第6章控制系統的校正

6.1引言第6章控制系統的校正1

6.2常用校正裝置及其特性2

6.3頻域法串聯校正3

6.4根軌跡法串聯校正4

6.5工程控制方法-PID控制

52

6.6反饋校正

6

6.7復合校正

76.1引言3本章以滿足控制系統性能指標為目的，從頻域和復數域探討自動控制系統校正裝置的設計方案及原理。控制方案設計是控制系統設計的核心內容。控制系統設計的任務是選擇合適的控制方案與系統結構，計算參數和選擇元部件，通過仿真及實驗研究，建立能滿足技術指標要求的實際系統。這是一項復雜的工作，既要考慮技術要求，也要考慮經濟性、可靠性、安裝工藝、實驗維護等多方面的要求，第7章將就這一問題從應用實例的角度去展現設計過程。本章僅限于討論其中的技術部分，即從控制觀點出發，采用數學方法去尋找一個能滿足性能指標的控制系統，設計校正裝置。6.1引言4控制系統校正的目的是將校正裝置與系統固有部分經過合適的連接，構成新的系統結構，使其能完成控制系統的任務要求。通常，這些任務和要求是通過性能指標來體現的。第3章的時域分析，是以單位階躍響應的超調量，峰值時間、調節時間及典型輸入下的穩態誤差等時域特征量的定量指標來刻畫控制系統性能的，比較直觀易懂。相對于時域指標來說，頻域指標是以系統的相角裕量、幅值裕量、諧振峰值、閉環系統帶寬、靜態誤差系數等頻域特征量給出，就不如時域指標那么直觀，但頻域指標易于校正裝置的設計。

6.1引言51．控制系統的性能指標時域性能指標主要包括上升時間、峰值時間、調節時間和超調量；穩態性能指標主要由系統的穩態誤差來描述。時域指標雖然直觀，但直接用它在時域進行校正裝置設計比較困難，通常采用頻域法進行設計，因此作為設計者，需要首先將時域指標轉換為頻域指標，然后進行頻域法的校正設計。6.1引言61）典型二階系統頻域指標與時域指標的關系諧振峰值諧振頻率帶寬頻率截止頻率相角裕量超調量調節時間6.1引言72）高階系統開環頻域指標與時域指標的關系超調量調節時間6.1引言82．系統校正方式串聯校正是把校正裝置設置在固有部分之前系統的前向通道中，來改變系統的結構，以達到改善系統性能的方法。1）串聯校正串聯校正將校正裝置放置在誤差檢測點之后和放大器之前系統能量最小的前端，校正裝置的功率較小，設計及實現都比較簡單，是最常用校正的方式，如圖6-1所示。

圖6-1串聯校正校正裝置6.1引言92）局部反饋校正圖6-2反饋校正局部反饋校正通常簡稱反饋校正或并聯校正。這種校正方式是把校正裝置與系統固有部分按反饋方式連接，故稱為反饋校正，如圖6-2所示。反饋校正的一個顯著優點是可以抑制系統參數波動及非線性因素對系統的影響，主要問題是設計較復雜。校正裝置6.1引言103）前饋校正與復合校正圖6-3前饋校正前饋校正的信號取自閉環外的系統輸入或干擾信號，如圖6-3所示。前饋校正是利用開環補償的原理來提高系統精度的，但一般不單獨使用，常與反饋控制結合構成復合控制系統，以滿足系統性能指標要求。6.1引言113．系統校正方法1）頻域法校正頻域法校正即是借助Bode進行系統校正設計。當僅改變系統開環增益K不能同時兼顧系統的動態指標及穩態指標時，必須對系統的固有部分進行校正設計。利用校正裝置來改變固有部分頻率特性形狀,使其具有合適的低頻段、中頻段和高頻段從而獲得滿意的動態性能及穩態性能。特別是在涉及到有高頻噪聲時，頻率法設計比其他方法更方便直觀。

6.1引言122）根軌跡法校正根軌跡法校正即是借助根軌跡圖進行系統校正設計。若系統的期望主導極點不在系統的根軌跡上，由根軌跡的特性知道，添加系統開環零點或者極點可以改變系統的根軌跡形狀。加上一對零、極點,使零點位于極點右側，利用其零、極點去改變原根軌跡。如果零、極點的位置選擇恰當，就既能夠使增加校正裝置后的系統根軌跡通過期望主導極點，滿足系統動態性能要求，又能使主導極點位置處的開環增益滿足系統穩態性能的要求。

