性代數方程組的直接法[2]1.8.1教學內容時間安排8/76

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NumericalAnalysis課程教學活動和計劃

周次課次課時教學內容備注12周二3課時第六章解線性代數方程組的迭代法[1]13周二3課時第六章解線性代數方程組的迭代法[2]14周二

3課時第七章非線性方程的數值解法[1]15周二3課時第七章非線性方程的數值解法[2]16周二3課時第八章常微分方程初值問題數值解法[1]17周二3課時第八章常微分方程初值問題數值解法[2]18周二3課時習題課19周二3課時總復習1.8.1教學內容時間安排注：數值算法演示主要用Matlab和C語言實現，有時采用Mathematica實現。課后實驗題可用任何一種計算工具完成。9/76

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NumericalAnalysis課程教學活動和計劃

1.8.1電子教案和課后習題請登錄163郵箱

賬戶：zzumoe@163.com密碼：zzumoe2014(請不要修改)下載電子教案、算法實現代碼及課后習題。

1.每周周一上傳本周課程電子教案，每周周三上傳本周課程的算法實現代碼。每章學習完成上傳本周習題。2.請結合教材及電子教案課前預習教學內容，課后及時復習并調試算法代碼，完成習題。

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NumericalAnalysis第一章基礎知識

§1.1計算—第三種科學方法§1.2計算機算法及其評價§1.3浮點數系§1.4誤差的基本概念§1.5數值算法的穩定性§1.6計算工具§1.7參考教材§1.8課程教學活動和計劃

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NumericalAnalysis§1.1計算—第三種科學方法

“當今，科學活動可分為三種:理論、實驗和計算。定義計算科學最好是通過比較它的核心活動和實驗及理論的核心活動。試驗科學家從事于測量和設計科學設備及利用這些設備去進行測量，致力于可控、可重復試驗的設計以及分析這些試驗的誤差；理論科學家研究實驗數據之間的關系、這些關系滿足的原理（如牛頓定律、對稱性原理等）及把這些原理運用到具體特殊情形所需的數學概念和技術；計算科學家構造求解科學問題的計算方法，把這些方法軟件化，設計和進行試驗，分析這些數值試驗的誤差。他們研究計算方法的數學特征，通過計算揭露所求解科學問題的基本性質和規律。”諾貝爾獎獲得者、計算物理學者Wilson教授12/76

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NumericalAnalysis

試驗方法伽利略Galileo1564-1642理論方法牛頓Newton1643-1727計算方法馮.諾依曼Neumann1903-1957§1.1計算—第三種科學方法13/76

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NumericalAnalysis§1.1計算—第三種科學方法全球高性能計算機500強（TOP500）2010.05.3114/76

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NumericalAnalysis§1.1計算—第三種科學方法2010年6月的Top500()超級計算機排行上，來自中國的超級計算機“星云”以其峰值理論運算能力為2.98PFlop/s，而Linpack性能則為1.27PFlop/s，位于第35屆超算排行榜第二位，這是中國超級計算機在Top500榜單歷史上的最高名次。

位列本次Top500第一名的超級計算機是來自Cray的美洲豹“Jaguar”，憑借1.75PFlop/s(每秒1750萬億次)的計算能力繼去年12月份之后再次成為冠軍。而值得注意的是，“Jaguar”采用了224162個處理器核心，而名列第二的“星云”則只用了120640個處理器核心。

Top10排名中IBM“Roadrunner”

位列第三，CrayKraken位列第四,而德國的JUGENE憑借IBM藍色基因位列第五。而從國家角度來看，有7臺超級計算機位于美國，歐洲1臺，而中國有2臺，分別是星云與位于第七的天河一號。

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美洲豹Jaguar

美國橡樹嶺國家實驗室

目前，橡樹嶺國家實驗室承擔著很多科學計算相關項目，其中包括惡劣天氣模擬、星體研究、生物元素研究、新型燃料、聚變以及火山爆發模擬等等。橡樹嶺實驗室承擔著全球首個對極端天氣變化的模擬以及全球變暖的進程等等。

§1.1計算—第三種科學方法16/76

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IBM走鵑

美國洛斯阿拉莫斯國家實驗室

走鵑超級計算機造價高達1.33億美元，它由IBM和洛斯阿拉莫斯(LosAlamos)國家實驗室技術人員共同開發和組裝。走鵑提供給美國軍方使用，其運算速度達到了1.026petaflop，即每秒鐘可進行1026萬億次浮點運算，是全球首個突破千萬億次的超級計算機。主要用于運算分析美國軍方的機密軍事數據，如核武器及其他軍事戰略數據等，并模仿核戰爭爆發后對人類生存環境的破壞情況。正在做的項目有：納米技術、核聚變，激光技術、磁重聯技術、艾滋病毒研究、暗物質、銅反應和流體動力學等研究。

§1.1計算—第三種科學方法17/76

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NumericalAnalysis

曙光魔方上海超級計算中心位于上海超級計算機中心的曙光5000A首次亮相就讓中國的身影再一次躋身前十行列。該系統總計擁有30720個計算核心、122.88TB內存，最大性能180.6TFlops，峰值性能233.472TFlops.

