理論力學第2章平面匯交力系與平面力偶系平面匯交力系和平面力偶系是平面力系中兩種基本力系，它們的理論是研究復雜力系的基礎。本章將研究平面匯交力系和平面力偶系的合成與平衡問題。

2.1平面匯交力系

所謂平面匯交力系，是指各力作用線位于同一平面內且匯交于一點的力系。本節將用幾何法和解析法研究平面匯交力系的合成和平衡問題。設有作用于剛體上、作用線匯交于一點A的四個力F1、F2、F3、F4，如圖2-1a所示。

1．平面匯交力系的合成與平衡――幾何法

由力的可傳性和力的三角形法則合成一合力FR，如圖2-1b所示。圖2-1c所示顯示，合力矢與各分力矢的作圖順序無關。

上述方法推廣到由n個力組成的平面匯交力系的情況，得結論如下：平面匯交力系合成的結果是一個合力，合力的作用線通過各力作用線的匯交點，其大小和方向可由力矢多邊形的封閉邊來表示，即等于各力矢的矢量和。矢量式為

FR=F1

+F2

+------+Fn=∑

F(2-1)

各力矢與合力矢構成的多邊形稱為力矢多邊形,表示合力矢的邊稱為力矢多邊形的封閉邊，用力矢多邊形求合力的幾何作圖規則稱為力的多邊形法則，這種作圖方法稱為幾何法。

所以，平面匯交力系平衡的必要與充分條件是：力系中各力矢構成的力矢多邊形自行封閉，或各力矢的矢量和等于零。有矢量式為或

根據封閉的力矢多邊形的幾何關系，用三角公式求解所需量的方法，稱為求解平面匯交力系平衡問題的幾何法。

例2-1

門式剛架如圖2-2a所示。在C點受到力F=30kN作用，不計剛架自重，求支座A、B的約束力。

解：剛架受三力作用平衡。受力圖如圖2-2b所示。選取適當的比例尺，作出自行封閉的力矢三角形，三角形的形狀如圖2-2c所示。量得這種方法稱為圖解法。

由圖2-2b可知再參考圖2-2c，亦可由三角關系計算出2．平面匯交力系的合成與平衡――解析法解析法是建立在力在坐標軸上的投影的基礎上，下面對這一概念加以分析。1）力在直角坐標軸上的投影（2-3）

即力在某軸的投影等于力的大小乘以力與坐標軸正向間夾角的余弦。力的投影是代數量正負看夾角：當夾角是銳角時，力的投影為正；當夾角是鈍角時，為負。

力的解析表達式

(2-4)其中i、j分別為x、y軸的單位矢量。

力F的大小和方向余弦分別為

(2-5)2）平面匯交力系合成的解析法平面匯交力系合成的解析法是以下述合力投影定理為依據的。

設有n個力組成的平面匯交力系匯交于O點，在O點建立平面直角坐標系oxy，如圖2-4a所示。

由平面匯交力系合成的幾何法，已得出由合力和力系中各力在x、y軸上的投影比較二式等式兩邊，可得（2-6）

合力的大小和方向（2-7）

由式（2-6）得合力投影定理：合力在某軸上的投影，等于其分力在同一軸上的投影的代數和。

解：建立直角坐標系Oxy，合力在坐標軸上的投影為上述投影定理不光對力矢適應，對其它矢量也同樣適應，那么相應的矢量投影定理可表示為：

合矢量在某軸上的投影，等于其分矢量在同一軸上的投影的代數和。

例2-2

剛體受匯交于一點O的四個力作用，各力大小分別為F1=2kN，F2=3kN，F3=1kN，F4=2.5kN，方向如圖2-5所示。試求合力的大小和方向

。合力的大小方向余弦為則合力與x、y軸的夾角分別為合力作用線過匯交點O。3）平面匯交力系平衡的解析法從前面知道，平面匯交力系平衡的必要與充分條件是該力系的合力等于零。由式（2-7），則有亦即

