第五章頻率響應法第一節頻率特性第二節對數坐標圖

第三節極坐標圖（Nyquist）第四節用MATLAB繪制伯德圖和乃奎斯特圖第五節乃奎斯特穩定判據第六節相對穩定性分析第七節頻域性能指標與時域性能指標間的關系

5.1頻率響應1.頻率響應法是以傳遞函數為基礎的一種控制系統分析方法。系統對不同頻率正弦輸入信號的響應特性，稱為頻率特性又稱頻率響應。

2.用途及特點：

1).僅用簡便的圖解法（Bode、Nyquist圖）就能確定控制系統的絕對穩定性和相對穩定性；并可根據時域給定的性能指標進行系統設計。

一.概述00控制系統2).對于未知系統，可用實驗法，根據系統的頻率相應描述其實際動態過程和物理性質。

3).頻率特性（幅頻特性G（jw）和相頻特性∠G（jw））與系統的參數和結構密切相關4).對二階系統，頻率特性與過渡過程性能指標之間有確定的對應系，對高階系統也存在近似關系。5.當系統在某些頻率范圍存在嚴重噪聲時，應用頻率法可設計出抑制這些噪聲的系統。6.頻率法可用來分析部分非線性系統、魯棒多變量系統和參數不確定系統等二.頻率響應法的基本概念

線性系統當r(t)=Asinωt時，則系統輸出：00控制系統r(t)c(t)設有RC網絡如圖，求系統穩態輸出

1.閉環傳遞函數設輸入信號為

拉氏表達式

：輸出

拉氏反變換：

t→∞RCr(t)C(t)

2.幅值和頻率有關，且為

倍；

結論：1.穩態輸出和輸入信號頻率（）相同；*當ω＝0其輸入、輸出幅值相等；

3.相角遲后，是的函數；

幅值、相角與ω之間的關系

*當ω＝0輸入、輸出相位一致0…………1……0.71……00…………

物理意義電容隔直輸出短接幅值01幅頻特性RCr(t)0-45-90相頻相頻特性Tr(t)C(t)t0C(t)r(t)2.RC網絡的頻率特性一．對數坐標圖的組成§5.2對數坐標圖

一幅是對數幅頻特性圖，縱坐標為，舉例：設有系統如圖

為分度，0.1到1和1到10的距離相等稱十倍頻符號為（dec）

對數坐標圖有兩幅圖組成：另一幅是相頻率特性圖,縱坐標為度；記為L().以線性分度，單位分貝(dB)；橫坐標以lg求頻率特性優點：1）

把幅值乘除運算化為加減運算2）

曲線形狀簡單（直線）便于繪制3）

用實驗法獲得的頻率響應數據繪成的Bode圖，由Bode圖可方便地寫出系統或環節的傳遞函數。二．典型環節的Bode圖1．

比例環節K；例

:結論：K

值每增加10倍，縱坐標分貝值增加20dB2.一階環節i）

幅值

L（）020400.1110式中

:當：<<時,

幅值

:>>時,幅值:

相角

:=時

,=10時

,相角:

相角

:-L()00.110-20db/dec………………………………-<<為倍頻程斜率的直線。

最大誤差在轉角頻率為3dB=一階慣性環節可用RC電路表示(低通濾波器)。當，幅值趨向于0，相角.

RCii)一階微分環節

當＜＜時，

當＞＞時，

00.110-20db/dec當3，積分、微分環節i)積分環節

幅頻特性：

當ω=1L(ω)=0ω=10L(ω)=-20dB相頻特性：

例：設

即放大倍數

當

當

當

可見曲線比時的幅頻特性平移了40dBii)υ階積分環節

幅頻特性：

相頻特性：

iii)微分環節幅頻：

相頻：

4二階環節i)二階振蕩環節

根據二階系統標準傳遞函數有：

幅頻：當<<,式中和可略，dB即低頻段為0dB直線當>>,式中1和可略，即振蕩環節的幅頻特性既和，有關，也和有關何時產生諧振？最大值為多少？令可見，當時，有最小值即為

峰值=0配方成完全平方相頻特性

相角是和的函數

和的關系如圖i)