返回6.2常用校正裝置及其特性13一.超前校正裝置及其特性

二.滯后校正裝置及其特性三.滯后-超前校正裝置及其特性一.超前校正裝置及其特性

14如果一個串聯校正裝置的頻率特性具有正的相角，稱該裝置為超前校正裝置。1．無源超前校正裝置傳遞函數為：在串聯校正設計中，一般先按照系統的穩態要求設計系統的開環增益，為了使按滿足動態指標要求設計出的超前校正裝置參數不影響已經設計好的穩態性能，一般假設這個下降在設計穩態精度時已被考慮到了由提高放大器增益來補償。于是無源超前校正網絡的傳遞函數可寫成。為無源超前校正裝置的傳遞函數一.超前校正裝置及其特性

15無源超前校正裝置的零、極點分布：無源超前校正裝置的對數頻率特性一.超前校正裝置及其特性

16由三角函數的兩角和公式化簡得：1/αT和1/T的幾何中心為：一.超前校正裝置及其特性

17之間的關系曲線如圖所示。

α值越大，則超前校正網絡的微分作用越強。當α→∞時，理論上最大超前相角為90o，其實這是不可能實現的。α的最大值受超前校正裝置物理結構的限制，通常選α值一般不大于20，這意味著超前校正網絡可以產生的最大超前相角大約為65o左右。

一.超前校正裝置及其特性

182．有源超前校正裝置傳遞函數為，，

二.滯后校正裝置及其特性

19如果一個串聯校正裝置的頻率特性具有負的相角，稱該裝置為滯后校正裝置。1．無源滯后校正裝置傳遞函數為為無源滯后校正裝置的傳遞函數二.滯后校正裝置及其特性

20無源滯后校正裝置的零、極點分布：無源滯后校正裝置的對數頻率特性二.滯后校正裝置及其特性

212．有源滯后校正裝置傳遞函數為，，

三.滯后-超前校正裝置及其特性22滯后-超前校正裝置兼有滯后、超前校正的優點。1．無源滯后-超前校正裝置傳遞函數為無源滯后校正裝置的零、極點分布：

三.滯后-超前校正裝置及其特性

23無源滯后-超前校正裝置的對數頻率特性無源滯后-超前校正網絡的Bode圖如圖所示。由Bode圖看出，頻率特性的中低頻段是相角滯后部分，其幅值呈衰減特性，最大值為，所以允許在低頻段提高增益，以改善系統的穩態性能。頻率特性的中高頻段是相角超前部分，因為增加了超前相角，使校正后系統的相角裕量增大，改善了動態性能。

三.滯后-超前校正裝置及其特性242．有源滯后-超前校正裝置傳遞函數為:，，

返回6.3頻域法串聯校正25一.串聯超前校正二.串聯滯后校正三.串聯滯后-超前校正四.按期望特性對系統進行串聯校正一.串聯超前校正26應用超前校正裝置進行串聯校正的基本原理，是利用超前網絡提供的超前相角來增大系統的相角裕量，以改善系統的動態性能的。超前校正原理Bode圖如圖所示。

一.串聯超前校正271．無源超前校正裝置設計步驟：1）根據系統對穩態誤差的要求確定系統應有的開環增益K。2）繪制未校正系統的Bode圖，確定其相角裕量γ，開環截止頻率ωc等數據。

3）計算超前校正裝置應提供的最大相角：4）求超前校正裝置參數α:

5）確定系統校正后的截止頻率ω’c。

6）計算超前校正裝置的另一個參數T：7）確定校正裝置的傳遞函數一.串聯超前校正282．超前校正裝置設計舉例：

【例6-1】已知系統方框圖如圖所示。要求已校正系統在單位斜坡輸入信號作用下的穩態誤差。開環截止頻率，相角裕量

。求滿足要求的串聯超前校正網絡的傳遞函數。解:1）根據穩態指標要求，確定開環增益K。2）繪制校正前系統的Bode圖

一.串聯超前校正293）計算超前校正裝置應提供的最大相角：4）求超前校正裝置參數α:

5）確定系統校正后的截止頻率ω’c。

6）計算超前校正裝置的另一個參數T：7）確定校正裝置的傳遞函數一.串聯超前校正303．超前校正主要特點：1）超前校正是利用校正網絡的相角超前特性來增加系統的相角裕量，改善系統平穩性的；2）超前校正主要針對系統頻率特性的中頻段進行，不影響系統低頻段特性；3）超前校正會使系統的截止頻率增加，使校正后系統的頻帶變寬，瞬態響應速度變快；

4）超前校正可能使系統抗高頻干擾的能力變差。

二.串聯滯后校正311．無源滯后校正裝置設計步驟：1）根據系統對穩態誤差的要求確定系統應有的開環增益K。2）繪制未校正系統的Bode圖，確定其相角裕量γ，開環截止頻率ωc等數據。

4）計算滯后校正裝置參數b：3）利用未校正系統的Bode圖，求系統校正后的截止頻率ω’c。

5）計算滯后校正裝置的另一個參數T：6）確定校正裝置的傳遞函數二.串聯滯后校正322．滯后校正裝置設計舉例：【例6-2】設單位反饋系統的開環傳遞函數為要求系統的單位速度輸入信號作用下的靜態誤差系數KV=20s-1，相角裕量不低于35o

，幅值裕量不低于10dB。試求滿足要求的串聯滯后校正網絡的傳遞函數。解:1）根據穩態指標要求，確定開環增益K。二.串聯滯后校正33

2）繪制未校正系統的Bode圖。

相角裕量：幅值裕量：開環截止頻率:未校正系統不穩定，談不上滿足性能指標要求，必須進行校正。3）求系統校正后的截止頻率ω’c二.串聯滯后校正34

4）計算滯后校正裝置參數b：

5）計算滯后校正裝置的另一個參數T：得:T=61.8

6）確定校正裝置的傳遞函數二.串聯滯后校正353．滯后校正主要特點：1）滯后校正可以用來提高系統的平穩性，但要以犧牲快速性為代價，使得系統的響應時間增大；2）滯后校正一般不會改變系統低頻段的斜率(即不影響系統的無差度)，但可在不改變系統動態性能的前提下,提高系統的穩態精度；3）滯后校正使得系統高頻幅值衰減，其抗高頻干擾能力得到提高。三.串聯滯后-超前校正36當未校正系統不穩定且要求校正后系統響應速度、相角裕量和穩態精度較高時，只采用上述的超前校正或滯后校正，難于達到預期的校正效果，采用滯后-超前校正可滿足這種需求。這種校正兼有滯后校正和超前校正的優點，利用其滯后校正部分來改善系統的穩態性能；利用其超前校正部分來增大系統的相角裕量，以改善系統的動態性能。在確定參數時，可分別獨立確定超前和滯后網絡的參數。滯后-超前校正網絡設計的方法有多種，不同的方法其設計步驟是不同的，設計的復雜程度也不同，設計出來的Gc(s)

也會不一樣，但有可能都能滿足給定的系統性能要求。

三.串聯滯后-超前校正371．無源滯后-超前校正裝置設計步驟：1）根據系統對穩態誤差的要求確定系統應有的開環增益K。2）繪制未校正系統的Bode圖，確定其相角裕量γ，開環截止頻率ωc等數據。

3）從未校正系統的Bode圖中找相角為-180o的頻率值ω，選取此值為校正后系統的截止頻率ω’c。

4）先單獨進行串聯超前校正，求得其傳遞函數：

5）然后將超前網絡與系統固有部分串聯，再進行串聯滯后校正，求得其校正裝置的傳遞函數：

6）最后得滯后-超前校正網絡的傳遞函數：三.串聯滯后-超前校正382．滯后校正裝置設計舉例：【例6-3】設單位反饋系統的開環傳遞函數為解:1）根據穩態指標要求，確定開環增益K。要求靜態誤差系數KV=20s-1，相角裕量γ=50o

，調節時間。試求滿足要求的串聯滯后校正網絡的傳遞函數。三.串聯滯后-超前校正392）繪制未校正系統的Bode圖。

相角裕量：幅值裕量：開環截止頻率:未校正系統不穩定且對系統動態、穩態指標要求高，選滯后-超前校正。

3）從未校正系統的Bode圖中找相角為-180o的頻率值ω，選取此值為校正后系統的截止頻率ω’c。三.串聯滯后-超前校正404）確定超前校正裝置的參數及傳遞函數。超前校正網絡的傳遞函數為圖6-26