據2008年統計，“魔方”上面運行的應用，包括氣象預報、生物藥物、生命科學、汽車、核電、鋼鐵、新材料、土木工程、物理、化學、航空、航天、船舶等數十個應用領域。上海市著力發展的九大高新技術產業，如商用飛機、新材料、醫藥、重大裝備、新能源以及電動汽車等六個領域都將依賴高性能計算技術。未來，“魔方”將助力上海國際金融中心建設，為金融機構設計衍生產品、控制風險、提供各種計算解決方案。

§1.1計算—第三種科學方法18/76

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MareNostrum巴塞羅那超級計算中心

MareNostrum擁有10240顆處理器，峰值計算速度能夠達到每秒94.21萬億次浮點計算。組成MareNostrum的2560臺JS21刀片式計算結點占據了大約半個籃球場（120平米）的面積，現在位于西班牙的巴塞羅那超級計算中心。MareNostrum目前的應用相當廣泛，包含人類基因的研究、天氣預報、藥品研究等等領域。

§1.1計算—第三種科學方法19/76

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中國-科學計算

2010年6月的Top500()超級計算機排行中，來自中國的HPC超級計算機有24臺，在數量上與德國并列第四位。而Top10中“星云”排名第二，“天河一號”排名第七，中國超算首次進入前兩名的行列。計算數學方面，我國已故著名學者馮康先生獨立于西方學者發展了有限元方法、辛幾何算法等重要方法，這些方法現在已經是計算數學中具有核心地位的算法。我國科學家在計算科學和力學、材料工程、化學等學科的交叉領域也做出了諸多貢獻。

§1.1計算—第三種科學方法20/76

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NumericalAnalysis實際問題建立數學模型數值分析提出算法程序設計編程上機計算分析結果并對實際問題進行解釋說明

在建立了數學模型之后，并不能立刻用計算機直接求解，還必須尋找用計算機計算這些數學模型的數值方，即將數學模型中的連續變量離散化，轉化成一系列相應的算法步驟，編制出正確的計算程序，再上機計算得出滿意的數值結果。

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晶體生長模擬海浪沖擊結構物模擬橋墩受力模擬分子動力學模擬發電機磁場模擬22/76

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NumericalAnalysis§1.2計算機算法及其評價

算法（Algorithm）

是一系列解決問題的清晰指令。也就是說，能夠對一定規范的輸入，在有限時間內獲得所要求的輸出。算法特性

□有窮性：算法必須保證執行有限步之后結束。□確切性：算法的每一步驟必須有確切的定義。□輸入：算法有0個或多個輸入，以刻畫運算對象的初始情況。□輸出：算法有一個或多個輸出，以反映對輸入數據加工后的結果。□可行性：算法原則上能夠精確地運行，而且人們用筆和紙做有限次運

算后即可完成。

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NumericalAnalysis

§1.2計算機算法及其評價

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NumericalAnalysis例1.2.1（秦九韶算法）設計算法求多項式的值.解：引進記號§1.2計算機算法及其評價

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NumericalAnalysis可設計如下算法：§1.2計算機算法及其評價

請輸入多項式階數(單位:10000):10000請輸入自變量x的值:0.0001100000000階多項式在點0.000100的

取值:100010002.000100秦九韶算法運行時間:0.750000

秒100000000階多項式在點0.000100的

取值:100010002.000100常規算法運行時間:41.547000

秒PressanykeytocontinueVC6.0環境C語言編程結果26/76

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■常規方法（用重復乘法計算冪，再把各項相加）

需要次加法和次乘法

■秦九韶算法

次加法和次乘法

需要§1.2計算機算法及其評價

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NumericalAnalysis

§1.2計算機算法及其評價

算法的評價指標乘除法與加減法相比花費的CPU時間較多，通常將算法所需要的乘除法的總次數作為計算量大小的尺度。例如兩個n階矩陣相乘的乘法次數是,則稱兩個n階矩陣相乘這一問題的時間復雜度為

.28/76

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NumericalAnalysis§1.2計算機算法及其評價

例1.2.2試分析用定義法和消去法計算n階行列式的時間復雜度。解：n階行列式的計算需要計算n!項,每項做n-1次乘法,因而用定義計算n階行列式的時間復雜度為n!(n

-1).