二階微分環節和對應的頻率稱為諧振頻率，=0時，上式=;當>0.707,不能產生諧振。5.時滯環節幅值：

幅角：40db三：繪制對數頻率響應曲線的一般步驟：

1.將系統開環傳遞函數用典型環節連乘形式表示。頻率特性表達式：

2.將系統各環節的轉折頻率在頻率坐標上標出。比例環節K和積分環節沒有轉折頻率，應先考慮作低頻段。例：

設系統開環傳遞函數

其中k=250,T1=0.2秒,

解：

的頻率特性圖=0.007秒,試畫出系統當=1時；

=48dB當=10時；

2).轉折頻率：

1)幅頻表達式:比例環節K和積分環節:

3）當=5時：

即

求得：

在處的轉折以-60斜率。

3.每遇一個轉折頻率改變一次分段直線的斜率。

如轉折頻率斜率增加-20轉折頻率

環節當

斜率增加+20分段直線最后一段開換對數幅頻曲線的高頻段漸進線斜率為：

當4.根據誤差要求，修正各環節漸進曲線,可得到實際對數幅頻曲線。

5．作相應的相頻特性曲線計算相角：

例：已知一反饋控制系統的開環傳遞函數為試繪制開環系統的Bode

圖。

解：系統的開環頻率特性對數幅頻特性：

轉折頻率：

相頻特性:四.最小相位系統與非最小相位系統1.最小相位系統定義

系統的開環傳遞函數在右半S平面上沒有極點或零點,稱為最小相位系統。舉例:1)

極點S＝

零點S=

2)

極點S＝零點S=

式中,兩個系統極點完全相同,但零點相差一個負號,對照定義:為最小相位系統,為非最小相位系統.2.頻率特性分析幅頻

頻相

幅頻相頻

兩者幅頻特性相同；但最小相位系統相位

,變化量為

非最小相位系統相位

變化量為

3.Bode圖對照1).已知最小相位系統的對數幅頻特性就可推出系統的傳遞函數。

2).最小相位系統的對數幅頻特性和相頻特性曲線變化趨勢一致。

3).最小相位系統是穩定系統，非最小相位系統往往不穩定。

4.小結五．系統開環對數幅頻特性與閉環穩態誤差的關系1.“0”型系統

1)基本表達式及低頻段幅頻特性圖形

2)低頻段幅頻特性的斜率為0dB/dec=20lgK=20lg

為靜態位置誤差系數，

由圖知20lgK=40dB則得K=100。

2).已知最小相位系統及折線幅頻特性,可求得開環傳遞函數。

2.“I”型系統：

1)基本表達式及低頻段幅頻特性圖形

當

2)低頻段幅頻特性的斜率為-20dB/dec結論：可由幅頻特性低頻段求出。1).靜態位置誤差系數,結論：-20dB斜率十倍頻程的直線與0dB直線的交點是一個數值上等于的頻率。為穩態速度誤差系數

3)低頻段漸近線（或其延長線）在=1處的縱坐標為20lg證明：

即20lg1

即

3.“Ⅱ”型系統

1）基本表達式及低頻段幅頻特性圖形

2）低頻段幅頻特性的斜率為-40dB/dec.3）低頻段漸近線（或延長線）證明：

在值20lg加速度誤差系數等于漸近線與0dB線相交點的頻率的平方。=1處的縱坐標即

六．根據最小相位系統的折線對數幅頻特性，求開環傳遞函數。解

：由圖知，轉折頻率

即例1：系統折線對數幅頻特性如圖，試求系統開環傳遞函數，并確定K值。例2．折線如圖，求對像傳遞函數解：

轉折頻率

例3：最小相位系統折線如圖，求出傳遞函數解：轉折頻率即

的，逆時針旋轉為正，順時針旋轉為負。

一.傳遞函數一般極坐標表達形式

……（1）

是一個復數，在復平面用直角坐標形式表示：

極坐標形式表示：

頻率特性正弦傳遞函數的極坐標圖是當由0→∞時，表示極坐標上的幅值與相角的關系圖。因此，極坐標圖是當由0→∞時，向量的軌跡。相角是從正實軸開始ImRe§5.3極坐標圖（Nyquist）幅角：