超前校正前、后系統的Bode圖三.串聯滯后-超前校正414）確定超前校正裝置的參數及傳遞函數。超前校正網絡的傳遞函數為圖6-26

超前校正前、后系統的Bode圖5）確定滯后校正裝置的參數及傳遞函數。滯后校正網絡的傳遞函數為三.串聯滯后-超前校正426）最后得滯后-超前校正裝置的傳遞函數為：7）繪制校正后系統的Bode圖及單位階躍響應曲線，分別驗算校正后系統的相角裕量及調節時間是否滿足要求。四.按期望特性對系統進行串聯校正43

“期望特性”是指能滿足性能指標的控制系統應具有的開環對數漸近特性。這一方法的思路是，根據閉環系統各項性能指標與開環對數頻率特性的對應關系，繪制滿足性能要求的期望對數幅頻漸近特性曲線，然后與系統固有部分的對數幅頻漸近特性曲線比較，從而確定校正網絡的結構及參數。

圖6-28

期望開環對數幅頻特性的一般形狀四.按期望特性對系統進行串聯校正441．按期望特性法設計校正裝置的步驟：1）根據系統穩態性能指標要求確定系統的開環增益K。繪制滿足穩態要求的待校正系統的對數幅頻漸近特性L0(ω)。2）繪制系統的期望特性曲線L(ω)。3）由式Lc(ω)=L(ω)-L0(ω)求出校正網絡的對數幅頻漸近特性，并由此獲得校正裝置的傳遞函數。4）驗算校正后系統是否滿足性能指標要求。四.按期望特性對系統進行串聯校正452．按期望特性法設計校正裝置舉例【例6-4】設單位反饋系統的開環傳遞函數為試用期望特性法設計串聯校正網絡的傳遞函數Gc(s),使系統校正后滿足下列性能指標：(1)系統仍為Ⅰ型，靜態速度誤差系數

;(2)調節時間，超調量。

解:1）繪制滿足穩態要求的待校正系統的對數幅頻漸近特性L0(ω)[-20][-40][-60]四.按期望特性對系統進行串聯校正462）繪制系統的期望特性曲線L(ω)。取校正后

取ω2=10rad/sec取ω3=143rad/sec四.按期望特性對系統進行串聯校正472）繪制系統的期望特性曲線L(ω)。

取ω4=200rad/sec[-20][-40][-20][-60]四.按期望特性對系統進行串聯校正48返回3）由式Lc(ω)=L(ω)-L0(ω)求出校正網絡的對數幅頻漸近特性，并由此獲得校正裝置的傳遞函數。6.4根軌跡法串聯校正49一.串聯超前校正二.串聯滯后校正三.串聯滯后-超前校正一.串聯超前校正50如果一個未經校正的系統不能滿足動態性能指標要求，這時可應用根軌跡法進行超前校正。用根軌跡法進行串聯超前校正的實質就是給開環傳遞函數配置適當的零、極點，來改變根軌跡的形狀，從而獲得滿意的閉環主導極點。校正裝置一.串聯超前校正511．串聯超前校正的最大α法設計：假設根據對系統動態性能要求確定了一對期望的閉環共軛復數主導極點sd和sd1

，如圖所示。由于sd在校正后根軌跡上，所以應當滿足相角條件，即或

一.串聯超前校正52根據正弦定理有得：令：

即可得：校正裝置的傳遞函數為kc可由幅值條件獲得一.串聯超前校正531．應用根軌跡法進行串聯超前校正的步驟：1）根據要求的性能指標，計算出校正后閉環主導極點sd的坐標。2）畫出未校正系統的根軌跡圖及標明sd，如果未校正系統的根軌跡不通過sd

，則表明僅調整增益K不能滿足性能要求，需要增加校正網絡。4）計算γ角，計算出零、極點的大小。

6）得超前校正裝置的傳遞函數：

3）計算超前校正網絡應提供的超前相角

。

5）由幅值條件，計算kc。一.串聯超前校正542．根軌跡法進行串聯超前校正舉例

解:1）根據要求的性能指標，計算出校正后閉環主導極點的坐標sd。【例6-5】設隨動系統如圖所示。要求校正后系統滿足單位階躍信號作用下的超調量，調節時間。設計滿足要求的串聯超前校正網絡的。