消去法的第k步要把第k行的后n+1-k個元素同乘以某個值加到第k+1,k+2,…,n行相應元素(k=1,2,…,n-1)，因而消去法的時間復雜度是29/76

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NumericalAnalysis當n=100的時候，可見兩種算法在時間復雜度上想去甚遠，后者用個人電腦(千兆1G=)只需不到1秒，而前者用千萬億次計算機(每秒1千萬億次浮點運算,)需要約秒，需要的時間太長已經使得計算失去了意義。§1.2計算機算法及其評價

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NumericalAnalysis◆當前計算機的加減運算和乘除運算的速度相差甚微，因此有人提出將算法的所有運算次數的總和作為時間復雜度的度量。◆現代計算機的運算速度已經遠遠高于數據的傳輸速度，這使得一個算法實際運行的快慢在很大程度上依賴于該算法實現后數據傳輸量的大小，這一點對并行算法尤其重要。

§1.2計算機算法及其評價

如果時間復雜度對問題的大小n來說是多項式級(例如)，則稱問題是可計算的，否則稱為不可計算的。一個問題可能有多種算法，達到算法復雜性下界的算法稱為最優算法。31/76

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NumericalAnalysis§1.3浮點數系

■所有的數值算法將要在計算機上執行，因而需要了解實數在計算機中是如何表示的。在一臺典型的計算機中，每個數是由有限位二進制數字組成，實際上是用實數系R的一個離散子集來表示所有實數。

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NumericalAnalysis§1.3浮點數系

在IBM3000系列計算機中，單精度浮點數(float)由32位二進制數字表示，其中

它表示如下形式的數其中7位二進制數字的階，范圍是0~127，但對每個階將自動減去64，因此階的實際范圍是-64~63.稱(1.3.1)表示了一個浮點數系。33/76

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NumericalAnalysis考慮機器數

的正負指示符是0,表示是正數。接著7位是1000010是階，轉換成十進制是最后24位數表示尾數，等價于因此，機器數精確表達的十進制數是§1.3浮點數系

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NumericalAnalysis和實數系不同，在浮點數系(1.3.1)中，可以找到比大的相鄰數c和比小的相鄰數b

這意味著實數在浮點數系(1.3.1)中表示的時候，位于區間

上的實數并不能得到準確描述。實際上，區間內的任何一個實數都是用來表示的。

§1.3浮點數系

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NumericalAnalysis為保證表示的唯一性，要求每個機器數在尾數的最左四位中至少有一個位是1.因此，在浮點數系(1.3.1)中，最小的正機器數是而最大的正機器數是在計算中，出現量級小于的數的狀況稱為下溢，這時一般由將該數置為零；出現量級大于的數的狀況稱為上溢，這種狀況導致計算停止。

§1.3浮點數系

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NumericalAnalysis§1.3浮點數系

★對計算機而言，凡是在機器數系量級范圍內的實數，除了部分是機器數外，大部分是由最相近的機器數為近似值。

因此，實數在計算機中一般為近似值，這種近似值是通過數制轉換，并依據機器字長及確定的舍入規則產生的。由此而產生的誤差稱為舍入誤差。★實際上，在實數的輸入、計算、輸出等每一個環節都有舍入誤差產生。目前的機器字長能夠保證舍入誤差足夠小，不會影響大部分科學和工程計算的精確度。37/76

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NumericalAnalysis§1.4誤差的基本概念

誤差的來源誤差來自應用計算手段解決實際問題的各個環節。▲建立數學模型▲設計計算算法▲算法機器實現▲數值結果分析算法設計編碼計算數學模型結果分析誤差38/76

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NumericalAnalysis

模型誤差/*ModelingError*/

——從實際問題中抽象出數學模型時產生的誤差

觀測誤差/*MeasurementError*/——通過測量得到模型中參數的值導致輸入數據的誤差

方法誤差(截斷誤差/*TruncationError*/)——近似求解時產生的誤差

舍入誤差/*RoundoffError*/

——由于計算機字長有限而在數值運算的每一步所產生的誤差39/76

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NumericalAnalysis§1.4誤差的基本概念

例1.4.1

設一根鋁棒在溫度t時的實際長度為,在t=0時的實際長度為.如果假定鋁棒的單位長度增長量與溫度成正比，得到如下數學模型其中表示鋁棒在溫度t時的長度（理論長度），是通過試驗觀測到的常數,則稱為此模型的模型誤差，而是比例系數的觀測誤差。1.4.1誤差的類型40/76