幅值：

二.典型環節的乃氏曲線

由（1）式知，以時間常數形式表達的傳遞函數一般由下列五種典型環節組成：

1)比例環節K

2)一階環節

3）積分和微分環節

4）二階環節

5）延遲環節典型環節頻率特性極坐標圖平面實軸上的某一定點，如圖中K點。

2.積分和微分環節［；］

i）積分環節的頻率特性：

幅值與ω成反比，相角恒為1.比例因子KK是一個與ω無關的常數,其相角虛部為0，其乃氏圖為ImRe0ImRe0Kii）微分環節的頻率特性幅值與ω成正比，相角恒為

90°3.一階環節（;）

i）慣性環節頻率特性：

幅值

相角

當ω從變化，頻率特性為單位圓

ImRe0.510ImRe0兩邊同時平方，并左右分別相加

即:

證明

:

配方：

即

圓心，半徑r=0.5

ii）一階微分環節頻率特性：

幅值：

幅角：

4.二階環節：

分子分母同除以即

i）典型二階振蕩環節：

ImRe0式中：

幅值：

乃氏圖特點

1）2）和值有關，值越小，軌跡線越大,其矢量長度取決于阻尼比。3）當時，，相角

imRe0最大值0.35最小值0.2014）當時，乃氏曲線上距原點最遠的點所對應的頻率就是二階振蕩環節的諧振頻率，諧振峰值用與之比表示。當，不產生諧振；ii）二階微分因子

向量的長度將隨ω增加而單調減少。imRe0最大值0.35最小值0.20相角：

特點：1）極座標曲線的低頻部分

高頻部分：

2）兩階微分系統的虛部為正，且單調增加實部從1開始單調減小。相角在與之間。

5.滯后環節頻率特性為：

G(jω)＝1∠(cosωT-jsinωT)

當時;

三．開環系統的乃奎斯特圖：

由控制系統的一般方塊圖知，開環傳遞函數

系統頻率特性由各種環節組合構成的，不同組合的乃氏曲線不同，但有一定規律。1.“0”型系統：開環頻率特性一般表達式

，相角隨線性變化，其極坐標圖是一個圓。幅值始終為1例

試繪制極坐標圖

解：

幅值：

幅角：

結論：1）“0”型系統：乃氏曲線起始點在實軸上（k,0）由（）決定，終點（）在原點。

與“一”階相比二階系統幅角增加了若僅判斷系統穩定，只需大概曲線軌跡，不必詳細計算作圖。

2.“I”型系統：

2）曲線形狀，由該系統的開環傳遞函數環節及參數決定。

若系統有n個極點，幅角增加例：

；若系統有n個極點，m個零點：因為可表達成虛、實部形式

寫成極坐標形式

當結論：I型系統起點幅角，幅值為∞，且以3).II型系統

通過K值的漸近線為起始；其終點在原點0。

當例：

式中

畫得乃氏圖如右。

小結：1.一般0型、I型、II型系統的乃奎斯特圖的基本形狀為

3).2.不同階次形式高頻段的乃氏圖

,曲線順時針趨向原點,1).2).i)相角ii)，起點情況；

0型在；Ⅰ型或Ⅱ型以上n-m為偶數，乃氏曲線與負實軸相切;n-m為奇數，乃氏曲線與虛軸相切

bode(num,den)

一．用MATLAB繪制伯德圖1．

功能指令nyquist(num,den)nyquist(num,den,w)bode(num,den,w)margin(mag,phase,W)plot(Re(:,:),Im(:,:),Re(:,:),-Im(:,:))§5.4用MATLAB繪制伯德圖和乃奎斯特圖num=[0110];den=[0.510];w=logspace(-2,3,100);%給出頻率ω值的范圍