期望閉環主導極點一.串聯超前校正552）畫出未校正系統的根軌跡圖及標明sd。3）計算超前校正網絡應提供的超前相角

。4）計算γ角，計算出零點zc和極點pc的大小。一.串聯超前校正56

5）由幅值條件，計算kc。

6）超前校正裝置的傳遞函數：

圖6-36二.串聯滯后校正57當系統的動態性能滿足指標要求，而穩態精度需要改善時，可以采用串聯滯后校正以增大系統的開環增益，且能基本保持其動態性能不變。方法是增加坐標原點附近的一對開環偶極子來提高閉環系統的穩態性能，同時又不會對系統的動態性能造成太大的影響。校正裝置根軌跡法進行串聯滯后校正舉例58

【例6-6】單位負反饋系統的開環傳遞函數為

要求校正后系統滿足單位階躍輸入下的超調量，調節時間，穩態誤差。設計滿足要求的串聯校正裝置。解:1）運用MATLAB繪制該系統的根軌跡，如圖所示。為滿足動態性能的一對閉環主導極點。穩態誤差為可見，系統動態性能滿足要求，而穩態性能不滿足。根軌跡法進行串聯滯后校正舉例59

圖6-40a)2）為提高穩態精度，又不影響動態性能，可考慮加入串聯滯后校正網絡。要求滯后校正后取b=0.1選取坐標原點附近的一對開環偶極子為：即校正后開環增益擴大10倍，穩態誤差減小為原來的b倍。三.串聯滯后-超前校正60由前面討論可知，根軌跡法串聯超前校正主要用于改善系統的動態性能，滯后校正主要用于改善系統的穩態性能。如果系統的動態和穩態性能都需要改善時，宜采用滯后-超前校正。滯后-超前校正設計可采用超前、滯后分離設計法，即先設計滿足動態性能要求的超前校正網絡，并注意留有余量，然后進行串聯一對開環偶極子的滯后校正網絡設計，以滿足穩態指標。61

【例6-7】設隨動系統如圖所示。要求校正后系統滿足單位階躍信號作用下的超調量，調節時間。設計滿足要求的串聯超前校正網絡的。

根軌跡法進行串聯滯后-超前校正舉例解

1）求超前校正裝置的傳遞函數滿足動態性能要求的超前校正裝置的傳遞函數已于例6-5設計好，即2）串聯超前校正網絡后，系統的開環傳遞函數變為穩態不滿足要求，需要再進行串聯滯后校正。根軌跡法進行串聯滯后-超前校正舉例623）求滯后校正裝置的傳遞函數

要求滯后校正后為留有余地，取b=0.2。

選取坐標原點附近的一對開環偶極子為：即校正后開環增益擴大5倍，穩態誤差減小為原來的b倍。4）得滯后-超前校正裝置的傳遞函數返回6.5工程控制方法-PID控制63前面介紹了自動控制系統常用的串聯校正，這類校正方法的特點是必須要知道系統固有部分精確的數學模型，然后利用數學方法在頻域或復數域，通過增加校正裝置來改造系統固有部分的開環特性，使閉環系統滿足設計要求。對于一些復雜的自動控制系統，要建立其精確數學模型是有一定困難的，而且往往也沒有必要。這樣就從工程實踐中發展起來了一種工程控制方法—PID控制。PID控制方法在使用中不需要被控對象的精確數學模型，其控制器參數的確定不是利用數學方法獲得，而是利現場參數整定方法（工程控制方法）獲得，即通過現場觀察閉環控制系統在一定輸入下的輸出曲線，分別對PID控制的比例、積分、微分參數進行反復修改整定，最終找到一組合適的控制器參數。6.5工程控制方法-PID控制64