（2-8）

平面匯交力系平衡的解析條件是：力系中各力在各個坐標軸上投影的代數和分別等于零。式（2-8）稱為平面匯交力系的平衡方程。這是兩個獨立的方程，可以求解兩個未知量。

例2-3

將例2-1用解析法求解。

解：建立直角坐標Axy（圖2-6），列出平面匯交力系的平衡方程，有，，

其中

算出

例2-4

簡易起重機吊起重量W=20kN的重物，如圖2-7a所示。重物通過卷揚機上繞過滑輪B的鋼索吊起，桿件的A端鉸接在固定架上，B端以鋼索與固定架連接。A、C、D三處均為鉸鏈約束。不計桿件AB、CB和滑輪的重量及摩擦，不計滑輪尺寸。試計算鋼索BC和桿件AB所受的力。

解：由于不計桿件的自重，兩根桿件都為二力桿，均沿桿受力。以滑輪B為研究對象。其受到的力方向假設如圖2-7b。根據平面匯交力系的平衡方程通過以上分析，可以把平面匯交力系平衡問題的解題步驟歸納如下：（1）由題意選好研究對象。（2）分析研究對象的受力情況，畫受力圖。（3）幾何法：選取適當的比例尺，畫封閉的力多邊形，用比例尺和量角器量出未知量，或者用三角公式計算；解析法：建立直角坐標系，用平衡方程求解。2.2平面力對點之矩的概念與計算力對剛體的作用效應有兩個：移動和轉動力對剛體的移動效應用力矢來度量；力對剛體的轉動效應用力矩來度量。即力矩是度量力使剛體繞某點或某軸轉動的強弱程度的物理量。1.力對點之矩如圖2-8，點O稱為矩心，點O到力的作用線的垂直距離h稱為力臂。

平面問題中力對點之矩的定義如下：

平面力對點之矩是一個代數量，它的大小為力的大小與力臂的乘積，它的正負可按如下方法確定：力使物體繞矩心作逆時針轉動時，矩為正；反之，為負。力對點之矩的記號為

計算公式是

（2-8）

或

（2-9）

力矩的單位常用N·m或kN·m討論：當力的作用線過矩心時，因力臂為零，則力矩為零；當力為零時，矩為零。

2.合力矩定理合力矩定理:平面匯交力系的合力對平面內任一點之矩等于各分力對該點之矩的代數和。即（2-10）

證明：

設作用于A點的力F1和F2的合力為FR(圖2-9)

由合力投影定理有Od=Ob+Oc

MO(F1)=2△AOB

面積=OA·Ob

MO(F2)=2△AOC

面積=OA·OcMO

(FR)=2△AOD

面積=OA·Od

由公式（2-9）可知

則：

MO

(FR)=MO

(F1)+MO

(F2)證畢

例2-5作用于齒輪的嚙合力Fn=1kN，節圓直徑D=160mm，壓力角（圖2-10a）。試求嚙合力n對輪心O的矩。解：（1）應用力矩計算公式

力臂

則

（2）應用合力矩定理將嚙合力Fn分解為圓周力Ft合徑向力Fr（圖2-10b），有

例2-5

簡支梁AB受按三角形分布的荷載作用，如圖所示。荷載的最大值為q，梁長為l。試求合力及合力作用線的位置。

解：A處選為坐標原點，距A端x的微段dx上，作用力的大小為q`dx，其中，q`為該處的荷載強度。由相似三角形的關系，有因此，合力F的大小為合力作用線的位置由合力矩定理得

計算結果說明：合力大小等于三角形分布荷載的面積，合力作用線過三角形的幾何中心。

2.3平面力偶理論1.力偶與力偶矩在生活和實踐中，我們常見到一些物體同時受到大小相等、方向相反、作用線不共線的一對力作用的情況。例如，汽車司機用雙手轉動方向盤（圖2-12）、兩根手指擰水龍頭開關、兩個工人開、合水閘門等等。