%0.01rad/s-1000rad/sbode(num,den,w);%繪制0.01≤ω≤1000的伯德圖xlabel('ω/rad/s');ylabel('φ(度)L(ω)/dB')title('BodeDiagramofG(s)=10(1+0.1s)/[s(1+0.5s)]')%MATLAB程序5-2%繪制圖8控制系統的伯德圖%輸入系統分子、分母數組表達式num=[001530];den=[1161000];w=logspace(-2,3,100);[mag,phase,w]=bode(num,den,w);subplot(211)semilogx(w,20*log10(mag)),gridonxlabel('w/rad/s'),ylabel('L(w/dB')title('BodeDiagramofG(s)=30(1+0.2s)/[s(s^2+16s+100)]')subplot(212)semilogx(w,phase),gridonxlabel('w/rad/s'),ylabel('(度)')%MATLAB程序5-4num=30*[0.21];f1=[10];f2=[0.51];f3=[116100];den=conv(f1,conv(f2,f3));w=logspace(-1,3,100);[mag,phase,w]=bode(num,den,w);subplot(211)semilogx(w,20*log10(mag));gridon%幅頻特性坐標xlabel('w/rad/s'),ylabel('L(\omega)[dB]')subplot(212)semilogx(w,phase);gridon%相頻特性坐標xlabel('?rad/s]'),ylabel('(度)')num=[002010];den=[111100];w1=0.1:0.1:10;w2=10:2:100;w3=100:5:500;w=[w1w2w3];[Re,Im]=nyquist(num,den,w);%因為坐標軸在nyquist函數中已自定義，plot(Re(:,:),Im(:,:),Re(:,:),-Im(:,:))%需要取出Real、Imag，用plot函數

v=[-33-33];axis(v)%用高層圖形命令axis(v)，若要重新設置坐標軸，gridon%重新繪制，然后調用axis函數重新設置坐標軸title('nyquistplotofG(s)=20(s+0.5)/[s(s+1)(s+10)]')xlabel('Re')ylabel('Im')%PlotnyquistandcomputeGainandPhase%MarginsforGH(s)=0.5/s^3+2.5s^2+s+0.5num=[0.5]den=[1210.5][mag,phase,W]=bode(num,den);[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(mag,phase,W);

%Gm=增益裕量nyquist(num,den)%Pm=相位裕量gridon%Wcg=相位-180度交界頻率

%Wcp=增益0dB頻率title(['GainMargin='num2str(Gm),'PhaseMargin='num2str(Pm)])xlabel('Re'),ylabel('Im')

該判據根據開環頻率特性判別閉環系統的穩定性，并能反映系統穩定的程度；同時對不穩定的系統還能提示改善系統穩定性的方法及指出閉環系統有幾個不穩定的特征根。

設有反饋控制系統，其閉環傳遞函數為設(n≥m)代入上式并通分特性方程式：F(s)=1+G(s)H(s)=0一.閉環特征方程式與開環極點§5.5乃奎斯特穩定判據式中：是F（s）的零點，是閉環特征方程式的根

s=－p1,－p2,…,－pn是F（s）的極點，是開環傳遞函數的極點。

根據穩定性定義，若閉環系統是穩定的，則特征方程的根（即F(s)零點），均要位于S平面的左半邊。

二.幅角原理1.設復函數(n≥m)

F(s)是s的有理分式，則由復變函數的理論知道，F(s)除了s平面上的有限奇點外，它總是解析的，即為單值連續的正則函數；

在F(s)平面上必有唯一的一個映射點與之相對應。同理，對s平面上任意一條不通過復函數F(s)的極點和零點的閉合曲線Cs，在F(s)平面上，必有唯一的一條閉合曲線CF與之相對應。

若S平面上的閉合曲線Cs按順時針方向運動，則F(s)平面上映射曲線CF的運動方向?？赡苁琼槙r針，也可能逆時針的,全取決于復變函數F（s）本身特性。我們感興趣的不是映射曲線CF

的具體形狀，而是它是否包圍F(s)平面的坐標原點以及繞原點的方向和周數。因為它與系統的穩定性有著密切的關系。

s平面上的()每個點，復變函數F(s)的相角為：

……（1）

當點S1繞閉環曲線Cs走一周時，向量（S＋Z1）的相角變化了－2π，其余各向量的相角變化都為0°；即在F（s）平面上的映射曲線按順時針方向圍繞著坐標原點旋轉一周。

假設S平面上的閉環曲線Cs以順時針方向圍繞F（s）的一個零點Z1，而F（s）的其余零點和極點均位于閉環曲線Cs之外；若任選點S1；

如果S平面上的閉環曲線Cs按順時針方向圍繞著F(s)的一個極點(－P)旋轉一周，則向量（s+p1）的相角變化了－2π；

由F（s）相角表達式推得：F(s)的相角度變化了＋2π，表明F（s）平面上的映射曲線CF按逆時針方向圍繞其坐標原點一周。

例：

Ｓ平面F（s）平面A點：s=jB點：s=2+j設有解：計算特征點坐標S平面上的閉環曲線Cs按順時針方向圍繞著F(s)的一個極點+1旋轉一周E點：s=2

C點：s=2-jC’=2+j

D點：s=-jD’=j

若Ｓ平面上的閉環曲線Cs以順時針方向包圍F（s）的Z個零點，則在F（s）平面上的映射曲線CF將按順時針方向圍繞著坐標原點旋轉Z周；閉環曲線Cs以順時針方向包圍F（s）的P個極點，則在F（s）平面上的映射曲線CF將按逆時針方向圍繞坐標原點旋轉P周。