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NumericalAnalysis§1.4誤差的基本概念

例1.4.2

對給定的數，計算

的值.解：由冪級數展開式取前面有限n+1項來近似計算，可得稱為此算法的截斷誤差（方法誤差）。1.4.1誤差的類型41/76

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NumericalAnalysis§1.4誤差的基本概念

誤差的類型總結

1.4.1誤差的類型42/76

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NumericalAnalysis§1.4誤差的基本概念

1.4.2誤差和有效數字

定義1.4.1

設是某個量的準確值，為其近似值，稱為近似值的絕對誤差。

如果

，則稱為近似值

的絕對誤差限。

定義1.4.2

稱為近似值的相對誤差。在實際計算時，也將作為近似值的相對誤差。如果或，則稱為近似值的相對誤差限。

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NumericalAnalysis§1.4誤差的基本概念

1.4.2誤差和有效數字

例1.4.3

用最小刻度為毫米的直尺測量桌子長度，讀數為1235mm.設桌子的準確長度為,而其近似值為則近似值的絕對誤差限為0.5(mm),記為44/76

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NumericalAnalysis§1.4誤差的基本概念

1.4.2誤差和有效數字

萬有引力常數

真空中光速

普朗克常數

電子的基本電荷

電子的靜質量

常用物理量的取值范圍45/76

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NumericalAnalysis§1.4誤差的基本概念

1.4.2誤差和有效數字

定義1.4.3

設實數的近似值為其中每個是中的一個數字，且如果的絕對誤差滿足就稱用近似時具有n位有效數字，或者說準確到n位。用毫米刻度尺測量物體的長度，下列哪些讀數符合有效數字要求

A.1.502mB.1.6214mC.12.40cmD.4.30mm46/76

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NumericalAnalysis§1.4誤差的基本概念

1.4.2誤差和有效數字

圓周率的近似值和有效數字

有效數字n

3位

5位

6位

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NumericalAnalysis練習:設

x1=1.73,x2=1.7321,x3=1.7320是其近似值,問它們分別有幾位有效數字?3位5位4位48/76

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NumericalAnalysis有效數字與相對誤差的關系

有效數字

相對誤差限已知x*有n位有效數字，則其相對誤差限為相對誤差限有效數字已知x*的相對誤差限為則可見x*至少有n位有效數字。49/76

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NumericalAnalysis初始數據

引起計算函數值的誤差1、函數值A*的絕對誤差略去高階項：§1.4誤差的基本概念

1.4.3誤差的累積50/76

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NumericalAnalysis

問題：

2、函數值A*的相對誤差引起A的很大誤差病態問題、壞條件問題51/76

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NumericalAnalysis3、初始數據誤差與計算結果誤差之間的關系52/76

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NumericalAnalysis3、初始數據誤差與計算結果誤差之間的關系53/76

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NumericalAnalysis§1.4誤差的基本概念

1.4.3誤差的累積定理1.4.1設是的近似值，是的近似值，則的絕對誤差界是

的絕對誤差界是當且時，的絕對誤差界是54/76

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NumericalAnalysis§1.4誤差的基本概念

1.4.3誤差的累積定理1.4.2設是的近似值，是的近似值，則的相對誤差界是

的相對誤差界是當且時，的相對誤差界是55/76

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NumericalAnalysis§1.4誤差的基本概念

1.4.3誤差的累積例1.4.4計算并估計誤差，其中原始數據的誤差界為解：由定理1.4.1可得可見計算結果有三位有效數字。(?)56/76

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NumericalAnalysis§1.4誤差的基本概念

1.4.3誤差的累積定理1.4.3設是的近似值，函數在包含和的區間上有足夠階的導數，且與

相比不太大，則有57/76

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NumericalAnalysis§1.4誤差的基本概念

1.4.3誤差的累積例1.4.5設求的誤差解：因為,則有定理1.4.3可知58/76

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NumericalAnalysis4、推論1.在乘、除、開方運算時，問題數據的相對誤差對計算結果

的相對誤差影響不大。2.盡量避免兩相近數的減法運算。3.不宜用絕對值很小的數做除數.當x與y同號且x–y≠0時，由公式(f)至少有一個絕對值大于1x≈y時,至少有一個的絕對值很大y很小時,很大59/76

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NumericalAnalysis§1.4誤差的基本概念