PID控制方法雖然是一種工程控制方法得到廣泛應用，但究其數學基礎還是自動控制理論的滯后-超前校正，區別在于形式上PID控制方法有一個統一的表達式，其參數不是用數學方法獲得，而是用試驗方法現場整定得到。關于PID控制規律，已在3.5節介紹。本節僅利用仿真方法對PID控制方法中的控制器參數對系統性能的影響進行定性分析。6.5工程控制方法-PID控制65連續PID控制器的傳遞函數:另一種常用的PID控制器傳遞函數為:也常用實際微分來近似純微分1．比例控制及其參數變化對系統性能的影響66比例控制器的傳遞函數為：圖6-45由圖6-45可知，比例系數增大時，上升時間減小，系統響應加快，但超調量增大。同時由曲線可見，當比例系數增大時，該系統穩態誤差減小，調節時間變化微小。一般工業控制中很少單獨使用比例控制器，常常是與其他控制規律同時作用，以達到更好的控制效果。2．比例-微分控制及其參數變化對系統性能的影響67比例-微分控制器的傳遞函數為：圖6-47

結論：合理選擇參數值，串聯PD控制器可以提高系統的平穩性，加快系統的響應速度；串聯PD控制實際是串聯超前校正，它容易放大高頻噪聲，抗高頻干擾能力下降。3．比例-積分控制及其參數變化對系統性能的影響68比例-積分控制器的傳遞函數為：

結論：串聯PI控制器后使系統成為一個有左實數零點的n+1階系統，系統的型別提高，改善系統的穩態性能，但越Ti小，積分作用越強，平穩性越差。在實際工程中，PI控制器通常用來改善系統的穩態性能。圖6-494．PID控制算法69具有比例+積分+微分控制規律的控制器稱為PID控制器,如圖6-43所示。這種組合兼顧了三種單獨控制作用的優點。以上討論了幾種典型的控制算法。到底選用什么樣的控制算法要根據系統實際要求而定。在工業控制中，PID控制器的參數常常是可以根據其控制規律進行現場調節的，參數整定的具體方法在其他相關教材中有介紹。返回6.6反饋校正70為了改善控制系統的性能，除了采用串聯校正外，反饋校正也是廣泛使用的一種校正方式。反饋校正裝置設計比串聯校正裝置復雜，但它除了可以得到與串聯校正相同的校正效果外，還可以獲得一些特殊功能的改善，如抑制反饋環內不利因素對系統的影響。

反饋校正是采用局部反饋環節包圍前向通道中對動態性能改善有重大妨礙作用的一部分環節，通過改變被包圍環節的結構到達改善系統整體性能的目的。圖6-50所示為具有局部反饋校正的系統方框圖。圖6-50期望特性法設計反饋校正711．反饋校正的原理系統的開環傳遞函數當Gc(jω)G2(jω)<<1時，校正后的系統特性與原系統特性一致；當Gc(jω)G2(jω)>>1時，局部反饋回路的閉環特性用校正裝置特性的倒特性代替；在控制系統設計時，一般把這樣做會產生一定的誤差，但一般會在工程允許誤差范圍內。2．期望特性法設計反饋校正網絡舉例72【例6-8】系統如圖所示。校正前系統的開環傳遞函數為要求采用局部反饋校正，使系統滿足以下性能指標：調節時間，超調量，試確定校正裝置的傳遞函數。2．期望特性法設計反饋校正網絡舉例73

解

1）根據穩態要求的穩態性能確定系統的開環增益K。分析知道該系統不穩定，需要校正。校正前系統的開環傳遞函數為：2）繪制未校正系統的對數幅頻漸近特性[-20][-40][-60]ωc=33.3rad/s743）確定并繪制系統期望的對數幅頻漸進特性L(ω)取校正后取ω2=1.8rad/sec

選取ω3為期望中頻段與固有特性的交點頻率（見后）75

[-20]3）確定并繪制系統期望的對數幅頻漸進特性L(ω)過ω’c=10rad/sec作[-20]直線，與原系統特性的交點頻率為ω3=100rad/sec(MATLAB得出的精確解）。近似解76

[-20]3）確定并繪制系統期望的對數幅頻漸進特性L(ω)[-40]繪制低頻銜接段：過ω=1.8rad/sec作[-40]直線與原系統漸近線交于ω1=0.02rad/sec。100077

[-20][-40]利用Gc(jω)G2(jω)<1時，校正后的系統特性與原系統特性一致的特點。以校正裝置結構最簡為目的，繪制期望特性的低頻和高頻段。繪制低頻段：過ω1=0.02rad/sec延長[-40]直線。[-40]繪制高頻銜接段：過ω3