力學中，把作用在同一物體上大小相等、方向相反、作用線不重合的兩個平行力所組成的力系稱為力偶。記為（F，F＇）。

兩力作用線所確定的平面稱為力偶的作用面。兩力作用線建垂直距離稱為力偶臂。

力偶是作用于剛體上的一對力。

力偶性質如下：

1）力偶沒有合力，本身又不平衡，是一個基本的物理量。2）力偶要產生轉動效應。力偶的轉動效應可用力偶矩來度量。力偶矩的大小為力與力偶臂的乘積

。由圖2-12可知，力偶的兩力對平面內任意點O之矩的代數和就是力偶矩，即由此可見，力偶極的大小與力及力偶臂的大小有關，而與矩心的位置無關。

大小為（2-11）

力偶矩符號為結論：平面力偶矩是代數量，其絕對值等于力與力偶臂的乘積。正負號表示力偶的轉向，其規定與力矩相同：力偶使物體的轉向為逆時針時取正，反之取負。力偶矩的單位是牛頓·米（N·m）。

由圖2-12可見，力偶矩的大小也可用三角形面積的兩倍來表示，即（2-12）

2.同平面力偶的等效定理定理：同平面內的兩個力偶，若力偶矩相等，則兩力偶彼此等效。

兩個推論：

（1）力偶可在其作用面內任意轉移，而不改變它對剛體的作用；（2）只要保持力偶矩的大小和力偶的轉向不變，可以同時改變力偶中力的大小和力偶臂的長短，而不會改變力偶對剛體的作用效應。力偶的三種表示

3.平面力偶系的合成與平衡作用面共面的力偶系稱為平面力偶系。

①求平面力偶系合成------合成就是求合力偶矩。設同平面內有兩個力偶（F1、F1`）、（F2、F2`），力偶臂分別為d1、

d2，如圖2-14a所示。

其力偶矩分別為

取任意線段AB=d，如圖2-14b所示，在保持各力偶矩不變的條件下，讓

合成為一個合力偶（圖2-14c）有

可見，F、F`大小相等、方向相反，是原來兩個力偶的等效力偶，其力偶矩為即：合成的結果是一個合力偶，合力偶矩為原來兩個力偶矩的代數和。推廣到n個力偶組成的平面力偶系，有

（2-13）

即：平面力偶系合成的結果是一個合力偶，合力偶矩等于力偶系中各力偶矩的代數和。②求平面力偶系的平衡

平面力偶系平衡的必要充分條件是：力偶系中各力偶矩的代數和等于零。

即

（2-14）

上式稱為平面力偶系的平衡方程，利用它可以求解一個未知量。例2-6

已知兩個同平面的力偶作用如圖2-15所示，求力偶的合效應。解：力偶的合力為零，合效應即為轉動效應，其力偶矩為

方向為逆時針。例2-7

在簡支梁AB上作用一力偶矩的大小為M的力偶,如圖2-16a所示。梁長l，不計梁自重。求支座A、B處約束力。

解:

取AB梁為研究對象。作用于梁上的力只有矩為M的力偶和支座A、B處約束力。

根據力偶只能與力偶平衡的性質，故A、B處約束力均為豎直，而指向相反，假設如圖2-16b

所示。由平面力偶系的平衡方程

方向與假設相同。

例2-8

如圖a所示結構中各構件自重忽略不計，在構件AB上作用一力偶，其力偶矩為500kN·m，求A、C兩點的約束力。

解：構件BC只在B、C兩點受力，處于平衡狀態，因此BC是二力桿，其受力如圖b。AB構件在鉸鏈A、B處的一對作用力FA、構成一力偶與M平衡（圖c）。

由平面力偶系的平衡方程

得

二力為正值，其實際受力方向與如圖c所示一致。根據作用力與反作用力的關系，可知，方向如圖b所示。

1.已知物體受