由此推得：F點：s=0F’=-12.幅角原理

設除了有限個奇點外，F（s）是解析函數，如果S平面上的閉環曲線Cs以順時針方向包圍了F（s）的任何極點和零點（且此曲線不通過F(s)的任何極點和零點），則其在F（s）平面上的映射曲線CF將圍繞著坐標原點旋轉N周,其中N=Z-P。若N>0表示曲線CF以順時針方向圍繞；若N<0,則表示CF以逆時針方向圍繞。

如果閉環系統是穩定的，則其特征方程式的根，也就是F（s）所有的零點均位于S的左半平面；換句話說，若要判別系統是否穩定，只要檢驗F(s)是否有零點在S平面的右半面就可以了，有F(s)的零點在S平面右側，系統就不穩定。

如何檢驗判定呢？，如前所述知：二.乃奎斯特穩定判據在S平面上，取一閉合曲線Cs，Cs應包含S的整個右半平面，如圖，如果F（s）有零點或極點在右半平面，一定被該曲線包圍，這一閉合曲線稱為乃氏軌線，它由jω軸表示的C1部分和半徑無窮大的半圓C2部分組成。CS按順時針方向沿C1由－j∞運動到+j∞，然后沿著以無窮大半徑的半圓C2由運動到。

又G(s)H(s)階次n≥m，當S沿乃氏軌線C2運動時，有：

=常數。

CS的走向：

這說明當S沿著半徑為無窮大的半圓變化時，函數F（s）始終是一常數。由此可知，F（s）平面上的映射曲線CF是否包圍坐標原點只取決于乃氏軌線C1部分的映射。

1.

設在jω軸上不存在F(s)的極點和零點，則當S-j∞沿著運動到+j∞時，在F(jω)平面上的映射曲線CF為

F(jω)=1+G(jω)H(jω)

假如閉合曲線CF以順時針方向包圍了F（s）的Z個零點和P個極點。由幅角原理知，在F(jω)平面上的映射曲線CF將按順或逆時針方向包圍坐標原點旋轉N周。

N＝Z－P

由于：F平面和GH平面的乃氏曲線映射位置如圖

因而映射曲線F(jω)對其坐標原點的圍繞相當于開環頻率曲線G(jω)H(jω)對GH平面上的（－1，j0）點的圍繞。G(jω)H(jω)=[1+G(jω)H(jω)]-1換為通過開環頻率響應G(jω)H(jω)乃氏曲線對（－1,j0）點的包圍與否，判別閉環系統的穩定性問題了。

2.乃奎斯特穩定判據2）如果開環系統不穩定（P≠0，即開環傳遞函數有P個開環極點在S的右半平面），閉環系統穩定的充要條件是：G(jω)H(jω)曲線按逆時針圍繞（－1，j0）點旋轉P周。

1）.如果開環系統是穩定的，即P＝0，則閉環系統穩定的充分必要條件是：G(jω)H(jω)曲線不包圍（－1,j0）點；由于畫G(jω)H(jω)的乃氏軌跡圖形是不難的，它就是前面討論的極坐標圖（乃氏圖）。這樣就把求解：F（s）=1+G(s)H(s)零點的復雜問題，轉例1：系統的開環傳遞函數，試用乃氏判據判別閉環系統的穩定性?！嚅_環系統穩定作G(jω)H(jω)乃氏曲線（極坐標圖），并求出乃氏曲線與實軸交點：