1.4.4數值計算基本原則<1>.避免兩個相近的數相減。

由定理1.4.2可見，若兩個相近的數相減，相對誤差會很大。這是因為二者前面的有效數字相同，相減以后有效數字位數嚴重減少。例如當充分大時應變換來進行運算。60/76

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NumericalAnalysis§1.4誤差的基本概念

1.4.4數值計算基本原則<2>.兩個相差很大的數進行運算，要防止大數“吃掉”小數。調整運算次序可以避免這種情況發生。

例如則有在計算時由于對階將“吃掉了”，.61/76

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NumericalAnalysis§1.4誤差的基本概念

1.4.4數值計算基本原則例1.4.6在8位十進制的機器上解方程利用求根公式而方程的根是和1，即錯誤。這是因為在的計算式子中，分子遇到兩個相近的數相減。使用求根的韋達公式可以避免這種情況。62/76

鄭州大學2014-2015學年碩士研究生課程數值分析

NumericalAnalysis§1.4誤差的基本概念

1.4.4數值計算基本原則<3>.盡量簡化計算步驟，不但可以節約解題的時間，還能減少舍入誤差。<4>.避免被除數的絕對值遠遠大于除數絕對值的除法。這有可能導致上溢，也會增大原有的誤差63/76

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NumericalAnalysis§1.5數值算法的穩定性

一個算法，如果在執行它的過程中，舍入誤差可以在一定條件下得到控制，從而不影響算法得到可靠的結果，則稱它是數值穩定的。否則稱之是不穩定的。如果對輸入數值的微小誤差，經過某個算法的運算，輸出結果產生了較大變化，則稱算法是病態的；否則稱算法是良性的。64/76

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NumericalAnalysis§1.5數值算法的穩定性

例1.5.1建立一個算法來計算積分解：注意到兩邊在區間[0,1]上積分可得從而可得迭代遞推格式65/76

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NumericalAnalysis§1.5數值算法的穩定性

按照以上關系編程計算可得n=0積分值I(n)=1.000500e-003n=1積分值I(n)=5.001673e-004n=2積分值I(n)=3.328343e-004n=3積分值I(n)=8.318346e-004n=4積分值I(n)=-5.810028e-001n=5積分值I(n)=5.806218e+002n=6積分值I(n)=-5.800410e+00566/76

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NumericalAnalysis§1.5數值算法的穩定性

計算結果可靠碼？首先當，所以因此是單調遞減收斂于0的數列，因此計算結果嚴重錯誤。產生計算謬誤的原因是：

如果，則計算時產生999倍的誤差，計算

時產生倍的誤差，誤差的傳播像洪水沖破閘門一樣泛濫成災！可見以上的算法是病態和不穩定的。67/76

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NumericalAnalysis§1.5數值算法的穩定性

我們可以改變以上格式，取按照以上關系編程計算可得

n=0積分值I(n)=1.000500e-003n=1積分值I(n)=5.001668e-004上限1/n=1.000000n=2積分值I(n)=3.334167e-004上限1/n=0.500000n=3積分值I(n)=2.500500e-004上限1/n=0.333333n=4積分值I(n)=2.000333e-004上限1/n=0.250000n=5積分值I(n)=1.666905e-004上限1/n=0.200000n=6積分值I(n)=1.428750e-004上限1/n=0.166667算法是穩定的舍入誤差得到良好的控制68/76

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NumericalAnalysis§1.6計算工具

本書涉及的數值算法已由前人用各種編程語言實現，它們經歷了數十年的考驗和無數專業人士的調試、優化，是成熟、可靠的。在今后的學習和工作中，我們完全可以利用這些已有的算法庫減輕編程負擔，提高工作效率。可以將主要精力放在對問題的描述和對計算結果的分析上面，而把繁瑣的算法實現和優化細節交給現成的科學計算與工程軟件/庫來處理。然而，在應用中要想準確的選擇及靈活使用已實現的各種算法，必須對該算法的數學理論有透徹的了解，并根據自己的課題做取舍。這也是工科各專業研究生學習本課程的切入點和動因。69/76

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NumericalAnalysis數學軟件包：針對某一類數值計算問題的子程序集，大部分為自由軟件。常用的數學軟件包有：(,/petsc)LAPACK(LinearAlgebraPACKage),它是用于求解線性代數方程組、線性最小二乘問題和矩陣特征值問題的Fortran77子程序包；ITPACK，它是用于迭代求解大型稀疏線性代數方程組的Fortran77子程序包；§1.6計算工具

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NumericalAnalysisMINPACK，它是用于求解非線性方程組和非線性最小二乘問題的Fortran77子程序包；FITPA