令Im=0；得代入實部解:由式知：P=0,

本題當K＝15時，可求得Re＝－1.3,乃氏曲線順時針包圍（－1，j0）點2圈，N＝2；Z＝N+P=2，系統閉環不穩定。

4)根據幅角原理確定Z(Z＝N+P)是否為零；Z=0則系統穩定。2）根據G(jω)H(jω)判斷乃氏曲線是否包圍（－1，j0）；由Im=0

求出Re值即乃氏曲線與負實軸的交點,看交點與－1的位置。解題過程小結：

由圖知：乃氏曲線未包圍（－1，j0）點，即N＝0；根據N＝Z－P知：Z＝0；系統閉環穩定。1）根據開環傳遞函數確定P；P＝0開環穩定。3）

依據乃氏曲線的走向，判斷曲線順時針或逆時針包圍(－1，j0)的圈數N。3.虛軸或原點存在開環極點

n≥m

根據幅角原理約定，包圍整個右半S平面的封閉曲線是不得通過奇點的，若通過極點（如S＝0，則G(s)=∞）；也就是說，原點成了奇點；

把C2作為封閉曲線的一部分，即把原點0歸入左半平面，曲線沒有通過奇點；乃氏途徑僅C2部分和非奇點途徑時不同。處理方法：在奇點（原點）處，以奇點為圓心，以半徑r→0(但不等于0)為半徑作一半圓C2，如圖。如何處理？在C2部分上，則

例如：討論這部分在GH平面的映射規律。

時，C2部分在GH平面的映射曲線為一個半徑為無窮大的半圓。

a點：

b點：

c點：

S平面上曲線方向a->b->c(逆時針)；GH平面->->順時針。

,C2部分在GH平面的映射曲線為半徑無窮大的圓。例1.設有一負反饋控制系統的開環傳遞函數

試判別該系統的穩定性。

∴S平面上乃氏途徑C2部分映射到GH平面上為半徑無窮大的半圓。與乃氏曲線G(jω)H(jω)相連接后的圍線如圖；，原點為極點；

∴Z=N+P＝0閉環系統穩定。由圖知：

N＝0；P＝0根據開環傳遞函數的分母知：解：

試分析時間常數T1和T2的相對大小對系統穩定性的影響，畫出所對應的乃氏圖。討論：T1<T2

起點：

幅值：

終點：

例2.已知開環傳遞函數解：由開環傳遞函數得

由圖知：G(jω)H(jω)曲線不包圍(-1，j0)點，N=0,P＝0，∴Z＝N+P=0；系統閉環穩定。相角：ii)當T1=T2時∴G(jω)H(jω)乃氏曲線通過（－1，j0）∴系統閉環臨界穩定。iii).當T1>T2時起點幅值＝

起點相角：

終點幅值

＝0；

終點相角：

LmReGH-14.利用乃氏判據確定系統的參數穩定范圍。K>0,T1>0,T2>0試求K為何值系統閉環穩定。

解：分析：I型系統，系統的最大，且P＝0，閉環要穩定，則要N為0，即不包圍（－1，j0）

例1G(jω)H(jω)曲線順時針包圍（－1，j0）點兩圈,即

N＝2P＝0∴Z＝N+P=2有兩個閉環極點位于S右半平面，閉

環系統不穩定。起點：

終點：

求G(jω)H(jω)曲線與負實軸的交點

令Im=0得：代入實部

當

乃氏曲線不包圍（－1，j0），N＝0，又∵P＝0，∴Z＝N+P=0；閉環系統穩定。例2.單位反饋系統的開環傳遞函數

試用乃氏判據確定該閉環系統穩定的K值范圍。

解：

為

即屬非最小相位系統；起點：

終點：

乃氏曲線包圍（－1，j0）一周；N＝－1，∵P＝1，∴Z＝N＋P＝－1＋1＝0當K=1時曲線G(jω）H(jω)穿過（－1、j0）點，當K>1時,閉環系統穩定。

1.若已知系統開環傳遞函數，開環極點P的個數和畫G(jω)H(jω)的乃氏曲線繞向N及是否包圍（－1，j0）(令Im＝0代入實部Re，求乃氏曲線與負實軸交點)點易知,用N＝Z－P可判定系統閉環穩定與否。2.若已給出極點P的個數及G(jω)H(jω)乃氏曲線的繞向圖形用N＝Z－P可直接判斷系統的穩定性。

小結：幅值為k

一.相對穩定性由前面討論知道，控制系統的開環幅相頻特性曲線是否包圍（－1，j0）點是判定閉環系統是否穩定的重要依據，即系統開環極點P＝0情況下，幅相頻特性曲線靠近原點0，遠離（－1，j0）點穩定性好。；

P=01．小K值：幅相頻率特性曲線遠離(-1，j0)，穩定性好

2.K↑值：幅相頻率特性曲線靠近(－1，j0)，系統穩定，但穩定裕量減小。例如§5.6相對穩定性分析

3．K↑↑值：幅相頻率特性曲線通過（－1，j0）臨界穩定;

例：

問題：題中幅相頻率特性曲線沒包圍也沒有經過（－1，j0）點，即系統閉環穩定；

特征根全部位于左半S平面系統穩定，但特征根靠近虛軸超調增大；位于虛軸為臨界穩定；特征根在右半S平面系統不穩定4．K↑↑↑值：幅相頻率特性曲線順時針包圍(－1,j0),不穩定.但穩定裕量如何？穩定裕量用幅值裕量Kg和相位裕量γ表示.

實際系統設計時，為了得到較好的動態性能要求Kg>6dB,γ為30O~60O之間。二、用乃氏圖定義的相位裕量和幅值裕量

1.相位裕量

γ1)定義：在剪切頻率ωC處，使系統達到臨界穩定狀態時所能接受的附加相位滯后角稱為相位裕量，符號γ

2)計算式（解析式）：

例：

其中若開環系統穩定：（p=0）γ為正值，系統閉環穩定

γ為0，系統閉環臨界穩定

γ為負值,系統閉環不穩定

2.幅值裕量（也稱增益裕量）

1）定義：開環幅值|G(jωg)H(jωg)|的倒數為增益裕量，符號KgKg是系統相對穩定性的另一度量指標。2）計算式Kg=1閉環系統臨界穩定；G(jωg)H(jωg)=1

3）物理意義：

對穩定系統而言，增益裕量表示當系統由穩定變為不穩定之前，增益允許增大的倍數。

若開環系統穩定（P=0），閉環系統穩定G（jω）H(jω)曲線不包圍（-1，j0）即Kg>1閉環系統穩定；G(jωg)H(jωg)<1Kg<1閉環系統不穩定；

G(jωg)H(jωg)>11).GH平面上單位圓的圓周與對數坐標圖上的0dB線相對應,單位圓外部對應于L（ω）>0dB,單位圓的內部對應于L（ω）<0dB2)GH平面上的負實軸和對數坐標圖上的φ＝-180°線相對應。

設有系統G（jω）H(jω)乃氏曲線圖及相應Bode圖如下

三．奈氏穩定判據在對數坐標圖上的應用1.奈氏圖與對數坐標圖對應關系

2.奈氏曲線和對數坐標圖關系判定系統穩定的應用（3）Bode圖上的正負穿越對應表現L（ω）>0dB頻域內，當ω增加時，相頻曲線向-180°以上值增加為負穿越；向負（-180°）值減小為正穿越.（1）正穿越：奈氏曲線以逆時針方向包圍（-1，j0）點一周，必然由上向下穿過負實軸的（-1，-∞）線段一次，這種穿越使相角增大稱正穿越。2)

包圍圈數N在Bode圖或奈氏圖中用正、負穿越次數表示（2）負穿越：奈氏曲線以順時針方向包圍（-1，j0）點一周，曲線將由下向上穿越負實軸（-1，-∞）線段一次，這種穿越使相角減少稱為負穿越.1)概念N=2(N--N+)四.用Bode圖定義的相位裕量和幅值裕量

20LgKg＝-20Lg|G(jωg)H(jωg)|；

|G(jωg)H(jωg)|<1Kg為正閉環系統穩定在說明給定系統相對穩定性時，通常要給出增益裕量和相位裕量。

例：單位反饋系統的開環傳遞函數為

試求（1）K＝1時系統的相位裕量和增益裕量（2）調整K值系統的增益裕量20lgKg=20dB,且相位裕量

增益裕量計算式

相位裕量計算式解：

ωg處的相頻特性

整理：

兩邊取正切得:(分子不能為0)

處的對數幅值：即有解得根據Bode圖知，K=1時的開環傳遞函數G（s）的,則

在處的對數幅頻為：

化簡：

解得：K=2.5由題：γ=40o

則

即

(2)當Kg=10時，即方程兩邊取正切

解得即：解得：K=5.22可知當K=2.5時就能滿足Kg和r的要求

五.相對穩定性與對數